微積分第二章極限與連續(xù)課件

極限的產生過程極限思想的產生和其他科學思想一樣，是必須經過歷代古人的思考與實踐一步一步漸漸積累起來的，它也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯的“取極限”，而是借助于間接證法—歸謬法來完成有關的證明。微積分I第二章極限與連續(xù)2023/9/131極限的產生過程極限思想的產生和其他科學思想一樣，是必須經過歷微積分I第二章極限與連續(xù)到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用概念的方向”。極限思想的進一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發(fā)展，生產和技術中大量的問題，只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。2023/9/132微積分I第二章極限與連續(xù)到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在微積分I第二章極限與連續(xù)起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊。到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，并且都對極限作出過各自的定義。到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論。2023/9/133微積分I第二章極限與連續(xù)起初牛頓和萊布尼茨以無窮小微積分I第二章極限與連續(xù)我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學名著《莊子》記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭。”也就是說，從一尺長的竿，每天截取前一天剩下的一半，隨著時間的流逝，竿會越來越短，長度越來越趨近于零，但又永遠不會等于零。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。

因此，極限是事物發(fā)展的一中趨勢，只需要無限接近即可，不必相等。因此，在這一章里,我們將建立極限的基本概念，討論極限的基本性質與計算方法,在此基礎上介紹連續(xù)函數的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質.2023/9/134微積分I第二章極限與連續(xù)我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學名著《莊子第二章、極限與連續(xù)第一節(jié)：數列的極限一.數列概念二.數列極限三．數列極限的性質第二章、極限與連續(xù)第一節(jié)：數列的極限一.數列概念二.數列一.數列概念定義2.1是定義在正整數集合上的函數,當自變量n按正整數的順序取值時,稱函數值相應排列成的一串數為數列,簡記為{f(n)},f(n)叫做數列的一般項(或通項).數列中的每個數叫做數列的項,第n項例1：例2：例3：微積分I第二章極限與連續(xù)2023/9/136一.數列概念定義2.1是定義在正整數集合上的函數數0,此時,我們就說數列

{yn

}以

0為極限.二.數列極限對于數列

{yn},我們需要研究的問題是:當n無限增大時(記為n→∞),數列的一般項

yn

的變化趨勢.特別地,當n無限增大時,如果

yn能與某個確定的常數a無限接近,則稱常數a為數列

{yn}當

n→∞時的極限.,不難看出,當n→∞時,yn

無限地趨近于?？疾鞌盗信c常數0的接近程度可用2023/9/137微積分I第二章極限與連續(xù)數0,此時,我們就說數列{yn}以0為極限.二無論給定多么小的正數,在n無限增大的變化過程中,總有那么一個時刻N,在這個時刻以后（即n>N

或n

充分大以后）,

由此可見,對于數列都小于那個正數.2023/9/138微積分I第二章極限與連續(xù)無論給定多么小的正數,在n無限增大的變化過程中,總有那要使則當n>10時,都能滿足與0的距離小于

即對于第10項

若再取一個更小的正數

要使則當n>100時,即自第100項后的任一項y101,y102,…都滿足ε

來表示.若令小于某個正數y11,y12,

…都能滿足以后的任一項2023/9/139微積分I第二章極限與連續(xù)要使則當n>10時,都能滿足與0的距離小于即對于第1意給定的,總存在正整數N,當n>N時,不等式如果不存在這樣的常數,則稱數列{yn}沒有極限,或者稱數列{yn}是發(fā)散的.定義2.2設{yn}為一數列,如果存在常數對于任恒成立,則稱常數是數列{yn}當n趨于無窮大時的極限,或稱{yn}收斂于記為2023/9/1310微積分I第二章極限與連續(xù)意給定的,總存在正整數N,當n>N時例1:用極限定義證明：證明

對任意給定的,要使不等式當n>N時,恒有故成立,只需則對于任意給定的

即可.若取2023/9/1311微積分I第二章極限與連續(xù)例1:用極限定義證明：證明對任意給定的

注

(1)在數列極限定義中,ε可以任意給定是很重要的,如果讓正數ε任意小,則不等式充分表達出yn與a無限接近的意思.(2)正整數N與ε有關,隨著ε的給定而可選定.(3)數列極限定義只能驗證某一個數是否為數列的極限,但不能用于求數列的極限.2023/9/1312微積分I第二章極限與連續(xù)注(1)在數列極限定義中,ε可以任意給證明對任意給定的ε>0,

要使不等式成立,只需則當n>N時,恒有例2用極限定義證明：根據數列極限的定義：2023/9/1313微積分I第二章極限與連續(xù)證明對任意給定的ε>0,要使不等式成立,只需則當2023/9/13微積分I第二章極限與連續(xù)14成立.2023/8/3微積分I第二章極限與連續(xù)14成立.三．數列極限的性質

定理2.1.1(極限的唯一性)

如果數列{yn}收斂,則其極限唯一.定理2.1.2(有界性)

如果數列{yn}收斂,則{yn}一定有界.

注

上述定理的逆不成立.數列有界是數列收斂的必要條件,有界數列不一定收斂.例如

定理2.1.3(保號性)

如果,且則存在正整數N,當時,恒有三．數列極限的性質定理2.1.1(極限的唯一性)如§2.2函數的極限一.函數極限的概念二.函數極限的性質§2.2函數的極限一.函數極限的概念二.函數極限的一.函數極限的概念在§2.1中,我們討論了特殊函數─數列{f(n)}的極限,現(xiàn)在我們來討論一般函數f(x)的極限.由于一般函數

f(x)中的自變量x

的變化趨勢通?？煞譃椤皒→∞”和“x→x0”兩種,所以我們將分兩種情況分別予以討論.一.函數極限的概念在§2.1中,我們討論了特殊1.當

x→∞時,函數?(x)的極限仿照數列極限的定義,下面我們給出x→∞時,?(x)的極限的定義.定義2.3設函數

?(x)當大于某一正數時有定義，如果存在常數A,對于任意給定的,總存在使得當x滿足不等式

時,不等式恒成立,則稱常數

A為當x→∞時函數?(x)的極限,或稱當x→∞時?(x)

收斂于A,記作（當

x→∞

）或1.當x→∞時,函數?(x)的極限仿照數例1證明證明例1證明證明如果把上面定)

那么只要且無限增大(記作就可得義中的改為的定義.同樣,而無限增大(記作)

那么只要把便得的定義.改為由定義2.2.1可以證明：的充要條件是如果把上面定)那么只要且無限增大(記作就可得義中的改為的定定義2.4設函數?(x)在x0

的某個去心鄰域內有定義,如2.時,函數?(x)的極限果存在常數A,恒成立,則稱常數A為當x→x0

時函數?(x)的極限.記為注表示?(x)在點x0是否有定義并無關系,我們關心的是x→x0時,?(x)的變化趨勢而不是?(x)在點x0處是否有意義.x→x0時?(x)有沒有極限,與定義2.4設函數?(x)在x0的某個去心鄰域內有定義,只須由于當x=1時,無定義,則當x≠1時,恒有成立.即要使,即

故可取證明例3只須由于當x=1時,無定義,則當x≠1時,微積分第二章極限與連續(xù)課件在定義2.2.2中,極限過程

x→x0包括了x同時從

x0的左、右兩側無限的趨于x0.但是,有時我們只能或只需考慮x

僅從

x0的左側或右側趨于

x0（記為

x→x0-或

x→x0+）時,f(x)的變化趨勢.例如函數只能從2的右側趨于2,從而就必須引進函數左、右極限的概念.在定義2.2.2中,極限過程x→x0包括了x同時從定義2.5

設函數?(x)在點x0右側某個去心鄰域內有定義,如果存在常數A,對于任意給定的ε

>0,總存在δ

>0,使得當x滿足不等式恒成立,那么常數A就叫做函數?(x)當時的右極限,

記做定義2.5設函數?(x)在點x0右側某個去心鄰就可以得到在x0處的左極限.記為類似地,在的定義中,把改為左極限和右極限統(tǒng)稱為單側極限.由極限定義易知以下的充要條件成立.定理2.1

函數y=?(x)當x→x0

時極限存在且為A的充要條件是函數y=?(x)

的左極限和右極限都存在且等于A.即就可以得到在x0處的左極限.記為類似地,在微積分第二章極限與連續(xù)課件微積分第二章極限與連續(xù)課件例4解

討論當時,函數的極限.當x<0時,有當x>0時,有由于，所以不存在.例4解討論當時,例5設函數,討論是否存在?解因此不存在.當x<0時,有當x>0時,有例5設函數,討二.函數極限的性質由于函數極限的定義按自變量的變化過程不同有各種不同的形式，下面僅以定理2.2.2(唯一性)

若注

若極限不唯一,變化趨勢不定.例如于函數極限性質的一些定理.至于其他極限形式的性質,只要相應地作一些修改便可得出.這種形式給出關存在,則極限值A唯一.二.函數極限的性質由于函數極限的定義按自變量的變化定理2.2.3(局部有界性)

若證取ε

=1,因為則存在當時,于是,當時取當有存在,那么存在常數M>0和δ>0，使得當時,定理2.2.3(局部有界性)若證取ε=1,因為則必存在那么一個時刻,在此時刻以后,就恒有即證設A>0取正數由lim?(x)=A

的定義,定理2.2.4(局部保號性)

若且A>0(或A<0).則存在δ>0,使得當時,?(x)

>0(或?(x)<0).必存在那么一個時刻,在此時刻以后,就恒有即證設A§2.3無窮小與無窮大一.無窮小二.無窮大三.無窮小的性質§2.3無窮小與無窮大一.無窮小二.無窮大三.無窮小的本節(jié)將討論在理論和應用上都比較重要的兩種變量：無窮小量和無窮大量.為敘述簡便我們用來表示在自變量各種變化過程中函數的極限.自變量的變化過程,包括x→x0

，

x→x0+，

x→x0-，

x→∞，

x→+∞,x→-∞，n→∞等.本節(jié)將討論在理論和應用上都比較重要的兩種變量：無窮一.無窮小定義2.3.1

如果在自變量的某個變化過程中,則稱函數f(x)為在該變化過程中的無窮小量,簡稱無窮小.簡單地說,以零為極限的變量稱為無窮小量.例如一.無窮小定義2.3.1如果在自變量的某個變

注(1)

無窮小是極限為零的變量，不能把它與絕對值很小的非零常數相混淆.在常數中,只有零可以作為無窮小，但無窮小卻不一定是零.(2)

一個變量f(x)是否為無窮小量與其自變量的變化過程有關.如當時,為無窮小量;當x不趨于1時,則不是無窮小量.注(1)無窮小是極限為零的變量，不能把它與絕對值例1自變量x在何變化過程中,下列變量f(x)為無窮?。拷?3)無論x趨于何值,例1自變量x在何變化過程中,下列變量f(x)二.無窮大

定義2.3.2

如果在自變量的某個變化過程中,函數

f(x)的絕對值無限增大（即），則稱函數

f(x)為在該變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大.

注(1)

無窮大量是一個絕對值可以任意變大的變量,而不是一個很大的常量.當取正值無限增大(取負值絕對值無限增大)時,稱為正無窮大量(負無窮大量).

注(2)

通常是極限不存在的記號.二.無窮大定義2.3.2如果在自變量的某個變化過程例2自變量x在何變化過程中,下列變量為無窮大?解(1)當或時,(2)當時,(3)當時,(4)無論x趨于何值,sinx都不是無窮大.例2自變量x在何變化過程中,下列變量為無三.無窮小的性質性質1

有限個無窮小的和、差、積仍為無窮小.性質2

有界變量與無窮小的乘積為無窮小.推論1

常數與無窮小的乘積仍為無窮小.推論2

有極限的變量與無窮小的乘積仍為無窮小.由上面定理容易得到下面的推論.證明從略.三.無窮小的性質性質1有限個無窮小的和、差、積仍為無窮小證明下面僅證明時的情況.必要性則對任意,存在,使得當時，恒有

表示為常數與無窮小之和.反之易證充分性.

定理2.3.1

自變量x在任何變化過程中,函數

f(x)收斂于常數

A,即