2022-2023學(xué)年河南省信陽(yáng)市湘豫名校聯(lián)考高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省信陽(yáng)市湘豫名校聯(lián)考高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可.【詳解】設(shè)，則．因?yàn)?，所以，所以．所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：D2．已知向量，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及投影向量的概念求解．【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以．所以在方向上的投影向量為．故選：B．3．在直三棱柱中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（

）A．與相交，且B．與相交，且C．與是異面直線，且D．與是異面直線，且【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義分析判斷，利用勾股定理計(jì)算長(zhǎng)度即可【詳解】如圖所示，因?yàn)槠矫妫矫?，所以與是異面直線，．因?yàn)椋裕蔬x：D

4．青島五四廣場(chǎng)主題鋼雕塑（如圖1）以單純簡(jiǎn)練的造型元素排列組合成旋轉(zhuǎn)騰空的“風(fēng)”，通體火紅，害意五四運(yùn)動(dòng)是點(diǎn)燃新民主主義革命的“火種”及青島與五四運(yùn)動(dòng)的淵源．某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了估算該鋼雕塑的高度，選取了與鋼雕塑底部在同一水平面上的兩點(diǎn)（如圖2），在點(diǎn)和點(diǎn)測(cè)得鋼雕塑頂端點(diǎn)的仰角分別為和，測(cè)得米，，則鋼雕塑的高度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用余弦定理即可解三角形.【詳解】由題意得，，所以，，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，，即，解得，即米．故選：C5．已知甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若甲圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和體積的公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)分別為，因?yàn)椋裕驗(yàn)榧讏A錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，所以，即，所以，則甲圓錐的高，乙圓錐的高．所以．故選：A．6．在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：，進(jìn)而得，根據(jù)平面向量基本定理可得結(jié)果．方法二：，由題得，又三點(diǎn)共線，所以，從而得解．【詳解】方法一：如圖所示，因?yàn)榕c交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，所以．又因?yàn)椋裕?，不共線，所以，所以．方法二：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以．由題得，又三點(diǎn)共線，所以，即．故選：A．7．最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱為“米勒問(wèn)題”．如圖，樹(shù)頂離地面12米，樹(shù)上另一點(diǎn)離地面8米，若在離地面2米的處看此樹(shù)，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，設(shè)，求得，，然后由，結(jié)合三角恒等變換和基本不等式求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則．

設(shè)，在中，．在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：C.8．已知正三棱臺(tái)中，，若該正三棱臺(tái)外接球的體積為，則的面積為（

）A． B．或2 C． D．或【答案】D【分析】由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合多面體的內(nèi)接、外切問(wèn)題求解即可.【詳解】圖1所示，設(shè)，正三棱臺(tái)上?下底面所在圓的半徑分別為，則由正弦定理，得，即．因?yàn)?，所以．設(shè)外接球的半徑為，由外接球的體積為，得，即．設(shè)球心到上?下底面的距離分別為，所以，故（如圖1）或（如圖2），即或，解得或，所以的面積為或．故選：D.

二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A,由模長(zhǎng)公式以及共軛的性質(zhì)即可判斷BCD.【詳解】由題意，得正確；因?yàn)椋藻e(cuò)誤；因?yàn)?，所以，C正確；由題意，得，因?yàn)?，，所以，D正確．故選：ACD10．已知向量，則（

）A．若，則B．若，則C．當(dāng)時(shí)，D．若與的夾角為銳角，則【答案】AC【分析】根據(jù)平面向量的平行、垂直的坐標(biāo)表示，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)A，若，則，解得，A正確；對(duì)B，若，則，解得或3，B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，則，所以，C正確；若與的夾角為銳角，則且與不同向共線，所以解得且，D錯(cuò)誤．故選:AC.11．已知正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由基本不等式，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)?，且均為正?shí)數(shù)，所以由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；由不等式，得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤（或）；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確．故選：ABD12．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的一個(gè)周期為3B．當(dāng)時(shí)，C．D．直線與曲線共有7個(gè)不同的交點(diǎn)【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性推出周期性，單調(diào)性，利用函數(shù)的周期性、單調(diào)性和函數(shù)圖象逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，用替換，得①．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即②．結(jié)合①②，得，所以．所以，所以的一個(gè)周期為4，故A錯(cuò)誤；由，令，得．所以，即③．由，得，即④，聯(lián)立③④兩式，得，所以當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則，，故B正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以．又函數(shù)的一個(gè)周期為4，所以作出的圖象如圖所示：，，結(jié)合圖象可得，所以，故C正確；作直線，由圖可知，直線與曲線共有7個(gè)不同的交點(diǎn)，故正確．

故選：BCD三、填空題13．已知集合,，則．【答案】【分析】求出定義域和值域得到，從而得到交集.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故答案為?4．如圖所示，是一個(gè)等腰直角三角形，且，是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的原圖形中，．

【答案】【分析】利用斜二測(cè)畫法的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】題圖中，過(guò)點(diǎn)分別作軸?軸的平行線，分別交軸?軸于點(diǎn)，

由，得，所以．由直觀圖畫法規(guī)則將還原為，如圖所示，得，所以.

故答案為：15．已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】方法一：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義與點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求解；方法二：利用不等式求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)的距離為4的點(diǎn)的集合，如圖所示．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是．

方法二：因?yàn)?，?所以．故答案為:.16．已知在等腰梯形中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示向量，結(jié)合向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用即可得出結(jié)果.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由，得，．設(shè)，則，，，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：四、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．(1)求；(2)若的實(shí)部小于零，且是關(guān)于的方程的根，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的定義，結(jié)合模長(zhǎng)公式，即可列方程求解，（2）利用復(fù)數(shù)相等的充要條件即可代入求解.【詳解】（1）設(shè)，則．因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且．又，所以．聯(lián)立方程得或故或．（2）由（1）和的實(shí)部小于零，得．因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，即．所以解得所以?8．如圖，在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若，求；(2)若交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，由數(shù)量積的運(yùn)算律和定義即可求解，（2）利用平面向量基本定理的推論，結(jié)合共線，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，所以．所以．?）由題可知三點(diǎn)共線，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以由平面向量基本定理，得．同理．因?yàn)?，所以．所以?②．①+②得．因?yàn)椋裕实娜≈捣秶鸀?9．在條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足__________．(1)求角的大小；(2)若的面積為，求的值．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)選①②③均可得到(2)【分析】（1）選①，由正弦定理和余弦定理求出，得到；選②，由正弦定理結(jié)合得到，得到；選③，由余弦定理和正弦定理得到，得到；（2）由（1）得，結(jié)合三角形面積公式得到，結(jié)合正弦定理得到.【詳解】（1）若選①：因?yàn)椋裕烧叶ɡ淼?，由余弦定理得，所以，解得．因?yàn)椋裕暨x②：因?yàn)?，所以由正弦定理得．整理得，即．又，所以．又因?yàn)?，所以．又，所以．若選③：在中，由余弦定理，得，所以．因?yàn)椋裕烧叶ɡ?，得，所以，即．所以，因?yàn)?，所以，所以，得．?）由（1）得，因?yàn)榈拿娣e為3，所以，所以．因?yàn)?，所以．又由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得．所以，所以?0．已知向量，且函數(shù)．(1)求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；(2)把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為(2)【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由三角函數(shù)的平移、伸縮變換可求出，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求出在的最大值，可得，解不等式即可求出答案.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚?，令，得；令，得，所以的圖象的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），得的圖象，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．令，則．當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以，即，解得或．所以?shí)數(shù)的取值范圍為．21．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)在邊上，且滿足．(1)若，證明：；(2)若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）根據(jù)正弦定理，在中，由得，在中，由得，結(jié)合可得結(jié)論；（2）方法一：由條件結(jié)合正弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，結(jié)合可得關(guān)系式，由余弦定理可得答案．方法二：因?yàn)椋?，平方可得．由余弦定理得，整理得．因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，從而可得關(guān)系式，由余弦定理可得答案．【詳解】（1）在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以．在中，由正弦定理得，由題意得，所以．因?yàn)椋杂烧叶ɡ?，得，所?/p>

（2）方法一：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫谥?，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得．因?yàn)?，所以．所以，整理得，所以，解得或．?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以．所以或．方法二：因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，即①．由余弦定理，得②，由①②整理得．因?yàn)?，所以由正弦定理，得．所以，解得或．?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以．綜上所述，或．22．已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)記的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，是否存在?shí)數(shù)，使得,若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)存在；【分析】（1）利用二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值；（2）利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)分類討論求二次函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性與最值可