全等三角形幾種類型

板塊 考試要求 A級(jí)要求 B級(jí)要求 C級(jí)要求全等三角形的性質(zhì)及判定會(huì)識(shí)別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題 會(huì)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形．全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形．相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)邊、全等多邊形的對(duì)應(yīng)角相等．如以下圖，兩個(gè)全等的五邊形，記作：五邊形ABCDE0五邊形A'B'CD'E:這里符號(hào)”0〃表示全等，讀作“全等于〃.全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；反之，如果兩個(gè)三角形的邊和角分別對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等．全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線及周長(zhǎng)面積均相等．全等三角形的概念與表示：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形．能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．全等符號(hào)為“0〃．全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等．尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊．(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊．(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角．(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角．(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)．要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵．全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(2)角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3)邊邊邊定理(sss)：m邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4)角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問(wèn)題，在證明的過(guò)程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線．判定三角形全等的根本思路：全等三角形的圖形歸納起來(lái)有以下幾種典型形式：⑴平移全等型⑵對(duì)稱全等型⑶旋轉(zhuǎn)全等型由全等可得到的相關(guān)定理：⑴角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．⑵到一個(gè)角的兩邊的距離一樣的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．⑶等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)．⑷等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合．⑸等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）．⑹線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．⑺和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．與角平分線相關(guān)的問(wèn)題角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：⑴角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；⑵到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．它們具有互逆性．角平分線是天然的、涉及對(duì)稱的模型，一般情況下，有以下三種作輔助線的方式：由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，04=OB，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍，三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊.中線中位線相關(guān)問(wèn)題（涉及中點(diǎn)的問(wèn)題）見到中線（中點(diǎn)），我們可以聯(lián)想的容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線以及中位線定理（以后還要學(xué)習(xí)中線長(zhǎng)公式），尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線的應(yīng)用更是較為常見.重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問(wèn)題的根底，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時(shí)全等三角形的判定也是本章的重點(diǎn)，特別是幾種判定方法，尤其是當(dāng)在直角三角形中時(shí)，HL的判定是整個(gè)直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)：本節(jié)的難點(diǎn)是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個(gè)是條件，決定哪個(gè)結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即書寫格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化板塊一、全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)【例1】在AB、AC上各取一點(diǎn)E、D,使AE=AD，連接BD、CE相交于0再連結(jié)40、BC,假設(shè)Z1=/2，則圖中全等三角形共有哪幾對(duì)？并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.【穩(wěn)固】如下圖，AB=AD,BC=DC,E、F在AC上，AC與BD相交于P.圖中有幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)一一找出來(lái)，并簡(jiǎn)述全等的理由.板塊二、三角形全等的判定與應(yīng)用【例2】（2008年市高中階段教育學(xué)校招生考試）如圖，AC〃DE,BC〃EF,AC=DE.求證：AF=BD.【例3】（2008年市）：如圖，AD=BC,AC=BD,求證：/C=ZD.【穩(wěn)固】如圖，AC、BD相交于0點(diǎn)，且AC=BD,AB=CD,求證：OA=OD.【例4】（市2008年初中升學(xué)考試）：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上，AB=DC,BE=CF,ZB=ZC.求證：OA=OD.【例5】，如圖，AB=AC,CE±AB,BF±AC,求證：BF=CE.【例6】E、F分別是正方形ABCD的BC、CD邊上的點(diǎn)，且BE=CF.求證：AE±BF.【穩(wěn)固】E、F、G分別是正方形ABCD的BC、CD、AB邊上的點(diǎn)，GE±EF,GE=EF.求證:BG+CF=BC.【例7】在凸五邊形中，ZB=ZE,ZC=ZD,BC=DE,M為CD中點(diǎn).求證：AM±CD.板塊三、截長(zhǎng)補(bǔ)短類【例1】如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作ZDMN=60。,射線MN與∠DBA外角的平分線交于點(diǎn)N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系”【穩(wěn)固】如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN±DM且與∠ABC外角的平分線交于點(diǎn)N,MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【例2】如圖，AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,∠AMD=75∠BMC=45°,則AB的長(zhǎng)為,( ),k+h,A.aB.kC. 2D.h【例3】：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.【例4】如下圖，AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，NBDC是頂角為120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60的/MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求NAMN的周長(zhǎng).【例5】五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求證：AD平分∠CDE板塊四、與角平分線有關(guān)的全等問(wèn)題【例1】如圖，NABC的周長(zhǎng)是21,OB,OC分別平分ZABC和ZACB,OD±BC于D，且OD=3,求NABC的面積.【例2】在NABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，ZBAD^ZCAD,BD=CD，求證：AB=AC.【例3】NABC中，AB=AC,BE、CD分別是ZABC及ZACB平分線.求證：CD=BE.【例4】NABC中，ZA=60,BD、CE分別平分ZABC和ZACB,BD、CE交于點(diǎn)O,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【例5】如圖，E是AC上的一點(diǎn)，又Z1=Z2,Z3=Z4.求證：ED=EB.【例6】("希望杯〃競(jìng)賽試題長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,BC=7,∠BAD的角平分線交BC于點(diǎn)E,EF⊥ED交AB于F,則EF=.【例7】如下圖，NABC中，AD平分ZBAC,E、F分別在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求證：EF〃AB【穩(wěn)固】如圖，在NABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF//AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G，假設(shè)BG=CF，求證：AD為ZBAC的角平分線.【穩(wěn)固】在NABC中，AB>AC,AD是ZBAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn).求證：AB—AC>PB—PC.【例8】如圖，在NABC中，ZB=2ZC,ZBAC的平分線AD交BC與D.求證：AB+BD=AC.【例9】如下圖，在NABC中，AC>AB,M為BC的中點(diǎn)，AD是ZBAC的平分線，假設(shè)CF±AD且交AD的延長(zhǎng)線于F，求證MF=1(AC-AB).2【穩(wěn)固】如下圖，AD是NABC中ZBAC的外角平分線，CD±AD于D,E是BC的中點(diǎn)，求證DE/AB1且DE=2(AB+AC).【穩(wěn)固】如下圖，在NABC中，AD平分ZBAC,AD=AB,CM±AD于M，求證AB+AC=2AM.【例10】如圖，NABC中，AB=AC,BD、CE分別為兩底角的外角平分線，AD±BD于D,AE±CE于E.求證：AD=AE.【穩(wěn)固】：AD和BE分別是△ABC的∠CAB和∠CBA的外角平分線，CD±AD,CE±BE，求證：⑴DE/AB:⑵DE=1(AB+BC+CA).2【例11】在NABC中，MB、NC分別是三角形的外角ZABE、ZACF的角平分線，AM±BM,AN±CN垂足分別是M、N.求證：MN/BC,MN=1(AB+AC+BC)2【穩(wěn)固】在NABC中，MB、NC分別是三角形的角ZABC、ZACB的角平分線，AM±BM,AN±CN垂足分別是M、N.求證：MN〃BC,MN=1(AB+AC-BC)2【穩(wěn)固】(市中考模擬題)如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD,過(guò)C作CE1AB于E,并且AE=1(AB+AD)，則ZABC+ZADC等于多少？2【例12】如圖，ZA+ZD=180。，BE平分ZABC，CE平分ZBCD，點(diǎn)E在AD上.探討線段AB、CD和BC之間的等量關(guān)系.探討線段BE與CE之間的位置關(guān)系.版塊一、倍長(zhǎng)中線【例1】：AABC中，AM是中線.求證：AM<2(AB+AC).【例2】如圖，AABC中，AB<AC,AD是中線.求證：ZDAC<ZDAB.【例3】如圖，在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于F,AF=EF,求證：AC=BE.【例4】△ABC,∠B=∠C,D,E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G,求證GD=GE.【例5】AM為AABC的中線，ZAMB,ZAMC的平分線分別交AB于E、交AC于F.求證：BE+CF>EF.【例6】在RtAABC中，ZA=90。，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且ED1FD.以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？假設(shè)能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？【穩(wěn)固】如下圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，DM垂直于DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2,求證AD2=1(AB2+AC2).4【例7】(2008年省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽?初二組)在RtAABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D、E分別在邊CA、CB上，滿足ZDFE=90。.假設(shè)AD=3,BE=4，則線段DE的長(zhǎng)度為.版塊二、中位線的應(yīng)用【例8】AD是AABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交AC于E.求證：AE=1AC.3【例9】如下圖，在AABC中，AB=AC,延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB,E為AB的中點(diǎn)，連接CE、CD，求證CD=2EC.【穩(wěn)固】^ABC中，AB=AC,BD為AB的延長(zhǎng)線，且BD=AB,CE為^ABC的AB邊上的中線.求證CD=2CE【例10】：ABCD是凸四邊形，且AC<BD.E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于M；EF交BD于N,AC和BD交于G點(diǎn).求證：∠GMN>∠GNM.【例11】在AABC中，ZACB=90。，AC=1BC,以BC為底作等腰直角ABCD,E是CD的中點(diǎn)，2求證：AE1EB且AE=BE.【例12】如圖，在五邊形ABCDE中，ZABC=ZAED=90。,ZBAC=ZEAD,F為CD的中點(diǎn).求證：BF=EF.【例13】(“祖沖之杯〃數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)如下圖，P是AABC的一點(diǎn)，ZPAC=ZPBC，過(guò)P作PM1AC于M,PL1BC于L,D為AB的