第二章 分子動(dòng)理學(xué)理論

第二章分子動(dòng)理學(xué)理論第1頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12熱物理學(xué)的微觀理論基礎(chǔ)：分子動(dòng)（理學(xué)）理論。氣體分子熱運(yùn)動(dòng)特點(diǎn):大數(shù)分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng);分子與器壁間頻繁的碰撞。分子動(dòng)理論方法的主要特點(diǎn)：分子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞分子間有相互作用力，力學(xué)定律和概率論來(lái)討論分子運(yùn)動(dòng)分子碰撞的詳情分子動(dòng)理論最終及最高目標(biāo)：描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過(guò)程。§2.1分子動(dòng)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)第2頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13廣義上：統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)說(shuō)明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。分子動(dòng)理論也應(yīng)歸于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的范疇。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的狹義理解：僅指玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)與吉布斯統(tǒng)計(jì)。氣體分子動(dòng)理論：在處理復(fù)雜的非平衡態(tài)系統(tǒng)時(shí)，都要加上一些近似假設(shè)。微觀模型細(xì)致程度不同，理論的近似程度也就不同，對(duì)于同一問(wèn)題可給出不同理論深度的解釋。微觀模型考慮得越細(xì)致，越接近真實(shí)，數(shù)學(xué)處理也越復(fù)雜。學(xué)生重點(diǎn)應(yīng)掌握：基本物理概念、處理問(wèn)題的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)——基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)。在某些問(wèn)題（特別是一些非平衡態(tài)問(wèn)題）中可暫不去追究理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。因?yàn)橄喈?dāng)簡(jiǎn)單的例子中常常包含基本物理方法中的精華，它常常能解決概念上的困難并能指出新的計(jì)算步驟及近似方法。第3頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2概率論的基本知識(shí)在§1.6中討論氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式時(shí)簡(jiǎn)單地認(rèn)為每一分子均以平均速率運(yùn)動(dòng)，并以此來(lái)替代相應(yīng)物理量的統(tǒng)計(jì)平均，這里面有相當(dāng)大的近似。就算這樣是允許的，也有一個(gè)如何求平均速率的問(wèn)題。解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是要求找到一個(gè)因分子速率大小不同，因而它們出現(xiàn)的概率也不同的規(guī)律，我們稱(chēng)它為分子按速率的概率分布律。本節(jié)將介紹有關(guān)概率及概率分布函數(shù)的基本知識(shí)。§2.2.1伽爾頓板實(shí)驗(yàn)概率統(tǒng)計(jì)的最直觀的演示是伽爾頓板實(shí)驗(yàn)。無(wú)法使小球落入漏斗內(nèi)的初始狀態(tài)完全相同。盡量使小球下落點(diǎn)的高度、水平位置、初速度等相同，但精確地測(cè)定，其初始條件仍會(huì)有所差異，而且這種差異是隨機(jī)的，因而使小球進(jìn)入哪個(gè)小槽完全隨機(jī)。第4頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖2.1伽爾頓板實(shí)驗(yàn)第5頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月只要小球總數(shù)足夠多（），則每一小槽內(nèi)都有小球落入，且第i個(gè)槽內(nèi)小球數(shù)Ni

與小球總數(shù)N（N=∑Ni）之比有一定的分布。若板中各釘子是等距離配置的，則其公布曲線(xiàn)如圖（b）所示。其分布曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)于漏斗形入口的豎直中心軸。若重復(fù)做實(shí)驗(yàn)[甚至用同一小球投入漏斗N次（）]，其分布曲線(xiàn)都相同。雖各小球在與任一釘子碰撞后向左還是向右運(yùn)動(dòng)都是隨機(jī)的，由很多偶然因素決定。最終大量小球的總體在各槽內(nèi)分布卻有一定的分布規(guī)律，這種規(guī)律由統(tǒng)計(jì)相關(guān)性所決定?！?.2.2等概率性與概率的基本性質(zhì)（一）

概率的定義隨機(jī)事件：在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生。倒如擲骰子哪一面朝上完全是隨機(jī)的，受到許多不能確定的偶然因素的影響。若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)（如擲骰子），在總次數(shù)N足夠多的情況下（），計(jì)算所出現(xiàn)某一事件（如哪一面向上）的次數(shù)NL

，則其百分比即該事件出現(xiàn)的概率第6頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.1）（二）等概率性在擲骰子時(shí)，出現(xiàn)每一面向上的概率是相等的。因?yàn)槲覀兗俣蛔邮且灰?guī)則的正方體，它的幾何中心與質(zhì)量中心相重合。基本原理等概率性——在沒(méi)有理由說(shuō)明哪一事件出現(xiàn)概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。（三）

概率的基本性質(zhì)（1）n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和，簡(jiǎn)稱(chēng)概率相加法則。所謂n個(gè)互相排斥（簡(jiǎn)稱(chēng)互斥）的事件：出現(xiàn)事件1，就不可能同時(shí)出現(xiàn)事件2，3…n，同樣對(duì)2，3…n事件也是如此。（2）同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積，簡(jiǎn)稱(chēng)概率相乘法則。把一個(gè)骰子連續(xù)擲兩次，若骰子是剛性的，擲第二次出現(xiàn)的概率與第7頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.3平均值及其運(yùn)算法則統(tǒng)計(jì)分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。以求平均年齡為例，N人的年齡平均值就是N人的年齡之和除以總?cè)藬?shù)N。求年齡之和可以將人按年齡分組，設(shè)ui為隨機(jī)變量（例如年齡），其中出現(xiàn)（年齡）u1值的次（或人）數(shù)為N1，u2值的次（或人）數(shù)為N2……，則該隨機(jī)變量（年齡）的平均值為第一次擲過(guò)否，第一次出現(xiàn)的哪一面向上都無(wú)關(guān)，我們就說(shuō)連續(xù)兩次擲骰子是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。若骰子是剛性的，且每一面向上的概率都是，連續(xù)擲兩次出現(xiàn)的花樣為11，12，……65，66共36種，顯然這36種花樣也是等概率的，故連續(xù)擲兩次均出現(xiàn)“1”的概率是第8頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.2）因?yàn)槭浅霈F(xiàn)ui值的百分比，由（2.1）式知，當(dāng)N時(shí)它就是出現(xiàn)ui值的概率Pi，故（2.3）(2.3)式與（2.2）式的不同是，（2.2）式是通過(guò)隨機(jī)變量的和（即求和式）來(lái)求平均值的，而（2.3）式是利用概率分布來(lái)求平均值的。利用（2.3）式可把求平均值的方法推廣到較為復(fù)雜的情況，從而得到如下的平均值的運(yùn)算公式第9頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)若隨機(jī)變量u、υ是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。又是的某一函數(shù)，g（υ）是υ的另一函數(shù)，則（1）設(shè)f（u）是隨機(jī)就量u的函數(shù)，則

（2.4）（2）

（2.5）（3）若C為常數(shù)，則

注意，以上討論的各種概率都是歸一化的，（2.6）（2.7）第10頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.4均方偏差隨機(jī)變量會(huì)偏離平均值一般其偏離值的平均值為零（即，但均方偏差不為零。（2.9）因?yàn)椤?，所以≥

（2.10）（2.8）第11頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義相對(duì)均方根偏差從(2.9)式可知，當(dāng)ur

所有值都等于相同值時(shí)，，可見(jiàn)相對(duì)均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開(kāi)的程度，也稱(chēng)為漲落、散度或散差。這與在§1.5.2中對(duì)漲落的定義是一致的。（2.11）第12頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.5概率分布函數(shù)隨機(jī)變量取分立的數(shù)值，稱(chēng)離散的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量取連續(xù)值時(shí)，求平均值公式中的也是連續(xù)分布的。如粒子的空間位置或粒子的速度。測(cè)量?jī)x器總有一定誤差，在測(cè)量分子速率時(shí)，我們測(cè)不出分子速率恰好為100m/s的分子數(shù)是多少，若儀器的誤差范圍為1m/s，只能測(cè)出分子速率從99.5m/s到100.5m/s的分子數(shù)是多少。不能講分子速率恰好處于100m/s的概率，而只能講分子速率介于某一范圍（例如99m/s~101m/s）內(nèi)的概率。為了對(duì)連續(xù)變量的概率分布了解得更清楚，打靶試驗(yàn)的例子。一般說(shuō)來(lái)，子彈落在靶的中心周?chē)Ｆ骄f(shuō)來(lái)，射擊點(diǎn)越接近靶中心，他的射擊技術(shù)越高明。圖2.2（a）及圖2.2（b）是某人某次射擊試驗(yàn)中射擊點(diǎn)在靶板上的同一分布圖形，采用兩種不同方式描述這些黑點(diǎn)在板上的分布。第13頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖2.2射擊點(diǎn)在靶板上的分布第14頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖2.2（a）是用直角坐標(biāo)來(lái)表示靶板上的分布；現(xiàn)以靶心為原點(diǎn)，以直角坐標(biāo)x、y來(lái)表示黑點(diǎn)的空間位置，把靶板平面沿橫軸劃分出很多寬為的Δx窄條，Δx的寬度比黑點(diǎn)的大小要大得多?！裰灰獢?shù)出在x到x+Δx范圍內(nèi)的那條窄條中的黑點(diǎn)數(shù)Nx，把它除以靶板上總的黑點(diǎn)數(shù)N（N應(yīng)該足夠大），則其百分比就是黑點(diǎn)處于x~x+Δx范圍內(nèi)這一窄條的概率。為了充分反映出概率分布的特點(diǎn)，我們還應(yīng)除以寬度Δx。然后以f（x）=為縱坐標(biāo)，以x為橫坐標(biāo)，如圖中的每一根豎條，每根豎條的面積才是粒子數(shù)概率。若令，就得到一條連續(xù)曲線(xiàn)。縱坐標(biāo)是稱(chēng)為黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度，表示黑點(diǎn)沿x方向的相對(duì)密集程度。而f（x）dx表示處于x到x+dx范圍內(nèi)的概率。x~x+dx微小線(xiàn)段的面積表示x~x+dx內(nèi)的概率第15頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位置處于x1到x2范圍內(nèi)的概率（2.13）式中已把積分區(qū)域擴(kuò)展為無(wú)窮大。類(lèi)似地可把靶板沿y方向劃分為若干個(gè)寬為窄條，數(shù)出每一窄條中的黑點(diǎn)數(shù)，求出并令可得到黑點(diǎn)處于y~y+dy范圍內(nèi)的概率f（y）dy。黑點(diǎn)處于x~x+dx，y~y+dy范圍內(nèi)的概率就是圖2.3中打上斜線(xiàn)的范圍內(nèi)的黑點(diǎn)數(shù)與總黑點(diǎn)數(shù)之比。（2.12）（2.13）（2.14）第16頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖2.3因?yàn)檫@樣的黑點(diǎn)既要處于x~x+dx范圍內(nèi)，又要處于y~y+dy范圍內(nèi)，這是同時(shí)事件。又因粒子處于x坐標(biāo)與y坐標(biāo)是彼此獨(dú)立的。按概率相乘法則，粒子處于該面積上的概率為（2.15）第17頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月f（x，y）稱(chēng)為黑點(diǎn)沿平面位置的概率密度分布函數(shù)，它表示在這一區(qū)域內(nèi)黑點(diǎn)相對(duì)密集的程度。f（x，y）dxdy稱(chēng)為沿平面位置的概率分布函數(shù)。若要求出處于x1~x2、y1~y2范圍內(nèi)的概率，只要對(duì)x、y積分。有了概率分布函數(shù)就可求平均值。例如，黑點(diǎn)的x方向坐標(biāo)偏離靶心（x=0）的平均值為（2.16）（2.17）第18頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月x的某一函數(shù)F（x）的平均值為（2.18）（2.19）第19頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月120§2.3麥克斯韋速率分布?xì)怏w分子熱運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：大數(shù)分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)及它們之間頻繁地相互碰撞，分子以各種大小不同的速率向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，在頻繁的碰撞過(guò)程中，分子間不斷交換動(dòng)量和能量，使每一分子的速度不斷變化。平衡態(tài)的氣體，每個(gè)分子在某一瞬時(shí)的速度大小、方向都在隨機(jī)地變化著，但是大多數(shù)分子之間存在一種統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，這種統(tǒng)計(jì)相關(guān)性表現(xiàn)為平均說(shuō)來(lái)氣體分子的速率介于v到v+dv的概率（即速率分布函數(shù)）是不會(huì)改變§2.3.1分子射線(xiàn)束實(shí)驗(yàn)德國(guó)物理學(xué)家Stern最早于1920年做了分子射線(xiàn)束實(shí)驗(yàn)以測(cè)定分子射線(xiàn)束中的分子速率分布曲線(xiàn)。第20頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在Maxwell導(dǎo)出速率分布律的當(dāng)時(shí)，由于未能獲得足夠高的真空，不能用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。1、分子射線(xiàn)簡(jiǎn)介：（1）分子射線(xiàn)（原子射線(xiàn)）：研究分子（原子）結(jié)構(gòu)以及分子、原子同其他物質(zhì)相互作用的重要手段。固體、液體和稠密氣體中分子間距小，有復(fù)雜的相互作用，很難研究單個(gè)孤立分子的性質(zhì)。氣體的間距較大，相互作用隨壓強(qiáng)的減小變?nèi)?，但因無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，使得對(duì)分子本身的探測(cè)、研究較困難。（2）分子射線(xiàn)原理：在分子束中，分子或原子作準(zhǔn)直線(xiàn)的定向運(yùn)動(dòng)，他們之間的相互作用可忽略，射線(xiàn)是運(yùn)動(dòng)著孤立的原子或分子的集合，利用它來(lái)研究分子的性質(zhì)、相互作用較為理想。（3）主要應(yīng)用學(xué)科：原子物理、分子物理、氣體激光動(dòng)力學(xué)、等離子物理、化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)、生物學(xué)等。1922年，斯特恩與革拉赫合作—斯特恩與革拉赫實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子磁矩。因?yàn)槠浒l(fā)展了分子射線(xiàn)技術(shù)、質(zhì)子磁矩，1943年獲諾貝爾獎(jiǎng)。第21頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1222、分子射線(xiàn)實(shí)驗(yàn)：圖2.4分子射線(xiàn)實(shí)驗(yàn)第22頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）分子源：容器里貯有平衡態(tài)氣體。真空加熱爐，金屬分子在高溫下蒸發(fā)成蒸汽，鉀、鉈、銀、釷等。在器壁上開(kāi)一個(gè)狹縫，氣體分子透過(guò)小孔逸出，穿過(guò)準(zhǔn)直線(xiàn)狹縫而成為分子束—分子射線(xiàn)（molecularbeam）。容器外高真空，不改變射出分子運(yùn)動(dòng)的方向，分子間的碰撞可以忽略。是這樣一束有很好的方向性、無(wú)碰撞的分子。（2）葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)：1934年，鉍蒸汽分子。（講義中87頁(yè)，圖3-6）蒸汽壓：26.66Pa~120Pa狹縫第23頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月真空泵（講義中87頁(yè)，圖3-6）圖2.5分子射線(xiàn)實(shí)驗(yàn)第24頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月R:繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的空心圓筒.半徑9.4厘米,轉(zhuǎn)速3000轉(zhuǎn)/分,真空度:10-5mmHg。

(3)實(shí)驗(yàn)步驟:R不轉(zhuǎn):R轉(zhuǎn),當(dāng)分子從狹逢出來(lái)達(dá)到G上,經(jīng)過(guò)時(shí)間t，所走路程=vt，而轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ=ωt，分子速率不同，落到彎曲玻璃板上位置就不同。速率大的，離中心點(diǎn)就近，速率小的離中心就遠(yuǎn)。第25頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)速率為V的分子，沉積在P’處，S=G的直徑為D。分子從狹逢到P’處所用時(shí)間是t，t=D/v，S3與G在同一圓周上。(2.20)第26頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果ω、D已知，S一定與速率v相對(duì)應(yīng)。當(dāng)ω是常數(shù)時(shí)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間，取下G，微光度計(jì)測(cè)，測(cè)定板上的各處Bi的厚度，找到厚度與S的關(guān)系，就確定了Bi分子的速率分布律。第27頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.3.2麥克斯韋速率分布（一）氣體分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布?xì)怏w分子的速率分布與分子束速率分布不同。圖中真空加熱爐（分子源）中金屬蒸汽（理想氣體）的分子速率分布f（v）dv與F（v）dv并非一回事。f（v）dv表示加熱爐內(nèi)氣體的分子速率介于v~v+dv的分子數(shù)dN與總分子數(shù)N之比。（2.21）因?yàn)樘幱谄胶鈶B(tài)的分子源中氣體分子的平均速率為零，平均來(lái)說(shuō)，每一分子均不改變空間位置，故f（v）dv是“靜態(tài)”的速率分布。但分子束中的分子都在作勻速運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明F（v）dv是一種“動(dòng)態(tài)”的分布，它表示了粒子通量（指單位時(shí)間內(nèi)透過(guò)的分子束中的分子數(shù)）中的速率分布。但f（v）dv與F（v）dv間存在一定關(guān)系，故可利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的圖2.5（b）的曲線(xiàn)求得理想氣體速率分布。第28頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月研究在平衡態(tài)下，氣體分子數(shù)目按速率如何分布，其定量規(guī)律，必須引入分子按速率分布函數(shù)概念。基本步驟：氣體分子速率的取值范圍，按經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，v可以連續(xù)取值：0～∞的任何數(shù)值。2.求出速率區(qū)間v～v+dv內(nèi)的分子數(shù)dN,或dN占總分子數(shù)N的百分比.如以速率是10m/s的間隔劃分速率:0～10,10～20,20～30,……區(qū)間,然后說(shuō)明各間隔的分子數(shù)是多少？或占總分子數(shù)N的百分比。（二）麥克斯韋速度分布（Maxiwellspeeddistribution）一、速率分布函數(shù)第29頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月dN/N與速率的關(guān)系:dN/N在各速率區(qū)間是不同的，相等的間隔10m/s，比率dN/N是不同的.dN/N是速率v的函數(shù)，它與v的一定函數(shù)成正比.若給定速率v附近，若取間隔dv越大，則分布在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)就越多，dN/N也就越大。4.氣體分子的速率分布函數(shù)f(v):當(dāng)dv足夠小時(shí),（2.22）第30頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率.f(v)的定義為:氣體分子的速率分布函數(shù).(2.22)式的物理意義：速率在v～v+dv的區(qū)間，分子數(shù)占總分子數(shù)或一個(gè)分子速率在v～v+dv的區(qū)間內(nèi)的概率。5.速率分布函數(shù)f(v)的特點(diǎn):f(v)是“靜態(tài)”的速率分布.因?yàn)槠胶鈶B(tài)下的分子平均速度為零,平均來(lái)說(shuō),每個(gè)分子不改變空間位置,所以f(v)是“靜態(tài)”的速率分布.（2.23）第31頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月f(v)是一定位置、溫度下的氣體，是速率v的函數(shù)。利用f(v)，可以求出分布在任意有限速率范圍內(nèi)的v1～v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。f(v)滿(mǎn)足歸一化條件(nomalizingcondition)∵全部分子百分百地分布在0～∞整個(gè)速率范圍內(nèi)，∴v1=0，v2=∞，則（2.24）第32頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（6）f（v）的概率意義：一個(gè)分子具有各種速率概率不同。

f（v）dv是一個(gè)分子的速率在v～v+dv內(nèi)的概率。f（v）是一個(gè)分子在v～v+dv內(nèi)的單位速率區(qū)間概率，是概率密度。對(duì)所有的可能的速率積分就是一個(gè)分子具有不管什么速率的概率，這個(gè)“總概率”等于1。二、麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布函數(shù)：在1859年，英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋利用理想氣體分子在三個(gè)方向上的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，導(dǎo)出麥克斯韋速度分布律，然后得到了麥克斯韋速率分布律。麥克斯韋假設(shè)：在平衡態(tài)下分子速度任一分量的分布應(yīng)與其它分量的分布無(wú)關(guān)。第33頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任一速率區(qū)間v～v+dv內(nèi)的分子數(shù)的比率為：T：熱力學(xué)溫度，m是分子質(zhì)量，k是Boltzman常數(shù)，在一定質(zhì)量下，麥克斯韋速率分布函數(shù)與T有關(guān)。（2.25）第34頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、麥克斯韋速率分布曲線(xiàn)形象描繪氣體分子按速率分布情況。圖中斜條狹長(zhǎng)區(qū)域表示速率介于v~v+dv分子數(shù)與總分子數(shù)之比，即（2.25）式。第35頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月V1～V2內(nèi)分子數(shù)與總分子數(shù)之比：其數(shù)值應(yīng)該從下面的積分求出（2.26）第36頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月查表104頁(yè)，附錄3-1積分表n=2圖曲線(xiàn)下總面積為什么?圖曲線(xiàn)下總面積為1，說(shuō)明麥克斯韋速率分布是歸一化的。第37頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、麥克斯韋速率分布曲線(xiàn)的極值問(wèn)題(1)，增函數(shù)與減函數(shù)的相乘得到一個(gè)有極值的函數(shù)。概率密度取極大值時(shí)的速率為最可幾速率或最概然速率，用（Themostprobablespeed）第38頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.27）第39頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.討論(1)Maxwell速率分布函數(shù)理想氣體，平衡態(tài)(equilibriumstate)

，無(wú)外場(chǎng)。n,T都是確定的均一的數(shù)值,速率分布也是確定的,是m,T的函數(shù),其分布曲線(xiàn)隨分子質(zhì)量、或溫度的變化趨勢(shì)：N2分子在不同溫度下的速率分布同一溫度下不同氣體的速率分布第40頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)速率范圍：0

(3)豎線(xiàn)意義：f(

)即窄面積意義:f(

)d

即寬面積意義:即

1

2范圍內(nèi)分子數(shù)與總數(shù)之比(4)曲線(xiàn)下面積：(nomalizingcondition)(5)

1

2范圍內(nèi)分子平均速率如何求解。(6)麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的集體。

0

f(

)d

=1

第41頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（7）Maxwell分布本身是統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果，有漲落。但當(dāng)粒子數(shù)為大數(shù)時(shí)，其相對(duì)方均根偏差是微不足道的。例如目前最先進(jìn)的技術(shù)可達(dá)到的超高真空壓強(qiáng)1.3×10-11N·m-2第42頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、最概然速率物理意義：氣體在一定溫度下分布在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)最多.三、理想氣體分子最概然速率、平均速率、均方根速率2、平均速率(離散型)第43頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(連續(xù)型)查表104頁(yè)，附錄3-1積分表n=3第44頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.28）第45頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、方均根速率查表104頁(yè)，附錄3-1積分表n=4第46頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、三種速率關(guān)系與研究范圍第47頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第48頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三種速率，與T,m（μ）的關(guān)系相同，。三種速率應(yīng)用場(chǎng)合不同：同一溫度下不同氣體的速率分布N2分子在不同溫度下的速率分布第49頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月它們?nèi)咧g相差不超過(guò)23%，而以方均根速率最大。在§1.6的理想氣體分子碰撞數(shù)及理想氣體壓強(qiáng)公式的證明中我們?cè)玫降慕茥l件，由（2.28）式知其偏差僅8.5%。但采用這種近似后，其數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單得多。（2.30）[例2.1]試求氮分子及氫分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均速率。[解]（1）氮分子平均速率第50頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

氫分子平均速率除很輕的元素如氫、氦之外，其它氣體的平均速率一般為數(shù)百米的數(shù)量級(jí)。第51頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例２.2（109頁(yè)–20）解：⑴求Bi原子及Bi分子的平均速率第52頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑵求Bi原子及Bi分子的沉積點(diǎn)到中心位置的距離第53頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章課堂練習(xí)、課堂討論：2題/P105；9題/P108.思考題1.dN指的是分子數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值。在任意瞬間實(shí)際分布在某一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，一般說(shuō)來(lái)是與統(tǒng)計(jì)平均值有偏差的。漲落現(xiàn)象。Maxwell速率分布率只是對(duì)大量分子組成的體系才成立的。如果說(shuō)具有某一確定速率的分子有多少，根本沒(méi)有意義的。在最可幾速率所在的附近的區(qū)間內(nèi)分子數(shù)與總分子數(shù)的比率最大。思考題2第54頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平衡態(tài)氣體，分子速率介于V~V+dV的分子與總分子數(shù)之比。2.表示速率分布在v附近，v~v+dv，這一區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。3.分子速率在有限速率范圍內(nèi)，V1~V2內(nèi)分子與總分子數(shù)之比。4.分子速率在有限速率范圍內(nèi)，V1~V2內(nèi)分子數(shù)。*5.是v1~v2之間分子速率之和與總分子數(shù)之比。不是v1~v2內(nèi)平均速率。第55頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月V1~V2,分子速率之和V1~V2,分子總數(shù)。6.分子速率在有限速率范圍內(nèi)，V1~V2內(nèi)分子速率之和。第56頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考題3.答：速率分布函數(shù)，與分子質(zhì)量、溫度有關(guān)。所以不同。思考題4.答：（1）溫度相同，但分子質(zhì)量不同，所以速率分布函數(shù)不同。（2）同種氣體，溫度相同，分布相同。（3）溫度不變，同種氣體，分布不變。思考題5.答：（1）只有平衡態(tài)系統(tǒng)，才有可能速率分布。（2）同種氣體，溫度相同，分布相同。（3）若容器為絕熱器，這個(gè)反應(yīng)是放熱反應(yīng)，溫度升高，速率分布向高溫方向移動(dòng)。第57頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題９解：第58頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題10解：第59頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題11證明：第60頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.4麥克斯韋速度分布律§2.4.1速度空間1、速度空間（1）速度空間中的代表點(diǎn)：將分子的速度矢量沿x、y、z方向投影vx、vy、vz，作直角坐標(biāo)圖，且將所有分子速度矢量的起始點(diǎn)都移到公共點(diǎn)上。在平移時(shí)，矢量的大小、方向不變，平移后以矢量的箭頭端點(diǎn)來(lái)表示這一矢量。將矢量符號(hào)抹去，這點(diǎn)稱(chēng)為代表點(diǎn)。（2）速度空間：以速度分量vx、vy、vz為坐標(biāo)軸，以從原點(diǎn)向代表點(diǎn)所引矢量來(lái)表示分子速度方向、大小的坐標(biāo)系。*不是分子的空間位置，是人們想象的空間坐標(biāo)（3）代表點(diǎn)在速度空間中的分布：將某一瞬間所有分子的對(duì)應(yīng)速度都標(biāo)在速度空間中，構(gòu)成代表點(diǎn)在速度空間中的一種分布圖形。vxvyvzovdvxdvydvz第61頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在三維速度空間中，內(nèi)這一條件，表示所指的是這樣一些分子，它們的速度矢量的端點(diǎn)都在一定體積元：速度空間，體積元—微分元數(shù)出這微分元中代表點(diǎn)的數(shù)目（2.31）第62頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示分子處于的概率：第63頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率相乘法則：同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積?！?.4.2麥克斯韋速度分布（Maxwellvelocitydistribution）（2.32）（2.33）第64頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.34）第65頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.4.3從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率ovxvyvzvdv在討論速率分布時(shí)，速度矢量的大小被限制在一定區(qū)間v~v+dv內(nèi)，速度矢量方向則可任意。滿(mǎn)足這個(gè)條件的速度矢量，其端點(diǎn)都落在半徑為v，厚度為dv的球殼內(nèi)。其體積：第66頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月麥克斯韋速度分布律第67頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月麥克斯韋速率分布律第68頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.4.4相對(duì)于的（麥克斯韋）速度分量分布與速率分布誤差函數(shù)附錄2-1中的定積分公式都是從0積到無(wú)窮大，有時(shí)需要計(jì)算氣體分子速度分量（或速率v）在某給定范圍內(nèi)的分子數(shù)或概率。這時(shí)可把麥克斯韋速度分布（2.25）式或速率分布（2.13）式分別作變量變換，使之變換為相對(duì)于最概然速率的速度分量分布或速率分布的形式。問(wèn)題的提出：計(jì)算速度分量（速率）為某一定值，介于某一給定范圍內(nèi)的分子數(shù)，即v或vx（vy，vz）的某一給定范圍內(nèi)的分子數(shù)。1、相對(duì)于vp的速度分量分布具體算vx在0~vx范圍內(nèi)的分子數(shù)速度分量vx在vx~vx+dvx范圍內(nèi)的分子數(shù)第69頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二章作業(yè)：107頁(yè)：5、7、11、12、13、14、17、20、22、24、25。第70頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在定積分上下限0~+∞、（-∞~+∞），積分表中可計(jì)算。積分是有限的，難以計(jì)算，引入誤差函數(shù)。（2.35）第71頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.36）第72頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題：(1)計(jì)算速度的分量在0~vp這一范圍內(nèi)分子數(shù)(2)試求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氮分子速度X分量小于800m/s的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比。解：第73頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、相對(duì)于vp的速率分布習(xí)題14、16、18、7問(wèn)題。習(xí)題16證明：第74頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.37）第75頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題1８解：第76頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考題12.最可幾速率左側(cè)的面積大于右側(cè)的面積。即在0~Vp內(nèi)的分子概率大于vp~∞概率。以在平衡態(tài)下，理想氣體分子按速率分布圖可知，以Vp不對(duì)稱(chēng)分布。在Vp右側(cè)分子數(shù)占總分子數(shù)57.3%。方均根速率在Vp右側(cè)。而這里在Vp左側(cè)的分子數(shù)多，所以方均根速率在Vp左側(cè)。第77頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題6解：第78頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題15證明：第79頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2.37）第80頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題2.3T=0時(shí)，金屬中自由電子的速率分布第81頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示費(fèi)米（球）面的能量（其中me為電子質(zhì)量），稱(chēng)為費(fèi)米能。不同金屬，EF值不同，一般它取eV的量級(jí)。在T=0K時(shí)，金屬中自由電子還在以1.2×10-6m/s的數(shù)量級(jí)平均速率運(yùn)動(dòng)著。（麥克斯韋速率分布律，在T=0K時(shí)，平均速率為零。第82頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月*§2.4.5絕對(duì)零度時(shí)金屬中自由電子的速度分布與速率分布（費(fèi)米球）金屬自由電子模型指出，金屬中的價(jià)電子是無(wú)相互作用的自由電子。在T=0K時(shí)，自由電子的速度分布可表示為在速度空間中的一個(gè)費(fèi)米球。其球心位于速度空間的原點(diǎn)，球的半徑為vF（稱(chēng)為費(fèi)米速率，是一個(gè)與金屬種類(lèi)有關(guān)的常數(shù)）。具體說(shuō)來(lái)，電子狀態(tài)位于速度空間中費(fèi)米球外的概率密度為零，位于球內(nèi)的概率密度為常數(shù)，設(shè)為De。De可如下求出：由歸一化條件知第83頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖表示這種速率分布。利用它可求出（2.38）第84頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題T=0時(shí)，金屬中自由電子的速率分布（2.39）第85頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通常以來(lái)表示費(fèi)米（球）面的能量（其中me為電子質(zhì)量），稱(chēng)為費(fèi)米能。不同金屬，EF值不同，一般它取eV的量級(jí)。例如，銅的EF=1.1×10-18J，而me=9.1×10-31kg，由此知T=0K時(shí)，銅中自由電子平均速率說(shuō)明即使在T=0K時(shí)，金屬中自由電子還在以106m·s-1的數(shù)量級(jí)的平均速率在運(yùn)動(dòng)著，這是經(jīng)典理論無(wú)法解釋的（按照麥克斯韋分布，T=0K時(shí)的=0）。這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。第86頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.5氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用§1.6.2已用最簡(jiǎn)單的方法導(dǎo)出了單位時(shí)間內(nèi)碰撞在單位面積器壁上的平均分子數(shù)的近似公式.在推導(dǎo)中簡(jiǎn)單地在把立方容器中的氣體分子分為相等的六組，每一組都各垂直于一個(gè)器壁運(yùn)動(dòng)，且認(rèn)為每一分子的平均速率都為。這里將用較嚴(yán)密的方法導(dǎo)出г（通常有兩種方法：一種是利用速率分布；另一種是利用速度分布，這里僅介紹速度分布法）。接著利用麥克斯韋速度分布來(lái)證明氣體壓強(qiáng)公式。最后本節(jié)將介紹氣體分子碰壁數(shù)的一些重要應(yīng)用。§2.5.1由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)、氣體壓強(qiáng)公式及簡(jiǎn)并壓強(qiáng)第87頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月vxdtxyzvydtvzdtdAoBvxvyvz0單位體積內(nèi)的分子數(shù)n,在垂直于x軸的器壁上取一小塊面積為dA，設(shè)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n，則單位體積內(nèi)速度分量在之間的分子數(shù)為：求單位時(shí)間內(nèi)碰在單位面積上的總分子數(shù)。

第88頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第89頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第90頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月vxdtxyzvydtvzdtdAoB第91頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）、簡(jiǎn)并壓強(qiáng)：在T=0時(shí)，金屬中的自由電子以106m/s平均速度運(yùn)動(dòng)。金屬表面相當(dāng)于裝有自由電子的器壁，自由電子與器壁表面碰撞所產(chǎn)生的壓強(qiáng)為費(fèi)米壓強(qiáng)，也稱(chēng)簡(jiǎn)并壓強(qiáng)（4）、瀉流及其應(yīng)用第92頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月*§2.5.2瀉流及其應(yīng)用（熱分子壓差、分子束技術(shù)及其速率分布、同位素分離、熱電子發(fā)射）（一）瀉流（effusion）氣體從很小的容器壁小孔中逸出稱(chēng)為瀉流。處于平衡態(tài)的氣體，在dt時(shí)間內(nèi)，從△A面積小孔逸出的分子數(shù).假設(shè)器壁上開(kāi)有一很小的孔或狹縫，由于從小孔流出的分子數(shù)比容器中總的分子數(shù)少得很多，氣體從小孔逸出的不會(huì)影響容器內(nèi)氣體的平衡態(tài)的建立。若較薄，則分子射出的小孔的數(shù)目是與碰撞到器壁小孔處的氣體分子數(shù)相等的，氣體分子如此射出小孔的過(guò)程瀉流。（1）熱分子壓差

一容器，絕熱、薄壁。A，B中的氣體可通過(guò)小孔以瀉流方式互換分子。經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，將建立動(dòng)態(tài)的平衡。瀉流條件：A逸出到B的氣體分子數(shù)=B逸出到A中的氣體分子數(shù)。第93頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第94頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

可以看到：兩邊溫度不同，達(dá)到穩(wěn)定后小孔兩邊氣體壓強(qiáng)也不相等。若小孔開(kāi)較大，孔兩邊氣體壓強(qiáng)趨于相等，情況截然不同。這種方法常用于測(cè)量低溫下真空壓強(qiáng)。如容器中77K液氮中，利用較細(xì)管道將低溫、低壓氣體聯(lián)到室溫下測(cè)量。第95頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（２）同位素的分離∵平均速率∴質(zhì)量小的分子易于逸出小孔。為同位素分離提供了十分有用方法。一容器由疏松的器壁所構(gòu)成，含有極大量的可透過(guò)氣體分子的小孔。從小孔穿出的分子被抽入收集箱中。設(shè)容器中，兩種氣體都是理想氣體：因此容器中質(zhì)量小的分子減少的速率大于質(zhì)量大的分子減少速率。結(jié)果：第96頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）單位時(shí)間內(nèi)逸出的兩種分子數(shù)之比：（2）用穩(wěn)定新鮮的氣體流來(lái)補(bǔ)充因?yàn)a流而減少的氣體。使最初容器中n1、n2保持恒定。（3）將逸出的分子立即抽送到收集箱中，則在收集箱中的兩種氣體的分子數(shù)密度之比：第97頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在核工程中，用這一性質(zhì)分離U238（富度99.3%)、U235（富度0.7%)兩種同位素。若n1=0.7%，n2=99.3%，氟化物UF6

（4）是小孔逸出的氣體分子中兩種分子數(shù)密度之比。即經(jīng)瀉流之后，質(zhì)量小的氣體相對(duì)富度增加。第98頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第99頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第100頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果將U235濃縮到99%以上，至少需要幾級(jí)瀉流？設(shè)n級(jí)瀉流第101頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第102頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.6外力場(chǎng)中自由粒子的分布·玻爾茲曼分布一、玻爾茲曼分布律Maxwell分布律中，分子不受外力影響。玻爾茲曼把Maxwell分布律推廣到在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。以總能量代替。這樣代替Maxwell分布律的有：當(dāng)系統(tǒng)在力場(chǎng)中處于平衡態(tài)時(shí)，其中坐標(biāo)介于內(nèi)同時(shí)速度介于的分子數(shù)為：n0表示在勢(shì)能為零處單位體積內(nèi)具有各種速度分子總數(shù)。這個(gè)結(jié)論叫做玻爾茲曼分子按能量分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)玻爾茲曼分布律。第103頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示各種速度的分子總數(shù)。再以除上式，單位體積內(nèi)分子數(shù)：這是玻爾茲曼分布律常用形式，它是分子按位能分布律。是一普遍規(guī)律，對(duì)任何物質(zhì)的微粒在任何保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情形都成立。第104頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1105

設(shè)n1和n2分別表示在溫度T的系統(tǒng)中，處于粒子能量為ε1的某一狀態(tài)與ε2的另一狀態(tài)的粒子數(shù)密度。由式（2.40）可得：

對(duì)于處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分子、布朗粒子，以及液體、固體中的很多粒子，一般都可應(yīng)用玻爾茲曼分布，只要粒子之間相互作用很小而可以忽略。

它表示處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，在（無(wú)相互作用）粒子的兩個(gè)不同能量的狀態(tài)上的粒子數(shù)的比值與系統(tǒng)的溫度及能量之差有確定的關(guān)系。(2.41)(2.42)第105頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這是關(guān)于溫度的另一微觀定義，（在第一章導(dǎo)論中曾得，說(shuō)明溫度是微觀粒子熱運(yùn)動(dòng)平均能量大小的度量）。對(duì)于粒子只能取兩個(gè)能級(jí)的系統(tǒng)，設(shè)在這兩能級(jí)上的粒子數(shù)密度分別為n1及n2，若在情況下有n1＜n2關(guān)系，則T＞0。但若情況下，n1＞n2（這稱(chēng)為粒子數(shù)反轉(zhuǎn)），這時(shí)T＜0，我們就稱(chēng)該粒子系統(tǒng)處于負(fù)溫度（negationtemperature）狀態(tài)。負(fù)溫度僅存在于由兩個(gè)能級(jí)所單獨(dú)組成的子系中；且僅出現(xiàn)在短暫的時(shí)間中。產(chǎn)生激光的系統(tǒng)，就處于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)（populationinversion）的負(fù)溫度狀態(tài)。請(qǐng)選讀材料秦2-3子系溫度與負(fù)溫度。第106頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1107二、在重力場(chǎng)中微粒按高度的分布1、重力場(chǎng)中氣體分子按高度的分布：在重力場(chǎng)中，氣體分子受到兩種對(duì)立作用。無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)、重力的作用，當(dāng)平衡時(shí)，氣體分子在空間非均勻分布，分子數(shù)隨高度而減小。由玻爾茲曼分布律，可以確定氣體分子在重力場(chǎng)中按高度分布的規(guī)律。如果取z=0，單位體積內(nèi)分子數(shù)為n0，利用式（2.40)，則在z高度處的體積dxdydz內(nèi)分子數(shù)為：第107頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在重力場(chǎng)中，氣體分子數(shù)密度隨高度的增加按指數(shù)減小。氣體溫度越高，n減小得越緩慢；分子量越大，n減小得越迅速。2、等溫壓強(qiáng)公式表示在z=0時(shí)的壓強(qiáng)，式（2.45）稱(chēng)等溫壓強(qiáng)公式。第108頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、等溫上升高度上升高度：

在高度差不大的范圍內(nèi)計(jì)算結(jié)果才與實(shí)際符合（因地面附近大氣溫度是隨高度變化的）。在爬山和航空中，可用這個(gè)公式來(lái)判斷上升高度。三、懸浮微粒按高度的分布設(shè)每一個(gè)微粒的質(zhì)量為m，體積為V，微粒的密度為ρ。液體中懸浮的布朗粒子也存在一個(gè)與大氣分子十分類(lèi)似的粒子數(shù)密度按高度的分布。在等溫的平衡態(tài)條件下，其數(shù)密度隨高度z的分布為1908年法國(guó)科學(xué)家Perrin首次觀測(cè)到，1926年獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)。第109頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1110四、總結(jié)第110頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1111§2.7能量均分定理

在前面講過(guò)，分子平均平動(dòng)動(dòng)能，這里要與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值比較，得到能量均分定理，同時(shí)指出這一定理的局限性?！?.7.1自由度（degreeoffreedom）自由度數(shù)（numberoffreedom）對(duì)于分子運(yùn)動(dòng)，除了單原子分子，一般的分子運(yùn)動(dòng):平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及原子間的振動(dòng)，三種運(yùn)動(dòng)形式。要確定分子的各種形式運(yùn)動(dòng)能量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，要用力學(xué)中自由度的概念。1、自由度：描述一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)稱(chēng)為該物體的自由度。而決定一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱(chēng)為自由度數(shù)。第111頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、剛體運(yùn)動(dòng)的自由度數(shù)：運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)心平動(dòng)、繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）質(zhì)心的位置：X、Y、Z，平動(dòng)自由度。t=3（2）用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，決定轉(zhuǎn)軸的方位：α、β、γ，兩個(gè)獨(dú)立（r）。（3）用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，φ表示剛體相對(duì)于某一起始位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度。剛體運(yùn)動(dòng)的自由度數(shù)：i=t+r+s=3+2+1=6第112頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第113頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)想有一剛性輕質(zhì)圓環(huán)。輕質(zhì)圓環(huán)上固定兩個(gè)質(zhì)量、大小均等的均質(zhì)球p、q，從而組成一個(gè)啞鈴狀的剛體，p、q質(zhì)心聯(lián)線(xiàn)通過(guò)圓環(huán)中心。然后將這圓環(huán)放在豎直平面內(nèi)，其豎直中心軸為A-A?，F(xiàn)設(shè)想該圓環(huán)繞A-A軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)角度為α。再設(shè)想圓環(huán)繞它自己的中心軸B-B旋轉(zhuǎn)（B-B垂直于圓環(huán)所在平面并通過(guò)圓環(huán)中心O），所轉(zhuǎn)過(guò)角度為β。當(dāng)剛性啞鈴狀聯(lián)結(jié)的p、q球繞其中心O作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，p、q球質(zhì)心聯(lián)結(jié)線(xiàn)在空間的方位，可由α、β角唯一地確定。最后又令啞鈴狀聯(lián)結(jié)的p、q球繞它們的中心軸C-C旋轉(zhuǎn)。這時(shí)不僅確定了p、q球質(zhì)心聯(lián)結(jié)線(xiàn)在空間的方位，而且確定了該剛體繞它們的中心軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度γ。第114頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

α、β、γ就是由p、q組成的剛性啞鈴作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)所需的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。不難理解，當(dāng)圓環(huán)上有N個(gè)球（甚至不是圓環(huán)，而是一個(gè)任意剛體），則繞它們的質(zhì)心作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)所需獨(dú)立坐標(biāo)仍然是繞A-A、B-B、C-C軸轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)角度。由此可見(jiàn)，一個(gè)剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的自由度數(shù)為3。一個(gè)剛體既在空間平動(dòng)，又經(jīng)各種可能方式作轉(zhuǎn)動(dòng)，要確定這一剛體的空間位置就需x、y、z及α、β、γ六個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，它的自由度數(shù)是六個(gè)。第115頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1116任一直線(xiàn)形成一組平行線(xiàn)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)（s）質(zhì)點(diǎn)

xzy

剛體的自由度

第116頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1117例1自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)(三維空間)3個(gè)平動(dòng)自由度記作t=3

若受到限制自由度降低

平面上2個(gè)平動(dòng)自由度t=2

直線(xiàn)上1個(gè)平動(dòng)自由度t=1例2自由運(yùn)動(dòng)的剛體(如大家熟悉的手榴彈)自由度？

首先應(yīng)明確剛體的振動(dòng)自由度s=0

按基本運(yùn)動(dòng)分解：平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)整體隨某點(diǎn)(通常選質(zhì)心)平動(dòng)6個(gè)自由度t+r=3+3=6第117頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1118定質(zhì)心位置需3個(gè)平動(dòng)自由度轉(zhuǎn)軸每一點(diǎn)繞過(guò)c點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)共有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度也可以理解成物體系對(duì)三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)先定轉(zhuǎn)軸2個(gè)自由度再定每個(gè)質(zhì)量元在垂直軸的平面內(nèi)繞軸旋轉(zhuǎn)角度1個(gè)自由度第118頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11193、剛性多原子系統(tǒng)分子的自由度數(shù)

質(zhì)點(diǎn)系的自由度(一般性討論)●每個(gè)獨(dú)立的粒子各有3個(gè)自由度系統(tǒng)最多有3N個(gè)自由度●基本形式平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)+振動(dòng)

t

r

s

隨某點(diǎn)平動(dòng)t=3

過(guò)該點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)r=3其余為振動(dòng)s=0

第119頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11204.氣體分子的自由度數(shù)

將每個(gè)原子看作質(zhì)點(diǎn)，所以分子是質(zhì)點(diǎn)系。（1）剛性氣體分子的自由度數(shù)單原子分子雙原子分子多原子分子（2）非剛性氣體分子的自由度數(shù)單原子分子雙原子分子多原子分子第120頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在常溫下,分子可看作剛性分子結(jié)構(gòu).如H2、N2、CO等雙原子分子自由度是5。在高溫下，分子實(shí)驗(yàn)表明：分子除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外，兩個(gè)原子之間還有沿著連線(xiàn)方向上作微振動(dòng)?！?.7.2能量均分定理（Theoremofequipartitionofenergy）1、單原子分子理想氣體的平均平動(dòng)動(dòng)能與三個(gè)平動(dòng)自由度的關(guān)系因?yàn)榉肿佑腥齻€(gè)自由度x、y、z，與此相應(yīng)，分子的平均動(dòng)能可表示為：第121頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分子在每一個(gè)平動(dòng)自由度上具有相同的平動(dòng)動(dòng)能，其大小等于1/2kT.分子的平均平動(dòng)動(dòng)能3/2kT，均勻地分配于每一個(gè)平動(dòng)自由度上1/2kT.2、能量按自由度均分定理（能量均分定理）將上面的規(guī)律，推廣到轉(zhuǎn)動(dòng)及振動(dòng)自由度。認(rèn)為每一轉(zhuǎn)動(dòng)及振動(dòng)自由度也均分到1/2kT的平均動(dòng)能。定理：處于溫度為T(mén)的平衡態(tài)氣體中，分子的每一自由度上都具有相同的平均動(dòng)能，其大小都等于1/2kT.第122頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、分子的平均總能量

設(shè)：t個(gè)平動(dòng)自由度，r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，s個(gè)振動(dòng)自由度：分子內(nèi)原子的振動(dòng)振幅非常小的微振動(dòng)，可看作是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能是相等的，是總能量的一半。因此一個(gè)振動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)一個(gè)平均動(dòng)能和一個(gè)平均勢(shì)能，都是,所以一個(gè)振動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)的能量是。第123頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分子平均總的能量就是：?jiǎn)卧臃肿?，常溫下，t=3r=s=0，分子平均總的能量：雙原子分子，常溫下，t=3，r=2，s=0，分子平均總的能量：雙原子分子，高溫下，t=3，r=2，s=1，分子平均總的能量：第124頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、強(qiáng)調(diào)幾個(gè)問(wèn)題（1）各振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度都是對(duì)能量均分定理作出貢獻(xiàn)的自由度，有時(shí)這些自由度會(huì)發(fā)生“凍結(jié)”。如溫度不是很高的常見(jiàn)氣體H2、N2、CO，剛性的分子，振動(dòng)自由度已被凍結(jié)，它們的總的自由度是5，分子平均總的能量：（2）只有平衡態(tài)下，才能應(yīng)用能量均分定理。（3）能量均分定理本質(zhì)上是關(guān)于熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是大量的分子統(tǒng)計(jì)平均所得結(jié)果。（4）能量均分定理不僅適用于理想氣體，一般也可用于液體、固體。（5）對(duì)于氣體，能量按自由度均分是依靠分子之間大量的無(wú)規(guī)則碰撞來(lái)實(shí)現(xiàn)。第125頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、理想氣體的內(nèi)能（internalenergy）1、內(nèi)能：包含分子各自由度的動(dòng)能和分子間相互作用勢(shì)能。2、理想氣體的內(nèi)能：是所有分子的動(dòng)能和分子內(nèi)部勢(shì)能的總和。意義：理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與熱力學(xué)溫度成正比，與氣體的體積壓強(qiáng)無(wú)關(guān)。第126頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1mol單原子理想氣體的內(nèi)能：1mol剛性的雙原子理想氣體的內(nèi)能：1mol非剛性的雙原子理想氣體的內(nèi)能：第127頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.7.3理想氣體的熱容對(duì)于內(nèi)能公式及能量均分定理最直接的驗(yàn)證方法，與熱容量測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較，因?yàn)闊崛萘渴强蓽y(cè)量的。1、熱容量定義：存在溫度差時(shí)，發(fā)生的傳熱過(guò)程中。物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量稱(chēng)為物體的熱容量。1摩爾物質(zhì)溫度升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量稱(chēng)為物體的摩爾熱容量。單位質(zhì)量物體的熱容量為比熱。第128頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、定容摩爾熱容量，定壓摩爾熱容量。

對(duì)于氣體，隨著狀態(tài)的變化過(guò)程不同，升高一定溫度所需的熱量是不同的，所以不同的熱力學(xué)過(guò)程，即使是同一種物質(zhì)也有不同的熱容量。等容過(guò)程，氣體吸熱全部轉(zhuǎn)換成內(nèi)能，不對(duì)外作功。等壓過(guò)程，氣體吸熱一部分用于內(nèi)能提高，一部分對(duì)外作功。氣體吸熱升高一定溫度，等容過(guò)程吸熱少，等壓過(guò)程吸熱多。（1）

1mol理想氣體，在體積不變的條件下，吸熱dQ，溫度生高dT，則第129頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月等容過(guò)程，不對(duì)外作功，吸熱等于內(nèi)能的變化。（2）：1mol理想氣體，在壓強(qiáng)不變的條件下，吸熱dQ，溫度升高dT，4、定容摩爾熱容量與內(nèi)能的關(guān)系。第130頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月理想氣體的定容摩爾熱容量是一個(gè)只與分子的自由度有關(guān)的量，它與溫度無(wú)關(guān)。（1）單原子理想氣體分子：（2）雙原子理想氣體分子（剛性）：第131頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月雙原子理想氣體分子（非剛性）：（3）多原子理想氣體分子（剛性）：以上這些是內(nèi)能均分定理所得到的結(jié)論。5、由能量均分定理所獲得的與實(shí)驗(yàn)值對(duì)照第132頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）溫度是0oC，（講義100頁(yè)，表3-1）單原子氣體理論值：?jiǎn)卧永硐霘怏w的理論值與實(shí)驗(yàn)值基本相符合。原子數(shù)單原子雙原子氣體HeNOH2O2N2CONO2.982.9793.2864.8495.0964.9684.9795.174雙原子的理論值：剛性的，第133頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月原子數(shù)三原子氣體CO2H2O甲烷CH4乙炔C2H2丙烯C3H66.5796.0156.3118.0212.34（2）溫度是0oC，（講義100頁(yè)，表3-1）多原子氣體的剛性理論值：多原子氣體的非剛性理論值：第134頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）在不同的溫度下，幾種雙原子氣體實(shí)驗(yàn)值的比較氣體H2O2N2CO02004006008001000120014004.8494.9985.0355.1305.2925.4865.6945.8965.0965.3745.8386.1836.4226.5926.7296.8514.9685.0535.3175.6385.9206.1446.3176.4504.9795.0955.4125.7536.0336.2476.4076.528第135頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）在不同的溫度下，氫氣體實(shí)驗(yàn)值的比較-233-183-76050010001500200025002.983.254.384.8495.0745.4865.9906.3876.688第136頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月H2，在不同溫度下，氫的實(shí)驗(yàn)值比較。溫度0C-233-183-7605001000150020002500Cv2.983.254.384.8495.074