專題11集合及其運(yùn)算的12種題型

專題1-1集合及其運(yùn)算的12種題型一、熱考題型歸納【題型一】集合與元素判斷【題型二】相等集合【題型三】集合中元素的個(gè)數(shù)【題型四】子集及真子集【題型五】空集性質(zhì)【題型六】交集運(yùn)算及其性質(zhì)【題型七】并集運(yùn)算及其性質(zhì)【題型八】全集與補(bǔ)集運(yùn)算及其性質(zhì)【題型九】交并補(bǔ)綜合運(yùn)算【題型十】集合運(yùn)算與新定義【題型十一】集合運(yùn)算技巧：韋恩圖【題型十二】集合運(yùn)算技巧：容斥原理二、培優(yōu)練熱點(diǎn)考題歸納【題型一】集合與元素判斷【典例分析】1.（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)等十六校2022屆第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知集合，下列選項(xiàng)中均為A的元素的是（

）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷．集合有兩個(gè)元素：和，故選：B2.下面五個(gè)式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正確的有（

）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐個(gè)分析即可得出答案.中，是集合{a}中的一個(gè)元素，，所以錯(cuò)誤；空集是任一集合的子集，所以正確；是的子集，所以錯(cuò)誤；任何集合是其本身的子集，所以正確；a是的元素，所以正確.故選：A.【提分秘籍】元素與集合（1）一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.集合通常用大寫(xiě)字母表示，元素通常用小寫(xiě)字母表示．從定義看，集合具有無(wú)序性、確定性和互異性．（2）一般地，如果是集合中的元素，就說(shuō)屬于集合，記為，如果不是集合中的元素，就說(shuō)不屬于集合，記為.（3）自然數(shù)集記為N，正整數(shù)集記為Z，有理數(shù)集記為Q，實(shí)數(shù)集記為R.【變式演練】1．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．對(duì)任意實(shí)數(shù)，C．當(dāng)時(shí)， D．對(duì)任意實(shí)數(shù)，【答案】C【分析】依據(jù)選項(xiàng)將點(diǎn)代入驗(yàn)證即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，將代入A得：成立，故，即A錯(cuò)誤；若時(shí)，此時(shí)將代入不成立，即B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)將代入不成立，即C正確；若時(shí)，此時(shí)將代入A得成立，即D錯(cuò)誤；故選：C.2．（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則下列關(guān)系中，正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意寫(xiě)出集合中的具體元素，然后利用元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，?duì)于A，因?yàn)椋蔬x項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是一個(gè)集合，且，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榧希约吓c集合不存在包含關(guān)系，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榧?，任何集合都是它本身的子集，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：D.3．（2022秋·安徽六安·高一?？茧A段練習(xí)）下列各式中，正確的是（

）①

②

③

④

⑤

⑥⑦

⑧A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦【答案】A【分析】利用集合中元素的性質(zhì)，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系依次判斷即可.【詳解】對(duì)于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正確，余者不正確，故①③錯(cuò)誤，②正確；對(duì)于④⑤，元素與集合之間的關(guān)系用“”或“”表示，故不正確，成立，故④錯(cuò)誤，⑤正確；對(duì)于⑥⑦，集合與集合之間是包含或不包含的關(guān)系，故不正確，正確，故⑥錯(cuò)誤，⑦正確；對(duì)于⑧，由集合中元素的無(wú)序性，可知，故正確，故⑧正確；綜上：正確的命題有②⑤⑦⑧.故選：A.【題型二】相等集合【典例分析】1.（2022·上海·高一專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中，表示同一集合的是A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}C．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1} D．A=?，【答案】B【分析】利用集合相等的定義直接求解．【詳解】在A中，A={0，1}是數(shù)集，B={（0，1）}是點(diǎn)集，二者不表示同一集合，故A錯(cuò)誤；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有無(wú)序性，所以兩個(gè)集合相等，表示同一集合，故B正確；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C錯(cuò)誤；在D中，A=?，={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查集合相等的判斷，考查集合相等的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．2．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）集合，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)集合相等可知方程有相等實(shí)根2，即可由根與系數(shù)關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榧?，所以方程有相等?shí)根2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，所以，故選：B【提分秘籍】如果兩個(gè)集合的元素完全相同，則稱這兩個(gè)集合相等，記為怕判斷兩個(gè)集合是否相等，要看不同形式元素化簡(jiǎn)后是否一致?！咀兪窖菥殹?．（2022秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)??是兩個(gè)兩兩不相等的正整數(shù).若，，，，，則的最小值是（

）A．1000 B．1297 C．1849 D．2020【答案】B【分析】不妨設(shè)，則，根據(jù)集合相等的定義可得，分析可得為偶數(shù)，從而可得可得為奇數(shù)，再分析計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：不妨設(shè)，則，因?yàn)椋?，，，，所以，因?yàn)闉榕紨?shù)，所以，，必為兩奇一偶，從而可得為奇數(shù)，又因?yàn)?，所以為不小?的奇數(shù)，若，則，，，，，故，且，所以，不符合要求，若，則，，，，，故，解得，此時(shí)，，所以的最小值是1297.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的時(shí)集合相等的定義，解決本題的關(guān)鍵在于先假設(shè)，判斷，，三個(gè)數(shù)中奇偶數(shù)的個(gè)數(shù)，考查了數(shù)據(jù)分析及邏輯推理能力.2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)集合相等的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，表示不同的點(diǎn)，故A不正確；對(duì)于B，集合與集合相同，故B正確；對(duì)于C，為點(diǎn)的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故C不正確；對(duì)于D，為點(diǎn)的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故D不正確.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若集合，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．與互不包含【答案】C【分析】對(duì)分奇偶進(jìn)行討論，即可判斷集合，之間的關(guān)系.【詳解】對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.【題型三】集合中元素的個(gè)數(shù)【典例分析】1.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A的元素滿足條件:若a∈A，則∈A(a≠1)，當(dāng)∈A時(shí)，則集合A中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】列舉出滿足集合描述的元素，即可得答案.【詳解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四個(gè)元素.故選：D2．（2022秋·北京西城·高一北京市第三十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若，且對(duì)任意，均有，則集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為（

）A．5 B．6 C．11 D．13【答案】B【分析】根據(jù)題意，將、的元素看成點(diǎn)，其坐標(biāo)為，由可得，據(jù)此分析可得中的元素最多的情況．【詳解】根據(jù)題意，，將、中的元素看成點(diǎn)，其坐標(biāo)為，若對(duì)任意的，，均有，即，則集合中，任意的兩個(gè)元素（點(diǎn)）的連線斜率為負(fù)值，則時(shí)，集合中的元素最多，有6個(gè).故選：B.【提分秘籍】集合中元素個(gè)數(shù)：1.點(diǎn)集多是圖像交點(diǎn)2.數(shù)集，多涉及到一元二次方程的根。記有限集合A，B的元素個(gè)數(shù)為card(A)，card(B)，則：card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B)card[?U(A∪B)]＝card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B).【變式演練】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，.定義集合，則的元素個(gè)數(shù)滿足（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先理解題意，然后分①當(dāng),時(shí),②當(dāng),時(shí),③當(dāng),時(shí),三種情況討論即可.【詳解】解:由，,①當(dāng),時(shí),,,此時(shí)的元素個(gè)數(shù)為個(gè),②當(dāng),時(shí),,,這種情況和第①種情況除外均相同,故新增個(gè),③當(dāng),時(shí),,,這種情況與前面重復(fù),新增0個(gè),綜合①②③可得:的元素個(gè)數(shù)為個(gè),故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，重點(diǎn)考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬中檔題.2．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知x，y均不為0，即的所有可能取值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)由x，y的正負(fù)分四種情況去絕對(duì)值討論即可.【詳解】當(dāng)x，y同號(hào)時(shí)，原式的值是0；當(dāng)x為正、y為負(fù)時(shí)，原式的值是2；當(dāng)x為負(fù)、y為正時(shí)，原式的值是.綜上所述，的所有可能取值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．（2015秋·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）設(shè)連續(xù)正整數(shù)的集合，若是的子集且滿足條件：當(dāng)時(shí)，，則集合中元素的個(gè)數(shù)最多是A． B． C． D．【答案】C【分析】分類討論：第一類排除7,14,21,18；第二類排除26個(gè)元素，即可得到集合T中最多可以有238-4-26=208個(gè)元素.【詳解】集合T中不能有滿足7倍關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，因此我們將I中的數(shù)分成三類：第一類：1，7,49；2,14,98；3,21,147；4,28,196；共4組，每組最多只能有兩個(gè)數(shù)在集合T中，即集合T中至少需要排除其中4個(gè)元素：7,14,21,18；第二類：5,35；6,42；8,56；…；34,238,；共30-4=26組；每組最多只能有一個(gè)數(shù)在集合T中，即集合T中至少需要排除其中的26個(gè)元素；第三類：不在上面兩類中的所有數(shù)：36,37,38，…，237，它們不是7的倍數(shù)，且它們的7倍不在集合I中，所以這組中所有數(shù)都可以在集合T中；所以集合T中最多可以有238-4-26=208個(gè)元素.故選：C【題型四】子集及真子集性質(zhì)【典例分析】1．（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，對(duì)于它的任一非空子集A，可以將A中的每一個(gè)元素k都乘以再求和，例如，則可求得和為，對(duì)S的所有非空子集，這些和的總和為A．508 B．512 C．1020 D．1024【答案】B【分析】由集合的子集個(gè)數(shù)的運(yùn)算及簡(jiǎn)單的合情推理可得；這些總和是.【詳解】因?yàn)樵卦诩蟂的所有非空子集中分別出現(xiàn)次，則對(duì)S的所有非空子集中元素k執(zhí)行乘以再求和操作,則這些和的總和是.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的子集及子集個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單的合情推理，屬于中檔題.2．（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）滿足條件的所有集合的個(gè)數(shù)是（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】B【分析】根據(jù)已知所給的集合關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化求集合真子集即可.【詳解】由集合滿足條件，所以集合至少含元素1,2，將1,2看成一個(gè)整體用來(lái)表示，則上述集合關(guān)系式變成：，則此時(shí)集合為集合的真子集，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求集合的真子集的個(gè)數(shù)即：，故滿足題意的集合有31個(gè).故選：B.【提分秘籍】子集集合相等真子集概念一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作（或），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）一般地，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作．也就是說(shuō)，若，且，則如果集合，但存在元素，且，就稱集合A是集合B的真子集，記作（或）圖示或結(jié)論（1）任何一個(gè)集合是它本身的子集，即（2）對(duì)于集合A，B，C，如果，且，那么若且，則（1）若且，則（2）若且，則【變式演練】1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，，，其中a，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意a，是的子集，對(duì)任意的b，不是的子集B．對(duì)任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，對(duì)任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集【答案】B【分析】結(jié)合參數(shù)取值情況，根據(jù)集合間元素的關(guān)系確定子集關(guān)系是否成立，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于集合，可得當(dāng)，即，可得，即有，可得對(duì)任意a，是的子集；當(dāng)時(shí)，，，可得是的子集；當(dāng)時(shí)，，且，可得不是的子集；綜上有，對(duì)任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故選：B.2．（2022秋·河南·高一統(tǒng)考期中）滿足，且中的集合M的個(gè)數(shù)是（

）A．16 B．24 C．28 D．30【答案】B【分析】討論元素與集合的關(guān)系，結(jié)合元素1、2、3與集合的可能情況求集合的個(gè)數(shù).【詳解】若時(shí)，則1、2、3可能屬于，而5不屬于，故集合共有種可能；若時(shí)，則1、2、3可能屬于，而4不屬于，故集合共有種可能；若時(shí)，則1、2、3可能屬于，故集合共有種可能；綜上，集合M的個(gè)數(shù)是24.故選：B3．（2022秋·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，若，是的兩個(gè)非空子集，則所有滿足中的最大數(shù)小于中的最小數(shù)的集合對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．47 B．48 C．49 D．50【答案】C【分析】對(duì)A的最大數(shù)分類討論，則可確定B的個(gè)數(shù)，最后匯總即可【詳解】P的所有子集個(gè)數(shù)為個(gè)，（1）中的最大數(shù)為1，則，故B只需不包含1即可，則B為的非空子集，即個(gè)，故的個(gè)數(shù)為15；（2）中的最大數(shù)為2，或，故B只需不包含1、2即可，則B為的非空子集，即個(gè)，故的個(gè)數(shù)為；（3）中的最大數(shù)為3，，故B只需不包含1、2、3即可，則B為的非空子集，即個(gè)，故的個(gè)數(shù)為；（4）中的最大數(shù)為4，則包含4，其余元素為的子集，即個(gè)，故B只需不包含1、2、3、4即可，則，故的個(gè)數(shù)為8；綜上，的個(gè)數(shù)為.故選：C【題型五】空集性質(zhì)【典例分析】1．（2011·廣東·統(tǒng)考一模）下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)元素與集合，集合與集合的關(guān)系及空集的概念對(duì)四個(gè)選項(xiàng)作出判斷可得正確答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，的表示格式不對(duì)，元素與集合間用，不能用等號(hào)，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng),正確，因?yàn)槭氯魏渭系淖蛹?；?duì)于C選項(xiàng),因?yàn)槭氯魏渭系淖蛹?所以有，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng),由于空集中沒(méi)有任何元素，所以事錯(cuò)誤的，故D不正確，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查元素與集合，集合與集合的關(guān)系及空集的概念，注意靈活運(yùn)用其性質(zhì)解題，相對(duì)簡(jiǎn)單.2．（2022秋·四川阿壩·高一?？茧A段練習(xí)）下列集合中，只有一個(gè)子集的是（

）A． B．或C． D．且【答案】D【分析】只有空集只有一個(gè)子集，故看哪個(gè)選項(xiàng)是空集即可.【詳解】A、B、C都不是空集，，故D只有一個(gè)子集.故選：D【提分秘籍】定義我們把不包含任何元素的集合，叫做空集記法規(guī)定空集是任何集合的子集，即特性（1）空集只有一個(gè)子集，即它的本身，（2）若，則A【變式演練】1．（2017秋·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則至少有一個(gè)為空集B．若集合，，則C．任何集合必有一個(gè)真子集D．若，，則【答案】D【分析】通過(guò)反例可排除；根據(jù)點(diǎn)集和數(shù)集的區(qū)別可排除；由沒(méi)有真子集可排除；分別求解出集合，可得到兩集合的包含關(guān)系，知正確.【詳解】中，若集合，，則，可知錯(cuò)誤；中，集合均為點(diǎn)集，則交集結(jié)果應(yīng)為點(diǎn)集，不應(yīng)是數(shù)集，錯(cuò)誤；中，沒(méi)有真子集，錯(cuò)誤；中，集合，，則，正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合相關(guān)命題的辨析，涉及到交集的定義、點(diǎn)集和數(shù)集的區(qū)別、集合間的包含和真包含關(guān)系的判斷等知識(shí).2．（2019秋·江蘇蘇州·高一張家港高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列五個(gè)寫(xiě)法：①；②；③；④；⑤，其中錯(cuò)誤寫(xiě)法的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系的表示，空集的定義和性質(zhì)，集合相等，交集運(yùn)算的定義，逐一判斷五個(gè)結(jié)論的正誤，可得答案．【詳解】“∈”表示元素與集合的關(guān)系，故①錯(cuò)誤；空集是任何集合的子集，故②正確；由{0，1，2}＝{1，2，0}可得{0，1，2}?{1，2，0}成立，故③正確；空集不含任何元素，故④錯(cuò)誤“∩”是連接兩個(gè)集合的運(yùn)算符號(hào)，0不是集合，故⑤錯(cuò)誤所以錯(cuò)誤寫(xiě)法的個(gè)數(shù)為3個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，以及列舉法表示集合，特別注意對(duì)空集的理解，屬于基礎(chǔ)題．3．（2020秋·浙江臺(tái)州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】集合：，集合：，集合的分子代表偶數(shù)，集合的分子代表奇數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于集合：，對(duì)于集合：，集合的分子代表偶數(shù)，集合的分子代表奇數(shù)，則集合和集合沒(méi)有交集.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算.屬于較易題.【題型六】交集運(yùn)算及性質(zhì)【典例分析】1．（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）設(shè)集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】取特例，根據(jù)由集合的運(yùn)算關(guān)系可判斷ABC，根據(jù)集合的交、并運(yùn)算，子集的概念可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B,，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，則D正確.故選：D2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，，．若，則集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值為（

）A．1347 B．1348 C．1349 D．1350【答案】C【分析】通過(guò)假設(shè)，求出相應(yīng)的，通過(guò)建立不等關(guān)系求出相應(yīng)的值.【詳解】設(shè)滿足題意，其中，則，，，，，，中最小的元素為1，最大的元素為，，，，實(shí)際上當(dāng)時(shí)滿足題意，證明如下：設(shè)，則,由題知，即，故的最小值為674，于是時(shí)，中的元素最多，即時(shí)滿足題意，終上所述，集合中元素的個(gè)數(shù)的最大值為1349.故選：C.【提分秘籍】文字語(yǔ)言一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作（讀作“交”）符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言運(yùn)算性質(zhì)，A，，，，【變式演練】1．（2022秋·遼寧·高一葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由交集的概念求解【詳解】由得，當(dāng)，時(shí)若，可得滿足條件的有，故，故選：D2．（2022秋·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則所有子集的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】B【分析】先解出集合A，B，再求出，可得的所有子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，的所有子集的個(gè)數(shù)為.故選：B.3．（2022秋·山東青島·高一山東省青島第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)U＝{1，2，3，4}，A與B是U的兩個(gè)子集，若A∩B＝{3，4}，則稱（A，B）為一個(gè)“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定：（A，B）與（B，A）是兩個(gè)不同的“理想配集”）的個(gè)數(shù)是（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】C【分析】由題意知，子集A和B不可以互換，即視為不同選法，從而對(duì)子集A分類討論，當(dāng)A是二元集或三元集或是四元集，求出相應(yīng)的B，根據(jù)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)論．【詳解】解：對(duì)子集A分類討論：當(dāng)A是二元集{3，4}時(shí)，此時(shí)B可以為{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4結(jié)果；當(dāng)A是三元集{1，3，4}時(shí)，此時(shí)B可以為{2，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是三元集{2，3，4}時(shí)，此時(shí)B可以為{1，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是四元集{1，2，3，4}時(shí)，此時(shí)B取{3，4}，有1種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理知共有4+2+2+1＝9種結(jié)果．故選：C．【題型七】并集運(yùn)算及其性質(zhì)【典例分析】1.（2016秋·河北衡水·高二統(tǒng)考期中）若，，定義，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意，，所以,所以考點(diǎn)：新定義及集合的基本運(yùn)算．2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知非空集合A，B滿足以下兩個(gè)條件：（1），；（2）A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，的元素個(gè)數(shù)不是中的元素．則有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，按集合中得元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論.【詳解】若集合A中只有1個(gè)元素，則集合中有3個(gè)元素，且，，所以，，此時(shí)有序集合對(duì)有1對(duì)；同理，若集合中只有1個(gè)元素，則集合A中有3個(gè)元素，此時(shí)有序集合對(duì)有1對(duì)；若集合A中有2個(gè)元素，則集合中有2個(gè)元素，且，，不滿足題意．所以滿足題意的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B．【提分秘籍】文字語(yǔ)言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作（讀作“并”）符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言運(yùn)算性質(zhì)，A，A；，，【變式演練】1．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高一校考階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)分式不等式的解法，求得，，再結(jié)合集合的并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)集合的并集的概念及運(yùn)算，可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的并集的概念及運(yùn)算，以及分式不等式的求解，其中解答中正確求解集合，結(jié)合集合的并集的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知全集，若集合，，，A，B的元素個(gè)數(shù)相同，且對(duì)任意的，，則的元素個(gè)數(shù)最多為（

）A．20 B．18 C．16 D．以上結(jié)果都不正確【答案】C【解析】列舉出符合條件的A，B的元素，利用A，B的元素個(gè)數(shù)相同，只需讓A，B都取最大元素個(gè)數(shù)，即可得到的元素個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】，，時(shí)，，即，同理可得，，，，，，，，，，，A，B的元素個(gè)數(shù)相同，若的元素個(gè)數(shù)最多，則，共8個(gè)元素，，共8個(gè)元素，的元素個(gè)數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合與元素的關(guān)系，考查集合的交集、并集的運(yùn)算，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于中檔題.3．（2019秋·江蘇無(wú)錫·高一江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合，則等于。A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式及分式不等式，化簡(jiǎn)集合M,P，根據(jù)并集運(yùn)算求解即可.【詳解】,,即，，，即,,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，分式不等式，絕對(duì)值不等式，屬于中檔題.【題型八】全集與補(bǔ)集運(yùn)算及性質(zhì)【典例分析】1．（2023秋·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知全集的兩個(gè)非空真子集滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，借助韋恩圖判斷ABC；結(jié)合集合的包含關(guān)系推理判斷D作答.【詳解】由是全集的兩個(gè)非空真子集，，得，如圖，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；觀察圖形，，BC錯(cuò)誤；由，得，因此，D正確.故選：D2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知全集U，M，N是U的非空子集，且，則必有（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)可得解.【詳解】由，根據(jù)補(bǔ)集的性質(zhì)可得：，即由圖可知故選：B【提分秘籍】文字語(yǔ)言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作符號(hào)語(yǔ)言且圖形語(yǔ)言運(yùn)算性質(zhì)U，A，U，【變式演練】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知全集，集合，，則a的所有可能值形成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，不符合元素的互異性，時(shí)，符合題意.【詳解】由，即，則，解得，若，則，而，不符合集合中元素的互異性，舍去；若，則，，，符合題意.所以a的所有可能值形成的集合為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的性質(zhì)，注意，屬于基礎(chǔ)題.2．（2020秋·山西朔州·高二校考階段練習(xí)）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將分式不等式化為整式不等式得到求解集，即為A的集合，進(jìn)而求A在R上的補(bǔ)集【詳解】由，有∴可得：或故，或∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集，將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解集，結(jié)合補(bǔ)集運(yùn)算得到解集的補(bǔ)集3．（2018春·江西南昌·高二南昌二中?？计谀┰O(shè)全集，集合，，，則實(shí)數(shù)的值為(

)

A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或8【答案】D【分析】利用全集，由，列方程可求的值.【詳解】由，且，又集合，實(shí)數(shù)的值為或，故選：.【題型九】交并補(bǔ)綜合運(yùn)算【典例分析】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可知集合中元素特征，后由交集，補(bǔ)集定義可得答案.【詳解】由題可知集合A中元素表示被3除余1的自然數(shù)，又，則.故選：A2．（2023秋·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合均為全集的非空子集，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的性質(zhì)，可得，由包含關(guān)系，可得并集結(jié)果，結(jié)合交并補(bǔ)的混合運(yùn)算，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則，.故選：A.【提分秘籍】并集性質(zhì)①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝A；④A∪＝A；⑤A∪B=B∪A.交集性質(zhì)①A∩B＝A??A∪B＝B；②A∩B＝A∪B?補(bǔ)集的性質(zhì)①?U(?UA)＝A；②?UU＝；③?U＝；④A∩(?UA)＝；⑤A∪(?UA)＝U；⑥?U(A∩B)＝(?UA)(?UB)；⑦?U(A∪B)＝(?UA)(?UB)．【變式演練】1．（2022秋·福建廈門·高一廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，集合，，且，則集合B的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．8 C．16 D．18【答案】C【分析】由新定義及集合的概念可化簡(jiǎn)集合，再由可知，分類討論的歸屬，從而得到集合的元素個(gè)數(shù)，由此利用子集個(gè)數(shù)公式即可求得集合B的子集的個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)可知，，又因?yàn)?，所以，而，因?yàn)榈慕鉃榛?，的兩根滿足，所以分屬方程與的根，若是的根，是的根，則有，解得，代入與，解得或與或，故；若是的根，是的根，則有，解得，代入與，解得或與或，故；所以不管如何歸屬方程與，集合總是有4個(gè)元素，故由子集個(gè)數(shù)公式可得集合B的子集的個(gè)數(shù)為.故選：C.2.（2022秋·湖北十堰·高一?？茧A段練習(xí)）已知全集，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．63個(gè) B．64個(gè) C．127個(gè) D．128個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集關(guān)系，先得到與集合B互補(bǔ)的結(jié)論，再計(jì)算出集合B元素個(gè)數(shù)n，最后根據(jù)集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可.【詳解】根據(jù)可得，，，故合B的真子集個(gè)數(shù)為故選:C3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析集合M、N，得到，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷.【詳解】，.因?yàn)榭梢员硎九紨?shù)，列舉出為，而可以表示全部整數(shù).所以對(duì)于A：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、C：.故B正確；C錯(cuò)誤；對(duì)于D：.故D錯(cuò)誤.故選：B【題型十】集合運(yùn)算與新定義【典例分析】1.（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合M、，定義集合，則集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】準(zhǔn)確理解定義，根據(jù)定義先求，再結(jié)合定義求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：D.2．（2021·高一單元測(cè)試）對(duì)于集合，定義，，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中集合新定義的特性結(jié)合集合的基本運(yùn)算可求解出結(jié)果.【詳解】集合，，則，，由定義可得：且，且，所以，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.故選：C．【提分秘籍】解決以集合為背景的新定義問(wèn)題要抓住兩點(diǎn)：緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.【變式演練】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義集合運(yùn)算，若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，從而可得或，或，再根據(jù)新定義得，再代入驗(yàn)證即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以或所以或，或所以或，，代入?yàn)證，故.故選：D.2．（2021秋·海南·高一海南二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)非空集合，定義集合間的一種運(yùn)算“”：．若，，則（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】計(jì)算，，再根據(jù)集合的新定義得到答案.【詳解】，，故，.則或.故選：B.3．（2021秋·河南焦作·高一溫縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)任意A、BR，記且，并稱為集合A、B的對(duì)稱差.例如，，則.給出四個(gè)命題：①若，則；②存在A，BR，使得=⊙；③若，則A=B；④若A，則AB．其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)且，判斷集合元素之間的關(guān)系可判斷①正誤；設(shè)，,判斷集合元素之間的關(guān)系可判斷②正誤；由可知，且，可判斷③正誤；根據(jù)題意且可判斷④正誤；【詳解】且B中元素不能出現(xiàn)在中，，故①正確；設(shè)，,則，或，，或,或,=⊙，故②正確；且，與相同，，故③正確；且,且故④錯(cuò)誤；故選：A【題型十一】集合計(jì)算技巧：韋恩圖【典例分析】1.（2022秋·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）定義集合運(yùn)算且稱為集合與集合的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合與集合的對(duì)稱差，有以下4個(gè)命題：①

②③

④則個(gè)命題中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用題中定義可判斷①的正誤；利用韋恩圖法可判斷②④；利用題中定義與集合運(yùn)算可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，，①對(duì)；對(duì)于②，且且，同理，則，所以，表示的集合如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：同理也表示如上圖陰影部分區(qū)域所示，故，②對(duì)；對(duì)于③，，③對(duì)；對(duì)于④，如下圖所示：所以，，④錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合中的新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于利用韋恩圖法來(lái)表示集合，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)進(jìn)行判斷.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義，設(shè)、、是某集合的三個(gè)子集，且滿足，則是的（

）A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】作出示意圖，由可知兩個(gè)陰影部分均為，根據(jù)新定義結(jié)合集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】如圖，由于，故兩個(gè)陰影部分均為，于是，（1）若，則，，而，成立；（2）反之，若，則由于，，，，，故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義，考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于較難題.【提分秘籍】我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線．Venn圖表示集合時(shí)，能夠直觀地表示集合間的關(guān)系，但集合元素的公共特征不明顯．【變式演練】1.（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）集合A，B，C是全集U的子集，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，結(jié)合韋恩圖及排除法判斷不合要求的選項(xiàng)，即可得正確答案.【詳解】若，如下圖示，由圖知：、、不成立，A、B、D排除；故選：C2.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，三個(gè)圓的內(nèi)部區(qū)域分別代表集合，，，全集為，則圖中陰影部分的區(qū)域表示（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】找到每一個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的區(qū)域即得解.【詳解】解：如圖所示，A.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域1；

B.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域2；C.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域3；

D.對(duì)應(yīng)的是區(qū)域4.故選：B3．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個(gè)圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個(gè)數(shù)恰好為4的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】記，然后分析每個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的集合的運(yùn)算并求解出結(jié)果進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，記，?duì)于A選項(xiàng)，其表示，不滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，其表示，不滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，其表示，滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，其表示，不滿足；故選：C.【題型十二】集合運(yùn)算技巧：容斥原理【典例分析】1.（2020秋·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí)）集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（G.Cantor）于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.在他的集合理論中，用表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)，如：，則.若對(duì)于任意兩個(gè)有限集合A，B，有.2020年高考后某?？忌賱?chuàng)佳績(jī)，其中收到重點(diǎn)大學(xué)錄取通知書(shū)的有172人，收到師范類大學(xué)錄取通知書(shū)的有121人，這些人中收到重點(diǎn)師范類大學(xué)（既是重點(diǎn)大學(xué)又是師范類大學(xué)）錄取通知書(shū)的有33人，那么該校考生2020年收到重點(diǎn)大學(xué)和師范類大學(xué)錄取通知書(shū)的總?cè)藬?shù)為（

）A．293 B．260 C．205 D．154【答案】B【分析】代入條件中并集的元素個(gè)數(shù)的公式，即可求解.【詳解】設(shè)收到重點(diǎn)大學(xué)錄取通知書(shū)的學(xué)生構(gòu)成集合，收到師范類大學(xué)錄取通知書(shū)的學(xué)生構(gòu)成集合，根據(jù)，.故選：B2．（2022秋·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一（1）班參加田賽的學(xué)生有15人，參加徑賽的學(xué)生有18人，兩項(xiàng)都參加的有5人，那么高一（1）班參加本次運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)共有（

）A．18 B．23 C．28 D．16【答案】C【分析】作出韋恩圖后進(jìn)行輔助計(jì)算.【詳解】

設(shè)集合分別是參加田賽，徑賽的學(xué)生，由題意集合有名學(xué)生，集合有名學(xué)生，部分中有人，總?cè)藬?shù)為含有的人數(shù)，即人.故選：C【變式演練】1．（2022秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校開(kāi)展了豐富的選修課，參與“數(shù)學(xué)建模選修課”的有169人，參與“語(yǔ)文素養(yǎng)選修課”的有158人，參與“國(guó)際視野選修課”的有145人，三項(xiàng)選修課都參與的有30人，三項(xiàng)選修課都沒(méi)有參與的有20人，全校共有400人，問(wèn)只參與兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】先畫(huà)出韋恩圖，根據(jù)榮斥原理求解.【詳解】畫(huà)出維恩圖如下：設(shè)：只參加“數(shù)學(xué)建模課”和“語(yǔ)文素養(yǎng)課”的有x人，只參加“數(shù)學(xué)建模課”和“國(guó)際視野課”的有y人，只參加“語(yǔ)文素養(yǎng)課”和“國(guó)際視野課”的有z人，則：，；故答案為：32人.2．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）某城市數(shù)、理、化競(jìng)賽時(shí)，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，其中參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名．若該班學(xué)生共有51名，則沒(méi)有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】畫(huà)出圖，由題意求出分別單獨(dú)參加物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)的人數(shù)，即可求出參賽人數(shù)，進(jìn)而求出沒(méi)有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生.【詳解】畫(huà)三個(gè)圓分別代表數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的人，因?yàn)橛?6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，只參加數(shù)、化兩科的有5名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，所以單獨(dú)參加數(shù)學(xué)的有人，單獨(dú)參加物理的有人，單獨(dú)參加化學(xué)的有，故參賽人數(shù)共有人，沒(méi)有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有人.故選：D.3．（2020秋·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在一次競(jìng)賽中有A，B，C三道題．①在所有參賽學(xué)生中共有30人至少解出一道題；②僅解出一題的學(xué)生中，解出C題的人數(shù)占一半；③解出A題的學(xué)生人數(shù)等于僅解出B題的學(xué)生人數(shù)；④僅解出A，B題的人數(shù)等于僅解出B，C題的人數(shù)；⑤僅解出A題的人數(shù)等于4；⑥僅解出A，C題的人數(shù)是僅解出A，B題的人數(shù)的一半．則同時(shí)解出A，B，C三題的學(xué)生人數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)只解出A，B，C的人數(shù)分別為a，b，c，僅解出的人數(shù)分別為z，x，y，同時(shí)解出A，B，C三題的人數(shù)為w，則可得關(guān)于諸參數(shù)的方程組，用表示其他的量后可得其值，從而可求同時(shí)解出A，B，C三題的學(xué)生人數(shù).【詳解】設(shè)只解出A，B，C的人數(shù)分別為a，b，c，僅解出的人數(shù)分別為z，x，y，同時(shí)解出A，B，C三題的人數(shù)為w，則于是，且，因此同時(shí)解出A，B，C三題的學(xué)生人數(shù)為1．故選：B新?？颊骖}一、單選題1．（2023春·貴州黔西·高二?？计谥校┰O(shè)集合，,則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出集合,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：C.2．（2022秋·廣東梅州·高一?？计谥校┰O(shè)集合，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用集合的并運(yùn)算求集合即可.【詳解】.故選：C3．（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由補(bǔ)集的定義可得出集合.【詳解】因?yàn)槿?，集合，則.故選：C.4．（2022秋·江蘇·高一淮陰中學(xué)?？计谥校┮阎希羰堑淖蛹?，且同時(shí)滿足：①若，則；②若，則；則集合的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．16 C．20 D．24【答案】B【分析】由補(bǔ)集與子集的概念求解，【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，元素5與7沒(méi)有限制，則集合的個(gè)數(shù)等于的子集個(gè)數(shù)，集合有個(gè)子集，集合可以為：，，，，，，，，，，，，，，，，共16個(gè)，故選：B5．（2022秋·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)?？计谥校┒x集合，若，，且集合有3個(gè)元素，則由實(shí)數(shù)所有取值組成的集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為A．2 B．6 C．14 D．15【答案】B【分析】根據(jù)集合的新定義運(yùn)算，再由集合有3個(gè)元素確定出n的取值集合，求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，又集合?個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，即，（舍去）時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，即，（舍去）時(shí)，，不符合題意.綜上，，故所構(gòu)成集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.故選：B6．（2022秋·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎?，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)4和6的最小公倍數(shù)為12，得，而，易得兩集合之間關(guān)系.【詳解】,且,,，又，則集合中的元素應(yīng)為12的正整數(shù)倍,集合中的元素為24的整數(shù)倍,故,.可知,當(dāng)元素滿足為24的整數(shù)倍時(shí),必滿足為12的正整數(shù)倍,則故A,B錯(cuò)誤，對(duì)D選項(xiàng)，若，則此元素既不在集合中，也不在集合中，故D錯(cuò)誤，故選：C.7．（2022秋·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？计谥校┯帽矸强占螦中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合S，則（

）A．4 B．3 C．2 D．9【答案】C【分析】由新定義，確定，再由新運(yùn)算確定，并由集合的定義確定，然后由判別式求得值，得集合，從而得結(jié)論．【詳解】由已知，又，所以或，又中顯然是一個(gè)解，即，因此，所以，所以有兩個(gè)相等的實(shí)根且不為0，，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，，所以．故選：C．8．（2020秋·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谥校┓强障蛄考?，對(duì)于任意，以及任意，都有，則稱為“類集”，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若為“類集”，則集合也是“類集”；②若、都是“類集”，則也是“類集”；③若、都是“類集”，且至少有兩個(gè)公共元素，則也是“類集”；④若、都是“類集”，則集合也是