專題3.11 圓錐曲線的方程全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第三章圓錐曲線的方程全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谀佄锞€y=x2A．0,14 B．14,0 C．【解題思路】由拋物線方程求出p的值，從而可求出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【解答過程】由于拋物線的方程為y=所以2p=1，p所以拋物線y=x2故選：A.2．（5分）（2022秋·陜西西安·高二?？计谥校┤舴匠藽:x2+yA．?a∈(0,+∞)，方程B．?a∈(-∞,0)，方程C．?a∈(-∞,0)，方程D．?a∈R【解題思路】根據(jù)題意，進(jìn)行判斷即可.【解答過程】對于A，當(dāng)a=1時(shí)，方程C表示圓，故A對于B，當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，方程C表示雙曲線，故B正確．對于C，當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，方程C表示雙曲線，故C不正確．對于D，當(dāng)a≠0時(shí)，方程C表示橢圓、圓或雙曲線，故方程C不會表示拋物線．故D故選B．3．（5分）（2023春·云南曲靖·高一校考期末）與雙曲線y2-x23A．y29+C．x29+【解題思路】先求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的長軸長為6求解.【解答過程】解：雙曲線y2-x即橢圓的焦點(diǎn)為F1又長軸長為6，即a=3,所以橢圓的方程為y2故選：B.4．（5分）（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>A．12 B．22 C．32【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓離心率的定義，即可求求解.【解答過程】如圖所示，橢圓C，其上頂點(diǎn)為A，左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2則橢圓C的離心率為e=故選：A.

5．（5分）（2023春·河南·高三階段練習(xí)）已知F1,F2分別為橢圓C:x2a2+yA．6 B．9 C．12 D．15【解題思路】根據(jù)離心率求解a=4，即可由焦點(diǎn)三角形求解周長【解答過程】因?yàn)镃的離心率為12，且a>23，所以e2=a2-12故選：C.

6．（5分）（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x24-y212=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)AA．±2 B．±43 C．±23 D【解題思路】根據(jù)題意分析可得直線AF與漸近線平行，結(jié)合平行關(guān)系運(yùn)算求解.【解答過程】雙曲線C:x24-y2所以雙曲線的漸近線方程為y=±3x因?yàn)橹本€AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線AF與雙曲線的漸近線平行，所以kAF=m故選：B.7．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P2,1的直線l與雙曲線x2-y23=1相交于A,BA．6x-yC．2x-3【解題思路】利用點(diǎn)差法求解.【解答過程】解：設(shè)Ax1,兩式相減得直線的斜率為k=又直線l過點(diǎn)P2,1所以直線l的方程為6x經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A.8．（5分）（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谀┮阎獧E圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A．23 B．23 C．-2【解題思路】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用Δ>0，求出m范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于m的方程，解出即可【解答過程】將直線y=x+m與橢圓聯(lián)立y=因?yàn)橹本€與橢圓相交于A,B點(diǎn)，則Δ=36設(shè)F1到AB的距離d1,F2到AB則d1=|-S△F1ABS故選：C.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023春·河南漯河·高二統(tǒng)考期末）下列命題中正確的是（

）A．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A?B，則滿足PA+B．雙曲線x2-yC．若方程x24-t-D．過橢圓一焦點(diǎn)F作橢圓的動(dòng)弦PQ，則弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡為橢圓【解題思路】根據(jù)橢圓定義可判斷A；雙曲線與直線聯(lián)立求解可判斷B；根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線求出t的范圍可判斷C；設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，弦PQ的中點(diǎn)為Mx,y，當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)弦PQ【解答過程】對于A，根據(jù)橢圓定義，若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A?B，則滿足PA的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，故A錯(cuò)誤；對于B，由x-y-2=0x2-y2

對于C，若方程x24-t-y2t對于D，不妨設(shè)橢圓方程為x2a2則Fc,0，弦PQ的中點(diǎn)為當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)弦PQ方程為y=與橢圓方程y=kx所以動(dòng)弦PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=ca所以x=ca2k2b2+a2k2y=kca2k2b2+

故選：BD.10．（5分）（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．AB=25a B．C．矩形AF1BF2的面積為4【解題思路】對A、D：根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可求得AF1=2AF2=4a,AB=F1F2=2【解答過程】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形AF

由雙曲線的定義可得：AF1-對A：∵四邊形AF1BF2對B：由選項(xiàng)A可得：2c=25a，則注意到雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，則E的漸近線方程為y=±ba對C：矩形AF1BF2對D：由A選項(xiàng)知，AB=25a，所以e=故選：AD.11．（5分）（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1A．a(chǎn)=132C．直線DE的斜率為33 D．【解題思路】根據(jù)離心率為12，得到△AF1F2為等邊三角形，再由過F1且垂直于直線AF2的，得到kDE，△ADF2,△【解答過程】解：如圖所示：

∵橢圓C:x2∴不妨設(shè)橢圓C:∵C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1∴△A∵過F1且垂直于AF2的直線與C∴kDE=tan由等腰三角形的性質(zhì)可得AD=由橢圓的定義可得△ADE的周長為DE∴a=132,b對于D項(xiàng)，設(shè)lDE:y消去y得：x2則Δ=由韋達(dá)定理得x1所以DE=1+3故選：ACD.12．（5分）（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）過拋物線C:y2=2px上一點(diǎn)A1,2作兩條相互垂直的直線，與A．C的準(zhǔn)線方程是xB．過C的焦點(diǎn)的最短弦長為2C．直線MN過定點(diǎn)5,-2D．若直線MN過點(diǎn)1,-1，則△AMN的面積為【解題思路】由題可得拋物線C為y2=4x，進(jìn)而判斷A；利用焦點(diǎn)弦的方程結(jié)合拋物線的定義結(jié)合條件可判斷B；設(shè)直線MN為x=my+n，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得m、n的數(shù)量關(guān)系，可判斷C；由直線MN過點(diǎn)【解答過程】將A1,2代入C中得4=2p，即則拋物線C為y2所以C的準(zhǔn)線方程是x=-1，故A拋物線C的焦點(diǎn)為1,0，可設(shè)過C的焦點(diǎn)的直線為x=聯(lián)立x=ty+1y2則yE+y所以EF=xE+xF+2≥4設(shè)My124,y1聯(lián)立x=my+所以y1+y又AM⊥所以AM?因?yàn)閥1≠2，y2所以y1化簡整理得y1即-4n+8所以直線MN為x=所以直線MN過定點(diǎn)P5,-2，故C若直線MN過點(diǎn)1,-1，則1=m-1+2+5，即所以y1+y直線MN為x=-4y+2所以MN=點(diǎn)A1,2到直線MN的距離為d所以S△AMN=1故選：AC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023春·云南曲靖·高一?？计谀┤魭佄锞€C：x2=2py(p>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為p2，到x軸的距離為【解題思路】由拋物線的定義可得p2=3+p【解答過程】∵拋物線C：x2=2py∴該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p2又該點(diǎn)到x軸的距離為3，∴p2=3+p2，解之可得又p>0∴p故答案為：2.14．（5分）（2023春·西藏林芝·高二校考期末）短軸長為8，離心率為35的橢圓兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F1作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△AB【解題思路】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求得a=5，再結(jié)合橢圓的定義，進(jìn)而求得△AB【解答過程】由橢圓的短軸長為8，可得2b=8，所以又由離心率為35，即ca=35如圖所示，由橢圓的定義，可得AF則△ABF2的周長為AB故答案為：20.

15．（5分）（2023春·山西大同·高二?？计谀┰O(shè)雙曲線x24-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P【解題思路】根據(jù)雙曲線方程求出a、b、c，再由雙曲線的定義求出|PF1|【解答過程】因?yàn)殡p曲線x24-y23=1因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|PF1所以|PF1|=6，由余弦定理F1即272=62所以∠F故答案為：π316．（5分）（2023春·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)M(5,43)是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)【解題思路】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得方程為x29+y24【解答過程】由M(5,43)和MF2?F1F2=0可得c=5設(shè)圓x2+y2=4的切線方程為x聯(lián)立x=my+nx2Δ=64設(shè)Mx1,y1，NMN=設(shè)1+m2=當(dāng)且僅當(dāng)4t=5t，即t故答案為：3.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）求符合下列條件的曲線方程：(1)以橢圓x225(2)已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P2,nn【解題思路】（1）由橢圓的性質(zhì)求出雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，即可得解．（2）根據(jù)拋物線的定義求出p，即可求出拋物線方程，再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求出n，即可得解.【解答過程】（1）由題意，橢圓x225+y29=1所以雙曲線的焦點(diǎn)為±5,0，頂點(diǎn)為±4,0，設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b所以該雙曲線的方程為x2

（2）拋物線C:y2=2px因?yàn)辄c(diǎn)P2,nn>0在拋物線C上且PF=3所以拋物線方程為y2又點(diǎn)P2,nn>0在拋物線C，所以n2所以P2,2

18．（12分）（2023秋·四川南充·高二校考期末）已知點(diǎn)P是橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l過F2與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△AB【解題思路】（1）根據(jù)焦距可求c=3，根據(jù)所過點(diǎn)可求a（2）利用橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a【解答過程】（1）設(shè)焦距為2c，由2c=6又橢圓x2a2+y2得b2∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）動(dòng)直線l過F2與橢圓交于A、B∴AF1+∴AF∴△ABF

19．（12分）（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=-2py(p(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為6,-4，求直線【解題思路】（1）根據(jù)拋物線的定義求解；（2）設(shè)點(diǎn)代入拋物線方程，然后利用點(diǎn)差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可解得直線的方程；【解答過程】（1）因?yàn)锳F=9+所以p=12故拋物線C的方程為x2（2）

易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k,則x兩式相減得x12-因?yàn)镸N的中點(diǎn)為6,-4，所以k=所以直線l的方程為y+4=-1220．（12分）（2023春·上海徐匯·高二?？计谥校┮阎p曲線C的方程為2x(1)直線y=x+m截雙曲線C所得的弦長為(2)過點(diǎn)2,-1作直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．【解題思路】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，利用弦長公式即可求出m值；（2）設(shè)Px1,y1,【解答過程】（1）聯(lián)立y=x+m∵直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為設(shè)直線與雙曲線交于Ax則x1由弦長公式得42解得m=±1（2）設(shè)Px1,x1∴2x上式作差得4x當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，根據(jù)雙曲線對稱性知M2,0當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，但y1+y2=0時(shí)，此時(shí)直線PQ當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，且y1+y∵kAM=y+1x-而點(diǎn)2,0，0,0適合上述方程，則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是2x

21．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)0,-1的直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，記橢圓的上頂點(diǎn)為M，當(dāng)直線l的斜率變化時(shí)，求△【解題思路】(1)根據(jù)離心率的值和定義可以求出a,b(2)設(shè)出直線方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元化簡后，可得x1+x2=4【解答過程】（1）橢圓C的離心率e=則22=c所以a=2b將點(diǎn)4,1代入方程得b2故所求方程為x2（2）點(diǎn)0,-1在橢圓C內(nèi)，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=由x218+設(shè)Px1,PQ=點(diǎn)M0,3到l的距離d令t=2k2+1t因?yàn)?<1t≤1，所以當(dāng)1t

22．（12分）（2023春·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M、N為橢圓C上的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2