數(shù)值分析總結(jié)-2

數(shù)值分析復(fù)習(xí)提要（４）一、綱要數(shù)值積分與數(shù)值微分一章中主要的要點如下：數(shù)值積分的提法、插值型求積公式的導(dǎo)出及其余項估計低階數(shù)值積分公式及其余項的估計數(shù)值積分的加速過程：Romberg算法與埃特金方法高精度求積公式：Gauss求積公式二、要點若要求積分，當?shù)慕馕霰磉_式未知或其解析表達式不易于計算積分值時，可以考慮用數(shù)值的方法求得它的一個近似值。如果已知函數(shù)在個節(jié)點上的值，那么可以用這些節(jié)點構(gòu)造一個插值多項式，用近似表示，并用近似表示，這時

上式就稱為插值型求積公式。更一般地，如果一種求積公式可以寫為：

就稱為機械求積公式，顯然，插值求積公式就是一種機械求積公式。在上述的插值型求積公式中，特別地，當給定的個節(jié)點是等距的時候，構(gòu)造出來的求積公式稱為Newton-Cotes求積公式它的一般表達式可以寫為：

其中稱為Cotes系數(shù)。特別地當時Newton-Cotes求積公式稱為梯型求積公式，寫為：

當時Newton-Cotes求積公式稱為拋物求積公式（或辛甫森求積公式），寫為：

當時Newton-Cotes求積公式稱為Cotes求積公式，寫為：

其中是區(qū)間的四等分點。為了估計上面求積公式的精度，引入代數(shù)精度的概念。如果一種求積公式

對于是次代數(shù)多項式時是精確成立的，但對于的代數(shù)多項式不能再精確成立那么，就稱上面的求積公式具有次代數(shù)精度。由概念可以直接得到這樣的結(jié)論（１）插值型求積公式至少具有次代數(shù)精度。容易證明第二個結(jié)論：（２）當為偶數(shù)的時候插值型求積公式至少具有次代數(shù)精度。由代數(shù)精度的概念出發(fā)，再加上積分中值定理可以得到一些低階的求積公式的余項估計。梯型求積公式的余項估計為：

辛甫森求積公式的余項估計為：

Cotes求積公式的余項估計為：

當用Newton-Cotes求積公式的時，當很大時一樣存在數(shù)值不穩(wěn)定性。為了使用低階求積公式，并且能達到較高的計算精度，可以將區(qū)間做若干等分，在每個子區(qū)間上使用低階求積公式，這樣的方法稱為復(fù)化求積方法。若在子區(qū)間中用梯型求積公式就有：

稱為復(fù)化梯型求積公式；若在子區(qū)間上用辛甫森求積公式，就有：

稱為復(fù)化辛甫生求積公式；同理可得其它的復(fù)化求積公式。復(fù)化求積公式的余項估計是先估計每個子區(qū)間的誤差，然后再取和。其過程是簡單的。（請大家勿必會證明推導(dǎo)復(fù)化求積公式的余項表達式，并會熟練使用）幾個簡單復(fù)化求積公式的余項估計：

由以上的誤差估計式，在較平坦、光滑（即光順）的假設(shè)下，可以容易導(dǎo)出復(fù)化求積過程的一個收斂加速算法：Romberg算法，可以表示為

Romberg算法可以實現(xiàn)的前提是“較平坦、光滑”，如果這個條件不成立，那么Romberg算法的收斂是值得商榷的。為了解決這個問題，利用一致逼近的思想可以找到一個高精度的數(shù)值求積算法：Gauss求積方法，它可以達到最高的代數(shù)精度為。一般表達式可以寫為：

其中是Gauss點，是求積系數(shù)。利用一些插值方法可以求得在給定的那些節(jié)點上的微分值，這種方法稱為數(shù)值微分。三、例題１、確定下列求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出求積公式所具有的代數(shù)精度。

解：這是的Newton－Cotes求積公式，至少具有三次代數(shù)精度。由此可以確定它的系數(shù)，取可得以下方程組：

如果取，它的積分真值為，如果用積分公式來計算則得到它的近似值為，所以，求積公式只具有3次代數(shù)精度。２、驗證梯型求積公式只具有一次代數(shù)精度證明：梯型求積公式為，取時，有取時取時，積分真值為梯型求積公式的值為故，即梯型求積公式只具有1次代數(shù)精度。３、分別應(yīng)用梯型求積公式、Simpson求積公式、Cotes求積公式計算積分，并估計各種方法的誤差（要求小數(shù)點后至少保留5位）解：運用梯形求積公式其誤差應(yīng)用Simpson求積公式，其誤差為應(yīng)用Cotes求積公式，有其誤差為：４、推導(dǎo)下列三種矩形求積公式解：將在處Taylor展開，得兩邊在上積分，得將在處Taylor展開，得兩邊在上積分，得將在處Taylor展開，得兩邊在上積分，得５、已知，（１）推導(dǎo)以這三個點作為求積節(jié)點在上的插值型求積公式，（２）指明求積公式所具有的代數(shù)精度（３）用所求公式的計算解：由構(gòu)造Lagrange插值多項式并用近似表示，可得插值型求積公式：其中代入計算可得所以要求的求積公式為：（２）插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度，而且n為偶數(shù)的時候至少具有n+1次代數(shù)精度。上面所求出來的求積公式就是一個為偶數(shù)的插值型求積公式，從而它至少具有次代數(shù)精度。如果取則其真值為，而求積公式的結(jié)果為，兩者不相等。故求積公式只具有3次代數(shù)精度。（３）６、用復(fù)化梯形公式求積分，要將區(qū)間分成多少等份，才能保證誤差不超過解：由復(fù)化梯形求積公式的余項知道要想使得誤差不超過，只要就可以了，這只要所分的等分滿足就可以了，其中７、用Romberg方法計算積分，要求誤差不超過解：令根據(jù)Romberg算法，可以計算出以下值：00.6839400.6323330.6321220.6321200.250.6452350.50.6321350.6354100.6321260.750.6321210.6329431故所求得積分值為：具有５位有效數(shù)字位。８、（信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)生選讀）設(shè)在上可積，證明當時，的復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化辛甫森求積公式收斂于。證明：由于在上可積，故由定積分的定義可知對的任一分劃所作黎曼和的極限存在。該積分對于等距分劃和特殊當然也成立。復(fù)化梯形公式為則復(fù)化Simpson公式為則分別用Romberg求積公式與兩點高斯求積公式計算積分

解題提示：Romberg算法過程與前面的第７題一樣；Gauss求積方法參考教材P94-4.4.2節(jié)。以下是填空題：

（１）若用復(fù)化梯形公式計算積分，要將區(qū)間分為等分，才能使截斷誤差不超過

（２）當為奇數(shù)時，Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精度至少為

。

（３）插值型求積公式的求積系數(shù)之和為。判斷題：

（１）使用求積公式時，主要的計算工作量在于求得函數(shù)值。

（２）如果一個求積公式的代數(shù)精度越高，那么它的積分余項越小。數(shù)值分析復(fù)習(xí)提要（5）一、綱要在非線性方程求根一章中，我們主要的目標是求出一個方程的根（也稱零點），即求得使得，顯然這時的方程應(yīng)該是有解析表達式的。那么在計算機中要解決以下兩個問題：１）所給的方程表達式在給定的區(qū)間里是否有根？２）如果有根的話怎么求出這個根。對于第１）個問題一般來說是比較困難的，比較簡單的一種方法是通過搜索的方法來確定有根區(qū)間，顯然這種方法并不是理想的。對于２）個問題我們討論了幾種行之有效的方法。主要是：二分法；迭代方法的原理及收斂性判斷；牛頓迭代方法及其變形。二、要點１、搜索有根區(qū)間：選定一個步長，計算的符號，如果是正的，那么改變的值為，繼續(xù)計算的符號，重復(fù)這個過程；如果是負的，那么找到了有根區(qū)間為；如果為零，那么找到了零點為。２、二分法假設(shè)是的一個有根區(qū)間，是給定的誤差上限步１如果，輸出，停止，否則轉(zhuǎn)步２；步２取，計算的符號 如果，做，轉(zhuǎn)步１； 如果，做，轉(zhuǎn)步１； 如果，輸出，停止３、迭代法原理及收斂判斷對于，總是可以寫成等價的表達形式，如果，那么對于任意的，構(gòu)造迭代序列收斂于方程的根，即４、牛頓迭代法對于，任取在根的附近，將在處Taylor展開并取其線性部分做為的近似，有用的根作為根的近似；再將在處Taylor展開，取其線性部分作為的近似，有用的根作為根的近似；依此類推，一般地已求得的第個近似根，那么將在處Taylor展開，取其線性部分作為的近似，有用的根，作為根的近似，這種方法稱為Newton迭代方法。這種方法具有局部二階收斂性。５、弦截法取在的根的附近，由Newton迭代法可求得一個近似根可以計算的值，于是過做一直線并以的根作為根的近似，即以代替重復(fù)以上過程，可得弦截法的一般表達式６、拋物線法拋物線法是弦截法的一種改進形式，其基本原理可以表示為：任取在根的附近，用Newton迭代法求得第一次近似，用弦截法再求出一個近似根，由三個點構(gòu)造一條拋物線，并用的根作為第一個的近似根。用代替，重復(fù)以上過程，即得拋物線法。三、示例１、用二分法求方程 在區(qū)間內(nèi)的根，要求其絕對誤差不超過。解：這時，容易確定函數(shù)在上只有一個根。精度要求為，即要求知，只需滿足 而這只要即可。計算過程按上面給出的方法進行就可以了。２、設(shè)連續(xù)函數(shù)在內(nèi)只有一個根，如果把區(qū)間逐次三等分，能得出什么樣的結(jié)論？區(qū)間二分法比較其優(yōu)劣。解：不妨設(shè)，如果將區(qū)間三等分，則有兩個分點：則必有下列情況之一成立（１），則有，或。（２），則有，。（３），則有，。（４），則有，故無論是哪種情況都有由此看出需計算兩個分點及其函數(shù)值，相當于兩步區(qū)間二分法計算量，所以此法不如區(qū)間二分法優(yōu)越。３、用迭代法求方程在中的根，要求精確到4位有效數(shù)字。解：將方程改寫為，因為，取，用迭代公式可以得到計算結(jié)果（這是容易的，可以用程序驗證），從結(jié)果可以看出，故取。４、用迭代法求方程的最小正根，要求精確到４位有效數(shù)字。解：（１）選確定根的大致范圍，可以畫出與的圖形，由圖可以看出，根大約在之間。將改寫為，則取，由迭代公式可以計算出結(jié)果５、方程在內(nèi)有一根，若將方程寫成如下不同的等價形式：（１），對應(yīng)迭代格式 （２），對應(yīng)迭代格式 （３），對應(yīng)迭代格式 判斷是否滿足迭代收斂的條件，并選擇一種最好的迭代格式，以為初始近似，求出方程的根的近似值，并要求準確到５位有效數(shù)字。解：（１）令，則，因而迭代收斂。（２）令，則，因而迭代收斂。（３）令，則，迭代不收斂。在迭代法中，收斂速度的大小由L的大小決定，因此，在實際計算時，宜選第二種迭代方法。從而，取，以下式做迭代計算：具體計算過程，請用計算器計算，計算到時，有，取做為根的近似。６、用迭代法的思想，給出求的迭代格式，并證明：解：記，，…，則有所以迭代函數(shù)為，由于所以迭代是收斂的，即存在，故，求得。７、（信息與計算科學(xué)專業(yè)選讀）為用迭代法求方程的根，若將方程改寫成，其中為待定常數(shù)。設(shè)連續(xù)，且，試確定，使序列收斂于，且盡可能收斂得快。解：由于連續(xù)且，可設(shè)在，可設(shè)在附近。故由迭代收斂定理，應(yīng)有解之得即與異號，且即滿足此不等式的定能使序列收斂于。要盡可能收斂得快，應(yīng)使即，當初值與較接近時，可取，得迭代公式為８、用弦截法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點。解：取，按下面的迭代式進行計算具體過程可用計算器計算。９、設(shè)寫出解的Newton迭代格式；證明此迭代格式是收斂的。解：因，故由Newton迭代公式：得１０、試導(dǎo)出計算的Newton迭代格式，使公式中既無開方，又無除法運算。解：顯然是的正根，記，則，構(gòu)造方程求根的Newton迭代格式：11、（較難題目，學(xué)有余力同學(xué)選讀）應(yīng)用Newton法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代格式，并分別求解：當時，因故Newton迭代格式為當時，因，故Newton迭代格式為對對，同樣可得12、利用以上例題可以解決課后習(xí)題中的大部分問題。以下部分課后習(xí)題給出提示，但不完整，