第二章?lián)p失分布

第二章?lián)p失分布2023/9/15第1頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月保險(xiǎn)中的理賠和損失都是不確定的，而且可以用貨幣去度量，因此常用隨機(jī)變量去描述對(duì)于隨機(jī)變量的把握莫過(guò)于獲得它的分布獲得它的分布通?？梢杂靡恍┙y(tǒng)計(jì)的方法，包括分布擬合的方法、bayes方法和隨機(jī)模擬的方法2.1引言第2頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2隨機(jī)變量的描述(1)密度函數(shù)pdf(2)分布函數(shù)cdf(3)矩母函數(shù)mgf（momentgenerationfunction)(1)和(2)都是我們所熟知的，本節(jié)重點(diǎn)介紹矩母函數(shù)第3頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義2.2.1：對(duì)一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量X，其矩母函數(shù)定義為:隨機(jī)變量的矩母函數(shù)與分布函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。如果X和Y相互獨(dú)立，則第4頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月X的k階矩等于這就是矩母函數(shù)的得名由來(lái)！第5頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Mgf的性質(zhì)：（1）與分布函數(shù)一一對(duì)應(yīng)（2）與K階原點(diǎn)矩的關(guān)系（3）相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和的矩母函數(shù)的求法（4）若Y＝aX＋b，則Y的矩母函數(shù)為：第6頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.1：計(jì)算possion分布的矩母函數(shù)例2.2.2：計(jì)算Gamma分布的矩母函數(shù)第7頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月保險(xiǎn)損失或賠付中一般涉及兩個(gè)隨機(jī)變量：索賠次數(shù)和每次索賠金額。索賠次數(shù)用離散的隨機(jī)變量來(lái)刻畫，索賠金額用連續(xù)的隨機(jī)變量來(lái)刻畫。因此需要大家記住一些常見(jiàn)的隨機(jī)變量的分布（包括概率密度函數(shù)、均值、方差、矩母函數(shù)）。見(jiàn)講義P5，表1.3.1和表1.3.2第8頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3隨機(jī)變量的和如何計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和的分布方法之一：用卷積公式方法之二：用矩母函數(shù)例2.3.1講義P11，例1.5.2例2.3.2講義P10，例1.5.1都可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量第9頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4隨機(jī)和稱為隨機(jī)和，這里為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量為獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列實(shí)際應(yīng)用，N代表索賠次數(shù)，X代表每次索賠額，S代表總索賠額。第10頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.1計(jì)算上述隨機(jī)和S的cdf、mgf、數(shù)學(xué)期望和方差。（詳見(jiàn)講義P12）第11頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.2先擲一顆骰子，再根據(jù)骰子所示的點(diǎn)數(shù)，將一枚硬幣拋擲若干次。以X表示骰子所示點(diǎn)數(shù)，Y表示投擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的次數(shù)，試求Y的數(shù)學(xué)期望和方差。第12頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.3一名礦工陷進(jìn)一個(gè)有三扇門的礦井中，第一扇門遇到一個(gè)隧道，走2個(gè)小時(shí)可以到達(dá)安全區(qū)，第二扇門遇到又一個(gè)隧道，走3小時(shí)會(huì)使他回到這礦井中，第三扇門通到又一個(gè)隧道，走5小時(shí)也會(huì)使他回到礦井中。假定這礦工總是等可能地在三扇門中選擇一扇，計(jì)算礦工到達(dá)安全區(qū)的時(shí)間X的矩母函數(shù)。第13頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5混合分布與復(fù)合分布2.5.1混合分布：設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)時(shí)，N的分布為，令為的累積分布，為的pdf，則N的分布列為或者：N的分布稱為混合分布。為泊松分布時(shí)，N的分布稱為混合泊松分布。第14頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.1負(fù)二項(xiàng)分布可以看作是Gamma分布與poisson分布的混合（詳見(jiàn)講義P9）

第15頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如何求混合分布的期望和方差？第16頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.2假設(shè)投保車險(xiǎn)的駕駛員可以分為兩類，他們出事的次數(shù)服從泊松分布，其中好的一類的泊松參數(shù)為0.11，壞的一類的泊松參數(shù)為0.70，好的駕駛員和壞的駕駛員的比例為0.94和0.06，則任意一個(gè)駕駛員出事的次數(shù)分布時(shí)多少？第17頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.3Actuarieshavemodeledautowindshieldclaimfrequencies.TheyhaveconcludedthatthenumberofwindshieldclaimsfiledperyearperdriverfollowsthePoissondistributionwithparameter，where

followsthegammadistributionwithmean3andvariance3.Calculatetheprobabilitythatadriverselectedatrandomwillfilenomorethan1windshieldclaimnextyear.第18頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解：設(shè)gamma分布參數(shù)為和。由gamma分布的均值和方差公式有解得，。由前面的定理知，N服從負(fù)二項(xiàng)分布，于是計(jì)算得到第19頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5.2復(fù)合分布：設(shè)和分別為兩個(gè)隨機(jī)變量，與的分布相同，且Mi與N獨(dú)立則

的分布稱為的復(fù)合分布背景：N表示單位時(shí)間內(nèi)損失事故的發(fā)生數(shù)

表示單位時(shí)間內(nèi)損失事件產(chǎn)生的索賠額表示一年內(nèi)索賠的總次數(shù)

第20頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)為poisson分布時(shí)的分布稱為復(fù)合poisson分布注意：復(fù)合poisson分布的卷積仍為復(fù)合poisson分布第21頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.6損失分布的擬合一般步