包頭市包鋼四中高一下學期期中數(shù)學試卷

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學年內蒙古包頭市包鋼四中高一（下)期中數(shù)學試卷一、選擇題(每小題只有1個正確答案，每小題5分，共50分）1．有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體應是一個（）A．棱臺 B．棱錐 C．棱柱 D．都不對2．垂直于同一條直線的兩條直線一定()A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能3．下列說法正確的是（）A．三點確定一個平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面α和平面β有不同在一條直線上的三個公共點4．已知向量,且，則實數(shù)k的值為（)A．﹣2 B．2 C．8 D．﹣85．如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2,則這個平面圖形的面積是()A． B．1 C． D．6．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列幾種說法正確的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1與DC成45°角 D．A1C1與B1C成60°角7．如圖,△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC,此圖中直角三角形的個數(shù)為(）A．1 B．2 C．3 D．48．設l，m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是(）A．若l⊥α,l∥m，則m⊥α B．若l⊥m,m?α,則l⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m9．已知點A（1,3），B（4，﹣1)，則與向量同方向的單位向量為（）A． B． C． D．10．已知兩個非零向量，滿足，則下面結論正確的是（）A． B． C． D．11．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V,點P、Q分別在側棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則多面體A1B1C1﹣PBQ的體積為（）A． B． C． D．12．圓錐的底面半徑為r，高是h，在這個圓錐內部有一個內接正方體,則此正方體的棱長等于（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分，共20分)13．球的表面積擴大為原來的4倍，它的體積擴大為原來的倍．14．向量(3,4）在向量（1，﹣2）上的投影為．15．已知向量=（λ+1，1）,=（λ+2，2），若()⊥（﹣），則λ=．16．若圓錐的側面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形,則這個圓錐的表面積是．三、解答題（17題10分，18到22題每題12分，共70分）17．已知向量．（Ⅰ)若與的夾角為,求；（Ⅱ）若，求與的夾角．18．如圖，一個組合體的三視圖如圖：（單位cm）(1）說出該幾何體的結構特征；（2)求該組合體的體積（保留π）;(3）求該組合體的全面積．（保留π）．19．如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中點．（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；(Ⅱ）證明：BD⊥CE．20．正方體ABCD﹣A'B’C’D’的棱長為a，連接A’C’，A’D，A’B，BD，BC’，C’D，得到一個三棱錐A’﹣BC'D．求：（1)求異面直線A’D與C’D′所成的角；（2）三棱錐A’﹣BC'D的體積．21．在邊長為2的正三角形ABC中,=2=3,設==．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ)求的值．22．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，過點A1、D1的平面α與棱AB和CD分別交于點E、F,四邊形A1EFD1為正方形．(1）在圖中請畫出這個正方形(注意虛實線,不必寫作法），并求AE的長;(2）問平面α右側部分是什么幾何體,并求其體積．

2016—2017學年內蒙古包頭市包鋼四中高一（下)期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題只有1個正確答案,每小題5分,共50分）1．有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體應是一個（）A．棱臺 B．棱錐 C．棱柱 D．都不對【考點】L8:由三視圖還原實物圖．【分析】根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖的形狀,將它們相交得到幾何體的形狀．【解答】解：由三視圖知，從正面和側面看都是梯形，從上面看為正方形，下面看是正方形，并且可以想象到連接相應頂點的四條線段就是幾何體的四條側棱,故這個三視圖是四棱臺．故選A．2．垂直于同一條直線的兩條直線一定（)A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能【考點】LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】根據(jù)在同一平面內兩直線平行或相交，在空間內兩直線平行、相交或異面判斷．【解答】解：分兩種情況：①在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行;②在空間內垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交或異面．故選D3．下列說法正確的是（）A．三點確定一個平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面α和平面β有不同在一條直線上的三個公共點【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】由公理3知:不共線的三個點確定一個平面，即可判斷A；四邊形有平面四邊形和空間四邊形兩種，由不共面的四個點構成的四邊形為空間四邊形，即可判斷B；在同一平面內，只有一組對邊平行的四邊形為梯形,即可判斷C；由公理3得不同在一條直線上的三個公共點確定一個平面,即可判斷D．【解答】解：A．由公理3知：不共線的三個點確定一個平面，故A錯；B．四邊形有平面四邊形和空間四邊形兩種，由不共面的四個點構成的四邊形為空間四邊形，故B錯；C．在同一平面內，只有一組對邊平行的四邊形為梯形，故C對；D．由公理3得不同在一條直線上的三個公共點確定一個平面，故D錯．故選C．4．已知向量,且，則實數(shù)k的值為（）A．﹣2 B．2 C．8 D．﹣8【考點】9K:平面向量共線（平行）的坐標表示．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2k﹣4=0，解得k=﹣2．故選：A．5．如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，則這個平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．【考點】LB：平面圖形的直觀圖．【分析】根據(jù)所給的直觀圖是一個等腰直角三角形且斜邊長是2，得到直角三角形的直角邊長，做出直觀圖的面積,根據(jù)平面圖形的面積是直觀圖的2倍，得到結果．【解答】解：∵Rt△O'A’B’是一平面圖形的直觀圖,斜邊O’B’=2，∴直角三角形的直角邊長是，∴直角三角形的面積是,∴原平面圖形的面積是1×2=2故選D．6．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,下列幾種說法正確的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1與DC成45°角 D．A1C1與B1C成60°角【考點】LM：異面直線及其所成的角；L2:棱柱的結構特征．【分析】由題意畫出正方體的圖形，結合選項進行分析即可．【解答】解：由題意畫出如下圖形:A．因為AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即為異面直線A1C1與AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A錯；B．因為D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B錯；C．因為DC∥AB．所以∠C1AB即為這兩異面直線所成的角，而，所以C錯；D．因為A1C1∥AC,所以∠B1CA即為異面直線A1C1與B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正確．故選：D．7．如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，此圖中直角三角形的個數(shù)為（)A．1 B．2 C．3 D．4【考點】LX：直線與平面垂直的性質．【分析】推導出AB⊥BC，PA⊥BC，從而BC⊥平面PAB，由此能求出圖中直角三角形的個數(shù)．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°,PA⊥平面ABC，∴AB⊥BC,PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴圖中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），△PAC(∠PAC是直角）,△PAB（∠PAB是直角），△PBC(∠PBC是直角)，∴圖中直角三角形有4個．故選：D．8．設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（)A．若l⊥α，l∥m,則m⊥α B．若l⊥m，m?α,則l⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α,則l∥m【考點】2K：命題的真假判斷與應用；LO:空間中直線與直線之間的位置關系；LP:空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】若l⊥α,l∥m，根據(jù)兩平行直線中的一條與平面垂直，另一條也垂直平面,得到m⊥α．【解答】解：若l⊥α，l∥m，根據(jù)兩平行直線中的一條與平面垂直，另一條也垂直平面，所以m⊥α所以選項A正確；若l⊥m，m?α，則l⊥α或l與α斜交或l與α平行，所以選項B不正確;若l∥α，m?α，則l∥m或l與m是異面直線，所以選項C錯誤；若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m異面或l∥m相交，所以選項D錯誤;故選A9．已知點A（1，3)，B（4，﹣1），則與向量同方向的單位向量為（)A． B． C． D．【考點】96：平行向量與共線向量；95:單位向量．【分析】由條件求得=（3，﹣4），｜｜=5，再根據(jù)與向量同方向的單位向量為求得結果．【解答】解:∵已知點A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4,﹣1）﹣(1,3)=（3，﹣4），|｜==5，則與向量同方向的單位向量為=，故選A．10．已知兩個非零向量，滿足，則下面結論正確的是（)A． B． C． D．【考點】96：平行向量與共線向量．【分析】由兩個非零向量,滿足,可得，展開即可．【解答】解：∵兩個非零向量，滿足，∴，展開得到．故選B．11．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V，點P、Q分別在側棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則多面體A1B1C1﹣PBQ的體積為（)A． B． C． D．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據(jù)體積公式可知VB﹣A′B′C′=VB﹣ACQP=VB﹣PQC′A′=，故而可得出結論．【解答】解：連結A′B，BC′，則VB﹣A′B′C′==，∴VB﹣ACC′A′=V﹣VB﹣A′B′C′=，∵AP=C1Q，∴S梯形ACQP=S矩形ACC′A′,∴VB﹣ACQP=VB﹣ACC′A′=，∴多面體A1B1C1﹣PBQ的體積為V﹣=．故選B．12．圓錐的底面半徑為r,高是h，在這個圓錐內部有一個內接正方體，則此正方體的棱長等于（）A． B． C． D．【考點】L5:旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺)．【分析】設棱長為a，利用三角形相似列比例式解出a．【解答】解:設正方體棱長為a，則由三角形相似得，解得a=．故選C．二、填空題（每小題5分，共20分）13．球的表面積擴大為原來的4倍,它的體積擴大為原來的8倍．【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】我們設出原來球的半徑為R，則可以計算出原來球的表面和體積，再根據(jù)球的表面積擴大了4倍，我們可以求出擴大后球的半徑，進而求出擴大后球的體積,進而得到答案．【解答】解:設原來球的半徑為R則原來球的表面積S1=4πR2，體積V1=若球的表面積擴大為原來的4倍，則S2=16πR2則球的半徑為2R體積V2==∵V2：V1=8：1故球的體積擴大了8倍故答案為：814．向量（3，4)在向量（1，﹣2）上的投影為﹣．【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)題意,設向量=（3，4），向量=（1，﹣2)，由向量的坐標計算公式可得?與|｜的值，進而由數(shù)量積的性質可得向量在向量上的投影，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意,設向量=（3，4），向量=（1，﹣2），則?=3×1+4×（﹣2）=﹣5，｜|==，則向量在向量上的投影==﹣；故答案為:．15．已知向量=(λ+1，1），=（λ+2，2），若（)⊥(﹣）,則λ=﹣3．【考點】9T:數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【分析】由向量的坐標加減法運算求出（），(﹣）的坐標,然后由向量垂直的坐標運算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1,1），=(λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×(﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案為:﹣3．16．若圓錐的側面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形，則這個圓錐的表面積是8π．【考點】G8:扇形面積公式．【分析】根據(jù)圓錐的側面展開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形，利用扇形的面積公式，可得圓錐的表面積【解答】解：∵圓錐的側面展開圖是圓心角為180°,半徑為4的扇形，∴這個圓錐的表面積是=8π故答案為：8π三、解答題（17題10分，18到22題每題12分，共70分）17．已知向量．(Ⅰ）若與的夾角為，求;（Ⅱ）若，求與的夾角．【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】(I）先計算，再計算（)2,開方即可得出答案;（II）將展開即可得出，代入夾角公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵與的夾角為；∴=1×2×cos=1;∴（）2=+4+4=1+4+16=21，∴|｜=．（Ⅱ）∵（2﹣）?(3+）=6﹣﹣=2﹣=3，∴=﹣1，∴cos＜＞==﹣，又∵0≤cos＜＞≤π∴與的夾角為．18．如圖,一個組合體的三視圖如圖:（單位cm）（1)說出該幾何體的結構特征；（2）求該組合體的體積（保留π）；(3）求該組合體的全面積．(保留π)．【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】（1）由三視圖得到幾何體是球與棱柱的組合體;（2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算體積；（3）分別計算球和長方體的表面積，得到全面積．【解答】解:（1)上面是半徑為6cm的球，下面是長16cm，寬12cm，高20cm的長方體．…（2）V==288π+3840（cm3）…（3)S=4π×42+2×16×12+2×16×20+2×12×20=144π+1504（cm2）…答：該組合體的體積為288π+3840cm3．表面積為144π+1504cm2．19．如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中點．（Ⅰ)求證：PC∥平面BDE；(Ⅱ)證明：BD⊥CE．【考點】LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ)連結AC交BD于O，連結OE,推導出PC∥OE，由此能證明PC∥平面BDE．（Ⅱ)推導出BD⊥AC，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥CE．【解答】（本小題滿分13分）證明：（Ⅰ）連結AC交BD于O，連結OE，因為四邊形ABCD是正方形，所以O為AC中點．又因為E是PA的中點，所以PC∥OE，…因為PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（Ⅱ）因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…因為PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．…又因為AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…又CE?平面PAC，所以BD⊥CE．…20．正方體ABCD﹣A’B'C'D'的棱長為a，連接A’C',A'D，A'B，BD，BC’，C’D，得到一個三棱錐A'﹣BC’D．求：（1）求異面直線A’D與C’D′所成的角；(2）三棱錐A'﹣BC’D的體積．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積;LM:異面直線及其所成的角．【分析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系,利用向量法能求出異面直線A'D與C'D′所成的角．（2）求出平面BC’D的法向量,從而求出點A到平面BC'D的距離，由此能求出三棱錐A'﹣BC’D的體積．【解答】解:（1）∵正方體ABCD﹣A'B’C'D’的棱長為a，∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A′（a，0,a），D（0，0，0）,C′(0,a,a），B（a，a,0）,D′（0，0，a），=（﹣a，0，﹣a），=（0，﹣a,0），設異面直