浙江省A9協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前浙江省A9協(xié)作體暑假返校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題卷命題：普陀中學(xué)莊成明、莊靜紅磨題：牌頭中學(xué)趙春風桐鄉(xiāng)一中董志俊校稿：呂金晶考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前務(wù)必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分（共60分）一、單選題（每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式和絕對值不等式即可得到，再根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】解得或，則或，，解得，則，則，故選：C.2.已知平面向量，，，則實數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示計算可得.【詳解】因為，，，所以，解得.故選：A3.已知雙曲線：（，），、分別為左、右焦點，點在雙曲線上，，到左焦點的距離是到右焦點的距離的3倍，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義和離心率運算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可知：，則，可得，因為，則，即，整理得，所以雙曲線的離心率是.故選：B.4.已知，，且，則的最小值是（）A.18 B.16 C.10 D.4【答案】B【解析】【分析】先利用對數(shù)運算得，然后利用“1”的代換求解最小值.【詳解】因為，，且，所以，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值是16.故選：B5.若函數(shù)滿足以下條件：①；②在單調(diào)遞增，則這個函數(shù)可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由選項中的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的運算，逐個條件驗證，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)在不是單調(diào)函數(shù)，不滿足條件②，所以A項不滿足題意；對于B中，當，可函數(shù)，可得在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件②，所以B項不滿足題意；對于C中，函數(shù)，可得，，則，不滿足條件①，所以C項不滿足題意；對于D中，函數(shù)，可得，則滿足，滿足條件①；又由，因為，可得，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足條件②，所以D符合題意.故選：D.6.已知某生產(chǎn)商5個月的設(shè)備銷售數(shù)據(jù)如下表所示：時間代碼12345銷售臺數(shù)（單位：百臺）57814生產(chǎn)商發(fā)現(xiàn)時間代碼和銷售臺數(shù)有很強的相關(guān)性，決定用回歸方程進行模擬，則的值是（）參考數(shù)據(jù)、公式：；；若，則A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】計算出，代入公式，求出.【詳解】，，故.故選：C7.已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個零點和3條對稱軸，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用整體換元法，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)．當時，令，則，若在有且僅有3個零點和3條對稱軸，則在有且僅有3個零點和3條對稱軸，則，解得.故選：A．8.如圖，一只青蛙開始時位于數(shù)軸上原點位置，每次向數(shù)軸的左側(cè)或右側(cè)隨機跳躍一個單位，記為第次跳躍后對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字（，），則滿足，的跳躍方法有多少種（）A.336 B.448 C.315 D.420【答案】B【解析】分析】先分兩類：①，，②，，然后每類分兩步，根據(jù)組合數(shù)公式列式求出結(jié)果再相加可得結(jié)果.【詳解】因為，所以或.當，時，前次向左跳躍次，向右跳躍次，后次向右跳躍次，所以有種；當，時，前次向右跳躍次，向左跳躍次，后次向左跳躍次，向右跳躍次，所以有種.綜上所述：滿足，的跳躍方法有種.故選：B【點睛】思路點睛：排列組合題一般思路是：先分類，再每類分步計數(shù).二、多選題（每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.對于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式中各項系數(shù)之和為256B.展開式中各項系數(shù)絕對值之和為C.展開式中的奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128D.展開式中的常數(shù)項是1120【答案】BCD【解析】【分析】對于A：賦值令，即可得結(jié)果；對于B：因為展開式中各項系數(shù)絕對值之和與的系數(shù)和相等，賦值令，即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)運算求解；對于D：根據(jù)二項展開式的通項公式運算求解.【詳解】對于選項A：令，可得，所以展開式中各項系數(shù)之和為1，故A錯誤；對于選項B：因為展開式中各項系數(shù)絕對值之和與的系數(shù)和相等，令，可得，所以展開式中各項系數(shù)絕對值之和為，故B正確；對于選項C：展開式中的奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故C正確；對于選項D：因為的展開式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項是，故D正確；故選：BCD10.如圖，已知正方體的棱長為，分別為棱的中點，則下列說法正確的是（）A.面B.四點共面C.三棱錐的外接球的半徑是D.平面經(jīng)過三棱錐的外接球的球心【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可證得，，由線面垂直的判定可知A正確；可證得，由此可得B正確；易知正方體的外接球即為三棱錐的外接球，由此可確定球心位置，知D正確；根據(jù)正方體外接球半徑的求法可知C錯誤.【詳解】對于A，，四邊形為正方形，；平面，平面，；，平面，平面，又平面，；同理可得：，又，平面，平面，A正確；對于B，連接，分別為中點，；，，四邊形為平行四邊形，，，四點共面，B正確；對于CD，三棱錐的頂點均為正方體的頂點，正方體的外接球即為三棱錐的外接球，正方體的中心即為三棱錐外接球的球心，記正方體中心為，則，平面，即平面經(jīng)過三棱錐的外接球的球心，D正確；三棱錐的外接球半徑，C錯誤.故選：ABD.11.已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個正整數(shù)，使得點在直線的上方，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點 B.C. D.實數(shù)的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點的求法可求得A正確；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，結(jié)合可知B錯誤；作出圖象，通過分析圖象可知，且根據(jù)函數(shù)值大小關(guān)系可構(gòu)造不等式組求得范圍，知C錯誤，D正確.【詳解】對于A，直線方程可整理為：，由得：，直線恒過定點，A正確；對于B，定義域為，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，，B錯誤；對于CD，直線方程可整理為，且直線過定點；作出圖象如下圖所示，當，即時，有無數(shù)個正整數(shù)，使得點在直線的上方，不合題意；當，即，若有且僅有一個正整數(shù)，使得點在直線的上方，結(jié)合圖象可知：，C錯誤；此時需滿足，解得：，即實數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：AD.12.已知數(shù)列為正項數(shù)列，前項和為，，滿足（），則下列說法正確的是（）A.長度為，，1的三條線段可以圍成一個內(nèi)角為的三角形B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用余弦定理判斷A，對式子變形，換元求解數(shù)列前n項和及通項公式，從而判斷BC，再利用數(shù)列求和判斷D.【詳解】設(shè)邊長為對應(yīng)的角為，因為，所以，又，所以，即邊長為對應(yīng)的角為，故A錯誤；因為，所以，令，則，令，為銳角，則，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所以，故選項C正確；所以，當時，，又也適合，所以，又，所以，故選項B正確；構(gòu)造，則，記，則，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，又時，，所以，所以，所以，所以，故選項D正確.故選：BCD【點睛】與數(shù)列相關(guān)的不等式問題證明方法點睛：（1）可以利用數(shù)學(xué)歸納法來進行證明；（2）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行證明，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合不等式進行放縮得到結(jié)果.非選擇題部分（共90分）三、填空題（每小道5分，共20分）13.已知（為虛數(shù)單位），則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)乘法運算法則直接求解即可.【詳解】，，.故答案為：.14.十個數(shù)據(jù)：101、103、108、107、106、105、104、109、102、110的第60百分位數(shù)是______.【答案】106.5##【解析】【分析】先將數(shù)據(jù)按升序排列，再結(jié)合百分位數(shù)的定義運算求解.【詳解】將十個數(shù)據(jù)按升序排列可得：101、102、103、104、105、106、107、108、109、110，因為，所以第60百分位數(shù)是第6位與第7位的平均數(shù)，即為.故答案為：106.5.15.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與射線（）重合，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值可知，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式解得答案即可.【詳解】由題意，，且，，則由，解得，則.故答案為：.16.已知直線過拋物線：的焦點，與拋物線交于、兩點，線段的中點為，過作垂直于拋物線的準線，垂足為，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線，，，聯(lián)立拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程，得到韋達定理式，求出坐標，利用弦長公式和兩點距離公式得到和的表達式，再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】顯然當直線AB斜率為0時，不合題意；故設(shè)直線，，，聯(lián)立拋物線方程有，則，，，則，，，則，則，準線方程為，，則，，，所以，當且僅當，即時等號成立，此時.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是采取設(shè)線法聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理式，再利用中點公式得到點坐標，最后利用弦長公式和兩點距離公式得到相關(guān)表達式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和差公式求解可得；（2）利用三角恒等變換公式化簡，根據(jù)銳角三角形性質(zhì)求得B的范圍，再由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.【小問1詳解】，，，或【小問2詳解】是銳角三角形，則，是銳角三角形，，即，，，的取值范圍為.18.已知正項數(shù)列的前項和為，.（1）記，證明：數(shù)列的前項和；（2）若，求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）利用裂項相消法可求得，由可得結(jié)論；（2）利用與的關(guān)系可整理得到，進而得到，由等差數(shù)列定義可證得結(jié)論；利用等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到.【小問1詳解】，；數(shù)列為正項數(shù)列，，，則.【小問2詳解】當且時，，，整理可得：，，經(jīng)檢驗，當時，，得，滿足條件，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，19.中國的CT機打破了歐美30年的技術(shù)壟斷，實現(xiàn)了從無到有的突破，中國的CT機不僅在技術(shù)上達到了國際水平，而且在價格上也更具競爭力.此外，中國的CT機還具有更好的定制化服務(wù)，能夠更好地滿足不同地區(qū)和不同醫(yī)療機構(gòu)的需求，明峰醫(yī)療和聯(lián)影醫(yī)療是中國CT機行業(yè)中的佼佼者.2023年8月某醫(yī)院購進甲型CT機2臺，乙型CT機1臺，該醫(yī)院決定按照以下方案調(diào)試新機器：每臺設(shè)備最多進行2次調(diào)試，只要調(diào)試成功就投入使用，每次調(diào)試費用0元：如果兩次調(diào)試均不成功，則邀請生產(chǎn)商上門調(diào)試，生產(chǎn)商調(diào)試一臺醫(yī)院調(diào)試不成功的CT機需要額外支付1000元，生產(chǎn)商調(diào)試后直接投入使用；其中醫(yī)院對甲機型每次調(diào)試成功的概率為，對乙機型每次調(diào)試成功的概率為，調(diào)試相互獨立.（1）求醫(yī)院不需要生產(chǎn)商上門調(diào)試的概率；（2）計算醫(yī)院支付調(diào)試費用的分布列.【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）記事件為一臺甲設(shè)備調(diào)試成功，事件為一臺乙設(shè)備調(diào)試成功，根據(jù)題意求出，然后由獨立事件和概率公式可求得結(jié)果，（2）由題意得的可能取值為0，1000，2000，3000，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列.【小問1詳解】記事件為一臺甲設(shè)備調(diào)試成功，事件為一臺乙設(shè)備調(diào)試成功，則由題意得，，所以醫(yī)院不需要生產(chǎn)商上門調(diào)試的概率，【小問2詳解】由題意可得的可能取值為0，1000，2000，3000，則，所以的分布列為010002000300020.如圖三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，二面角的余弦值為.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，根據(jù)題意分析可知：二面角的平面角為，進而可得，利用勾股定理結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）方法一：建系，利用空間向量求線面夾角；方法二：利用等體積法求點到平面的距離為，進而可得結(jié)果；方法三：過作，連接，分析可知與平面所成角，運算求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為，則，，可得二面角的平面角為，即，在中，則，因為，即，可得，，即，，且，平面，所以平面.【小問2詳解】方法一：由（1）可知：，，，平面，所以平面，且平面，可得平面平面，若過作平面的垂線，可知垂線在平面內(nèi)，如圖，以O(shè)為坐標原點，分別為軸建系，則，，，，設(shè)點在平面的投影為，由面面垂直可知：，連接，在中，由等面積法可得，解得，則，所以，可得，所以設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，則，所以與平面所成角的正弦值為.方法二：由（1）可知：，，，平面，所以平面，且平面，可得，又因為∥，所以，則，設(shè)點到平面的距離為，因為，則，解得所以與平面所成角的正弦值為；方法三：由（1）可知：，，，平面，所以平面，且平面，可得，又因為∥，所以，則，過作，連接，因為平面，平面，則，且，平面，所以平面，所以與平面所成角，在中，由等面積法可得，解得，所以與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù)（），.（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，的圖象存在兩條公切線，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當時，的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；（2）【解析】【分析】（1）求出，分和兩種情況討論的正負即可得答案；（2）設(shè)函數(shù)上的切點坐標為，且，函數(shù)上的切點坐標為，可得，求出公切線，代入，得，將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，求導(dǎo)，作出的大致圖象，結(jié)合圖象即可得答案.【小問1詳解】解：因為，所以，①若，則，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；②若，令，則有，解得，所以當時，；當時，；所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；當時，的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.【小問2詳解】解：設(shè)函數(shù)上的切點坐標為，且，函數(shù)上的切點坐標為，且.