線段不等關(guān)系的證明

精品文檔-下載后可編輯線段不等關(guān)系的證明證明線段的不等關(guān)系，主要是利用三角形三邊的關(guān)系定理，即三角形的兩邊之和大于第三邊.因此，解題的關(guān)鍵往往是怎樣把相關(guān)的線段放在同一個三角形中.本文就此總結(jié)若干轉(zhuǎn)化方法.

一、截取(延長)線段，構(gòu)造全等三角形

例1如圖1，AD是ABC的中線，DE、DF分別是ABD、ACD的角平分線，求證：EF

分析利用角平分線的條件，分別構(gòu)造兩對全等三角形，轉(zhuǎn)移BE、CF，使三條線段構(gòu)成一個三角形.

證明在DA上截取DN=DB=DC，連結(jié)NE、NF.

由DE平分∠ADB，知∠1=∠2.

又BD=ND,ED=ED，

所以BDE≌NDE，

得BE=NE.

同理可得CF=NF.

而在EFN中，NE+NF>EF，

故BE+CF>EF，

即EF

點(diǎn)評當(dāng)有角平分線時，截取相等線段，為解題開通道路.本例也可延長ED到N，由全等三角形得BE=CN,EF=NF.

二、截取(延長)線段，構(gòu)造等腰三角形

例2如圖2，在ABC中，∠ACB=2∠B，求證：2AC>AB.

分析本題關(guān)鍵是如何構(gòu)造出2AC.利用角的二倍關(guān)系，構(gòu)造以AC為腰的等腰三角形，該等腰三角形的底邊恰與AB相等.

證明延長BC到D，使CD=AC，連結(jié)AD.

則∠CAD=∠D.

而∠ACB=∠CAD+∠D，

所以∠ACB=2∠D.

而∠ACB=2∠B，

所以∠B=∠D，得AB=AD.

在ACD中，AC+CD>AD，

所以2AC>AB.

點(diǎn)評本題也可以在BC上取點(diǎn)E，使∠AEC=∠ACB.連結(jié)AE，可類證.

三、延長中線構(gòu)造平行四邊形

例3如圖3，AD是ABC的中線，求證：AB+AC>2AD.

分析由2AD想到延長AD至等長，構(gòu)造出平行四邊形，就可把有關(guān)線段轉(zhuǎn)移到一個三角形中.

證明延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE、CE.

又DB=DC，所以四邊形ABEC是平行四邊形，得AC=BE.

在ABE中，

AB+BE>AE，

所以AB+AC>2AD.

點(diǎn)評如果沒學(xué)到平行四邊形，也可證明EBD≌ACD.

四、構(gòu)造中位線

例4證明：三角形任兩條中線之和大于第三條中線.

已知：如圖4，AD、BF、CE是ABC的三條中線，它們相交于N.

求證：BF+CE>AD.

分析利用三角形重心N將各中線三等分的性質(zhì)，取AN的中點(diǎn)M，使EMN的三邊分別是各中線的三分之一.

證明取AN的中點(diǎn)M，連結(jié)ME.

因?yàn)锳D是中線，N是重心，

所以MN=13AD.

又E是AB中點(diǎn)，

則EM=12BN=13BF.

因?yàn)镋M+NE>MN，

而NE=13CE，

所以13BF+13CE>13AD，

從而BF+CE>AD.

點(diǎn)評本題也可延長ND到G，使DG=DN，得平行四邊形BNCG，再利用BNG的三邊不等關(guān)系.

五、移動線段

例5如圖5，D是ABC的邊BC的中點(diǎn)，E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=90°，求證：BF+CE>EF.

分析利用直角∠EDF，構(gòu)造等腰三角形以及全等三角形，將三條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中.

證明延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)EG、CG.

由∠EDF=90°，知EFG是等腰三角形，則EF=EG.

又FD=DG，BD=CD，∠1=∠2，

則BDF≌CDG，

得BF=CG.而CG+CE>EG，

所以BF+CE>EF.

點(diǎn)評本題的關(guān)鍵是對直角DEF條件的利用.一般有兩種方法：一是作出斜邊上的中線，二是加倍直角邊.本例采用的是后一種方法.這樣將目標(biāo)式中的三條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中.

六、截大補(bǔ)小

當(dāng)已知條件中，一個角大于另一個角時，可采用“截大補(bǔ)小”法，即在大角內(nèi)作一個角等于小角，或?qū)⑿〗茄a(bǔ)成與大角相等的角.

例6在ABC中，∠C>∠B，求證：AB>AC.

證法1如圖6-1，在∠C內(nèi)部作∠BCD=∠B,CD交AB于點(diǎn)D，則BD=CD.

在ADC中，AD+CD>AC，

則AD+BD>AC,即AB>AC.

證法2如圖6-2，作∠CBE=∠C，BE與CA的延長線交于點(diǎn)E，則BE=CE.

在ABE中，AE+AB>BE，

則AE+AB>CE=AE+AC，

即AB>AC.

點(diǎn)評本例結(jié)論實(shí)際上是有關(guān)三角形邊角不等關(guān)系的一個重要定理.即在三角形中，大角對大邊，大邊對大角.

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