“繩模型”做完整圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件(全文)

精品文檔-下載后可編輯“繩模型”做完整圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件(全文)中學(xué)階段研究豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)總結(jié)了一些規(guī)律性的結(jié)論.其中，以“繩模型”為例，重點(diǎn)研究了小球在豎直平面內(nèi)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最低點(diǎn)、最高點(diǎn)的速度條件以及相應(yīng)繩的受力情況等.多數(shù)學(xué)生較為深刻的掌握了最低點(diǎn)、最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的規(guī)律特點(diǎn).不過(guò)與此同時(shí)，似乎給學(xué)生留下一種思維定勢(shì)，似乎研究圓周運(yùn)動(dòng)，只停留在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情形，除了這兩個(gè)特殊點(diǎn)以外，圓周軌跡其他任意位置的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是學(xué)生關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)盲區(qū)，學(xué)生甚少關(guān)注或是根本不清晰其他位置的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn).因此，容易發(fā)現(xiàn)我們?cè)诮虒W(xué)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只教學(xué)了它的特殊性，而忽視了它的一般性.實(shí)質(zhì)上，我們應(yīng)該以更寬的視角來(lái)研究圓周運(yùn)動(dòng)的整體構(gòu)架，讓學(xué)生對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的整體性和連續(xù)性有一定的把握和了解.

在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，是有重力參與提供向心力的，如果沒(méi)有其他的切向力，豎直面上的圓周運(yùn)動(dòng)肯定是非勻速率的，機(jī)械能是守恒的，在水平直徑以上，圓周運(yùn)動(dòng)的每個(gè)位置都可能是某個(gè)速度條件下，各點(diǎn)均存在一定的速度臨界值，物體存在能做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件.

為此，筆者將以繩模型為基點(diǎn)，研究圓周運(yùn)動(dòng)，水平直徑以上各點(diǎn)的臨界速度，并將彈力的方向指向圓心和背向圓心分為兩種情況并結(jié)合具體事例進(jìn)行分析：

1水平直徑以上各點(diǎn)彈力的方向指向圓心

例如系在繩上的小球，過(guò)山車……

T+mgsinθ=mv2R2，

當(dāng)T=0時(shí)v臨界=gRsinθ.

在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道因而可做完整圓周運(yùn)動(dòng)的條件是v≥gRsinθ.

例1如圖2，一個(gè)長(zhǎng)為a的細(xì)線系著一個(gè)小球懸掛在O點(diǎn)靜止不動(dòng).若使小球獲得一個(gè)水平初速度為v0=（2+3）ag，略去空氣阻力.證明：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)O點(diǎn).

分析與解小球運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)通過(guò)懸點(diǎn)O，是因?yàn)榫€繩在水平直徑上方與水平直徑成某一角度α?xí)r，線繩不再?gòu)埦o，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運(yùn)動(dòng)，如圖3所示.我們先來(lái)求出繩上張力為零時(shí)，小球達(dá)到臨界速度v=gasinθ時(shí)的方位角α.整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，則有

12mv2=12m（（2+3）ag）2+mga（1+sinα），

3agsinα=v20-2ag，sinα=33.

故這個(gè)位置在距水平直徑h=33a高處.

此后，小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)，以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xO′y，我們從豎直方向分運(yùn)動(dòng)求出當(dāng)小球豎直位移為-h的歷時(shí)t：

-h=vtcosα-12gt2；

將h=33a，cosα=63，v=33ag

代入后整理得3gt2-223agt-23a=0，

由此方程解得符合題意的時(shí)間為t=23ag；這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為

x=vtsinα=33ag?23ag?33=63a=acosα，

說(shuō)明小球做斜拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)了坐標(biāo)為（63a，-33a）的懸點(diǎn)O.

2在水平直徑以上各點(diǎn)的彈力方向背離圓心的情況

例如車，過(guò)拱橋……

mgsinθ-N=mv2R2，

當(dāng)N=0，v臨界=gRsinθ.

在水平直徑以上的各點(diǎn)，不脫離軌道而做完整圓周運(yùn)動(dòng)的條件是

v≤gRsinθ.

例2一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任一點(diǎn)P，在重力的作用下由靜止開始下滑，從Q點(diǎn)離開球面，求PQ兩點(diǎn)的高度差h.

分析與解如圖5，質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，除重力外，無(wú)其他力做功，是一個(gè)機(jī)械能守恒的過(guò)程：重力勢(shì)能的減少等于動(dòng)能的增加；質(zhì)點(diǎn)在Q點(diǎn)只受重力，設(shè)球的半徑為R，質(zhì)點(diǎn)的速度為v，由機(jī)械能守恒得m