線方程組與矩陣秩的若干問題市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

線性方程組與矩陣秩若干問題福建師范大學(xué)數(shù)計學(xué)院代數(shù)教研室肖民卿10月第1頁引言矩陣秩概念是由J.Sylvester于1861年引進，它是矩陣最主要數(shù)字特征之一。這里，我們結(jié)合“矩陣與線性方程組”教學(xué)討論以下內(nèi)容：矩陣秩描述線性方程組解判定定理在解析幾何中一個應(yīng)用；矩陣秩Sylvester不等式和Frobenius不等式中等號成立充分必要條件。第2頁一.線性方程組解判定定理在解析幾何中一個應(yīng)用m個方程n個未知元線性方程組普通表示為：第3頁線性方程組(1)矩陣表示為：其中，第4頁線性方程組有解判定定理

線性方程組(1)有解充分必要條件是

這里，表示矩陣秩。尤其地，若，則線性方程組(1)有唯一解；若，則線性方程組(1)有沒有窮多解。第5頁

利用上述定理，能夠簡練刻畫普通方程表示幾何空間中直線及平面位置關(guān)系。

1.直線與直線位置關(guān)系

設(shè)幾何空間中兩條直線方程分別為第6頁

這么，與位置關(guān)系取決于線性方程組

解情況。記第7頁則有以下結(jié)論：

（i）與相交

（ii）與重合

（iii）與平行

（iv）與異面第8頁

2.直線與平面位置關(guān)系

設(shè)幾何空間中直線和平面方程分別為

記第9頁則有以下結(jié)論：

（i）與相交

（ii）在上

（iii）與平行第10頁

3.三個平面位置關(guān)系

設(shè)幾何空間中三個平面方程分別為

記第11頁則有以下結(jié)論：

（i）三個平面有一個公共點

（ii）三個平面有一條公共直線

（iii）三個平面平行

（iv）三個平面組成三棱柱

第12頁二.矩陣秩不等式中一些問題關(guān)于矩陣秩,有兩個主要不等式.

Sylvester不等式：設(shè)、、分別是、、矩陣.

Frobenius不等式：第13頁

問題：

在這兩個不等式中等號成立條件是什么？

即以下等式成立條件分別是什么？

第14頁

許多教材以習(xí)題方式給出等式①成立充分必要條件：當且僅當齊次線性方程組與齊次線性方程組同解.

利用這一結(jié)果，能夠得到等式②成立充分必要條件：

當且僅當齊次線性方程組與齊次線性方程組同解.第15頁對于等式③和等式④，文件[3]、文件[4]均做了研究，給出等式成立充分必要條件.

文件[3]結(jié)論：充分必要條件是存在矩陣和，使得.充分必要條件是存在矩陣和，使得.其中，是任意取定一個滿秩分解.第16頁

文件[4]結(jié)論：充分必要條件是,對于齊次線性方程組任一解,都存在使得.或充分必要條件是,對于齊次方程組任一形如解,都存在,使得.者說,零空間包含于象空間,即.第17頁

文件[5]利用矩陣廣義逆，分別給出等式①~等式④成立充分必要條件.

引理1對于任意適維矩陣、、，有這里列出其主要結(jié)果：第18頁

引理2對于任意、，有第19頁

引理3設(shè)有n列，有n行，則對任意、，有第20頁

定理1在Sylvester不等式中，對任意、，

有為列滿秩；為行滿秩；第21頁

引理4對任意、，有第22頁

定理2在Frobenius不等式中，對任意、

，有第23頁參考文件[1]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京:高等教育出版社,.[2]丘維聲.高等代數(shù)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,.[3]胡付高.關(guān)于一類矩陣秩恒等式注記[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報,,27(3):322-323.[4]呂登峰,劉瓊等.矩陣秩Sylvester與Frobenius等式