2022年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試卷

2022年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)一、選擇題：（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意．1．（4分）2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．2 C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的表示方法：一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號(hào)．【解答】解：2的相反數(shù)是﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號(hào)；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．2．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝2a4 B．a(chǎn)2?a＝a3 C．（3a）2＝6a2 D．a(chǎn)6+a2＝a3【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方與積的乘方逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：A.a2+a2＝2a2，因此選項(xiàng)A不正確；B.a2?a＝a2+1＝a3，因此選項(xiàng)B正確；C.（3a）2＝9a2，因此選項(xiàng)C不正確；D.a6與a2不是同類項(xiàng)，不能合并計(jì)算，因此選項(xiàng)D不正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方與積的乘方，掌握合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方與積的乘方的計(jì)算方法是得出正確答案的前提．3．（4分）如圖是由6個(gè)相同的小立方體堆成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小立方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】由俯視圖中相應(yīng)位置上擺放的小立方體的個(gè)數(shù)，可得出主視圖形狀，進(jìn)而得出答案．【解答】解：主視圖看到的是兩列，其中左邊的一列為3個(gè)正方形，右邊的一列為一個(gè)正方形，因此選項(xiàng)C中的圖形符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的前提．4．（4分）如圖，已知直線m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°【分析】由兩直線平行，同位角相等得到∠4＝40°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得解．【解答】解：如圖，∵直線m∥n，∠1＝40°，∴∠4＝∠1＝40°，∵∠3＝∠2+∠4，∠2＝30°，∴∠3＝30°+40°＝70°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理即三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（4分）15名學(xué)生演講賽的成績(jī)各不相同，若某選手想知道自己能否進(jìn)入前8名，則他不僅要知道自己的成績(jī)，還應(yīng)知道這15名學(xué)生成績(jī)的（）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．中位數(shù)【分析】15人成績(jī)的中位數(shù)是第8名的成績(jī)．參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前8名，只需要了解自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的中位數(shù)，比較即可．【解答】解：由于總共有15個(gè)人，且他們的成績(jī)互不相同，第8的成績(jī)是中位數(shù)，要判斷是否進(jìn)入前8名，故應(yīng)知道中位數(shù)的多少．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)量的選擇，解題的關(guān)鍵是明確題意，選取合適的統(tǒng)計(jì)量．6．（4分）若a＝，b＝，c＝2，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的意義估算出a、b的近似值，再進(jìn)行比較即可．【解答】解：∵＜＜，∴1＜＜2，即1＜a＜2，又∵2＜＜3，∴2＜b＜3，∴a＜c＜b，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根、立方根，理解算術(shù)平方根、立方根的意義是正確判斷的前提．7．（4分）下列命題正確的是（）A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形 B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．過線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線 D．三角形的中位線將三角形的面積分成1：2兩部分【分析】利用正多邊形的定義、平行四邊形的判定、垂直平分線的定義和三角形中位線定理進(jìn)行判斷即可選出正確答案．【解答】解：A、每條邊、每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形，故錯(cuò)誤，是假命題；B、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故正確，是真命題；C、過線段中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線，故錯(cuò)誤，是假命題；D、三角形的中位線將三角形的面積分成1：3兩部分，故錯(cuò)誤，是假命題．（∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，∴S△ADE：S△ABC＝1:4，∴S△ADE：S四邊形DECB＝1：3．）故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的定義、平行四邊形的判定、垂直平分線的定義和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些定理、定義．8．（4分）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成，恰好拼成一個(gè)大正方形ABCD．連結(jié)EG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M．若AB＝，EF＝1，則GM的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】由大正方形ABCD是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成，在直角三角形AEB中使用勾股定理可求出BF＝AE＝GC＝DH＝2，過點(diǎn)M作MN⊥FC于點(diǎn)N，由三角形EFG為等腰直角三角形可證得三角形GNM也為等腰直角三角形，設(shè)GN＝NM＝a，則NC＝GC﹣GN＝2﹣a，由tan∠FCB＝＝＝＝，可解得a＝．進(jìn)而可得GM＝＝．【解答】解：由圖可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB＝，∵大正方形ABCD是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成，故AE＝BF＝GC＝DH，設(shè)AE＝x，則在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，即13＝x2+（1+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）．過點(diǎn)M作MN⊥FC于點(diǎn)N，如圖所示．∵四邊形EFGH為正方形，EG為對(duì)角線，∴△EFG為等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM為等腰直角三角形．設(shè)GN＝NM＝a，則NC＝GC﹣GN＝2﹣a，∵tan∠FCB＝＝＝＝，解得：a＝．∴GM＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．9．（4分）一對(duì)變量滿足如圖的函數(shù)關(guān)系．設(shè)計(jì)以下問題情境：①小明從家騎車以600米/分的速度勻速騎了2.5分鐘，在原地停留了2分鐘，然后以1000米/分的速度勻速騎回家．設(shè)所用時(shí)間為x分鐘，離家的距離為y千米；②有一個(gè)容積為1.5升的開口空瓶，小張以0.6升/秒的速度勻速向這個(gè)空瓶注水，注滿后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度勻速倒空瓶中的水．設(shè)所用時(shí)間為x秒，瓶?jī)?nèi)水的體積為y升；③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．沿AC→CD→DA路線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，△ABP的面積為y．其中，符合圖中函數(shù)關(guān)系的情境個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據(jù)下面的情境，分別計(jì)算判斷即可．【解答】解：①小明從家騎車以600米/分的速度勻速騎了2.5分鐘，離家的距離＝600×2.5＝1500（米）＝1.5（千米），原地停留＝4.5﹣2.5＝2（分），返回需要的時(shí)間＝1500÷1000＝1.5（分），4.5+1.5＝6（分），故①符合題意；②1.5÷0.6＝2.5（秒），2.5+2＝4.5（秒），1.5÷1＝1.5（秒），4.5+1.5＝6（秒），故②符合題意；③根據(jù)勾股定理得：AC＝＝＝2.5，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y隨x增大而增大，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，y＝×2×1.5＝1.5，當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y不變，y＝1.5，當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y＝×AB×AP＝×2×（2.5+2+1.5﹣x）＝18﹣3x，y隨x增大而減小，故③符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象，注意看清楚因變量和自變量分別表示的含義．10．（4分）已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣4）、（0，﹣2），線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)M（m，n），過點(diǎn)M作x軸的平行線交拋物線y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點(diǎn)．若x1＜m≤x2，則a的取值范圍為（）A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0【分析】如圖，由題意，拋物線的開口向下，a＜0．求出拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)a的值即可．【解答】解：如圖，由題意，拋物線的開口向下，a＜0．當(dāng)拋物線y＝a（x﹣1）2+2經(jīng)過點(diǎn)A(3,﹣4)時(shí)，﹣4＝4a+2,∴a＝﹣,觀察圖象可知，當(dāng)拋物線與線段AB沒有交點(diǎn)或經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，滿足條件,∴﹣≤a＜0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問題，屬于選擇題中的壓軸題．二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）中國(guó)共產(chǎn)黨自1921年誕生以來，僅用了100年時(shí)間，黨員人數(shù)從建黨之初的50余名發(fā)展到如今約92000000名，成為世界第一大政黨．請(qǐng)將數(shù)92000000用科學(xué)記數(shù)法表示為9.2×107．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：92000000＝9.2×107．故答案為：9.2×107．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（4分）將2本藝術(shù)類、4本文學(xué)類、6本科技類的書籍混在一起．若小陳從中隨機(jī)抽取一本，則抽中文學(xué)類的概率為．【分析】用文學(xué)類書籍的數(shù)量除以書籍的總數(shù)量即可．【解答】解：∵一共有2+4+6＝12本書籍，其中文學(xué)類有4本，∴小陳從中隨機(jī)抽取一本，抽中文學(xué)類的概率為＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．13．（4分）若x2+x﹣1＝0，則3x﹣＝﹣3．【分析】根據(jù)公因式法可以先將所求式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)x2+x﹣1＝0，可以得到x﹣的值，然后代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：3x﹣＝3（x﹣），∵x2+x﹣1＝0，x+1﹣＝0，∴x﹣＝﹣1，當(dāng)x﹣＝﹣1時(shí)，原式＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．14．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（﹣π）cm2．【分析】連接BE．首先證明∠EBC＝30°，根據(jù)S陰＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣S扇形AEB計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接BE．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝cm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，在Rt△BCE中，∵AB＝BE＝2cm，BC＝cm，∴EC＝＝1cm，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠BEC＝60°，∴S陰＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB，＝2﹣×1×﹣?π?22，＝（﹣π）cm2．故答案為：（﹣π）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、扇形的面積公式、直角三角形30度角的判斷等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．15．（4分）將一張圓形紙片（圓心為點(diǎn)O）沿直徑MN對(duì)折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線AB剪開，再將△AOB展開得到如圖3的一個(gè)六角星．若∠CDE＝75°，則∠OBA的度數(shù)為135°．【分析】根據(jù)翻折可以知道∠OAB＝∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB和∠OAB的度數(shù)即可求∠OBA的度數(shù)．【解答】解：由題知，∠AOB＝×180°＝30°，由翻折知∠OAB＝∠DCE，CD＝CE，∵∠CDE＝75°，∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠OAB＝∠DCE＝＝15°，∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，故答案為：135°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查剪紙問題，熟練掌握剪紙中的翻折是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．FH⊥CD于點(diǎn)H，連結(jié)CF．有下列結(jié)論：①AF＝CF；②AF2＝EF?FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②③④．【分析】由菱形ABCD的對(duì)稱性可判斷①正確，利用△CFG∽△EFC,可得CF2＝EF?GF,從而判斷②正確，設(shè)AD＝CD＝BC＝m,Rt△CDE中，CE＝CD?cos60°＝CD＝m,BE＝m,可得＝＝＝,設(shè)AF＝2n，則CF＝AF＝2n,EF＝3n,可得FG＝n,EG＝EF﹣FG＝n,從而FG:EG＝(n):（n)＝4:5,可判斷③正確，設(shè)CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DE＝t,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,可求出DF＝BD＝t,Rt△DFH中，F(xiàn)H＝DF＝t,Rt△ADE中，AE＝＝＝t,即可得EF＝AE＝t,FG＝EF＝t,Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝,即可判斷④正確，【解答】解：∵菱形ABCD，∴對(duì)角線BD所在直線是菱形ABCD的對(duì)稱軸，沿直線BD對(duì)折，A與C重合，∴AF＝CF,故①正確，∠FAD＝∠FCD,∵AD∥BC,∴∠FAD＝∠FEC,∴∠FCD＝∠FEC,又∠CFG＝∠EFC,∴△CFG∽△EFC,∴＝,∴CF2＝EF?GF,∴AF2＝EF?GF,故②正確，∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，AD＝CD＝BC,設(shè)AD＝CD＝BC＝m,∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，Rt△CDE中，CE＝CD?cos60°＝CD＝m,∴BE＝m,∵AD∥BE,∴＝＝＝,設(shè)AF＝2n，則CF＝AF＝2n,EF＝3n,又CF2＝FG?EF,∴(2n)2＝FG?3n,∴FG＝n,∴EG＝EF﹣FG＝n,∴FG:EG＝(n):（n)＝4:5,故③正確，設(shè)CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DE＝t,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,∵AD∥BE,∴＝＝＝,∴DF＝BD＝t,Rt△DFH中，F(xiàn)H＝DF＝t,Rt△ADE中，AE＝＝＝t,∴EF＝AE＝t,∵FG:EG＝4:5,∴FG＝EF＝t,Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝,故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及菱形的軸對(duì)稱性、三角形相似的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形性質(zhì)，從圖中找出常用的相似三角形模型解決問題．三、解答題：（本大題共8個(gè)小題，共86分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（9分）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣）÷，其中x﹣3＝0．【分析】首先將分式的分子與分母進(jìn)行分解因式進(jìn)而化簡(jiǎn)，再將x的值代入求出答案．【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝?＝,∵x﹣3＝0,∴x＝3,此時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確分解因式是解題關(guān)鍵．18．（10分）目前，全國(guó)各地正在有序推進(jìn)新冠疫苗接種工作．某單位為了解職工對(duì)疫苗接種的關(guān)注度，隨機(jī)抽取了部分職工進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為：A（實(shí)時(shí)關(guān)注）、B（關(guān)注較多）、C（關(guān)注較少）、D（不關(guān)注）四類，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）求C類職工所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）若D類職工中有3名女士和2名男士，現(xiàn)從中任意抽取2人進(jìn)行隨訪，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．【分析】（1）由B類的人數(shù)和所占百分比求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，即可解決問題；（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到一名女士和一名男士的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）調(diào)查的職工人數(shù)為：150÷75%＝200（人），∴C類職工所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為：360°×＝27°，A類的人數(shù)為200﹣150﹣15﹣5＝30（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到一名女士和一名男士的結(jié)果有12種，∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．（10分）我市某中學(xué)計(jì)劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)獲獎(jiǎng)的同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)要購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，已知1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)；（2）根據(jù)頒獎(jiǎng)計(jì)劃，該中學(xué)需甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60件，且甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的，應(yīng)如何購(gòu)買才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用．【分析】（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元/件，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元/件，根據(jù)“購(gòu)買1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，購(gòu)買2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需70元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品m件，則購(gòu)買乙種獎(jiǎng)品（60﹣m）件，設(shè)購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w，由甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再由總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元/件，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元/件，依題意，得：，解得，答：甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元/件，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元/件．（2）設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品m件，則購(gòu)買乙種獎(jiǎng)品（60﹣m）件，設(shè)購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w元，∵購(gòu)買乙種獎(jiǎng)品的件數(shù)不超過甲種獎(jiǎng)品件數(shù)的2倍，∴m（60﹣m），∴m≥20．依題意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w隨m值的增大而增大，∴當(dāng)學(xué)習(xí)購(gòu)買20件甲種獎(jiǎng)品、40件乙種獎(jiǎng)品時(shí)，總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用是800元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式．20．（10分）如圖，已知直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（m，3）、B（3，n）兩點(diǎn)．（1）求直線AB的解析式；（2）連結(jié)AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)C，連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)AD，求△ABD的面積．【分析】(1)由反比例函數(shù)解析式求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性求得C的坐標(biāo)，即可根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，從而求得D的坐標(biāo)，利用三角形面積公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3,根據(jù)勾股定理求得CD、BD的長(zhǎng),即可根據(jù)同高三角形面積的比等于底邊的比求得△ABD的面積．【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（m，3）、B（3，n）兩點(diǎn)．∴3m＝3n＝6,∴m＝n＝2,∴A(2,3),B(3,2),把A(2,3),B(3,2)代入y＝kx+b得,解得,∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5；(2)∵AC經(jīng)過原點(diǎn)O,∴A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵A(2,3),∴C(﹣2,﹣3),設(shè)直線CB的解析式為y＝mx+n,∴,解得,∴直線BC為y＝x﹣1,令y＝0,則x＝1,∴D(1,0),∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝2××1×3＝3,∵BC＝＝5,BD＝＝2,∴CD＝BC﹣BD＝3,∴＝,∴S△ABD＝S△ACD＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，三角形的面積以及勾股定理的應(yīng)用等，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．21．（11分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的長(zhǎng)．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝∠OBD＝∠ODB，可證OD∥AC，可得OD⊥DE，可得結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)可求DE＝4，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求OE＝5，通過證明△AEF∽△OED，可得，即可求解．【解答】證明：（1）如圖，連接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠ACB，∴AC∥OD，∴∠DFC＝∠ODF，∵DE⊥AC，∴∠DFC＝∠ODF＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）∵AC＝6＝AB，∴AO＝OB＝3＝OD，∵OD⊥DE，tanE＝，∴＝，∴DE＝4，∴OE＝＝＝5，∴AE＝OE﹣OA＝2，∵AC∥OD，∴△AEF∽△OED，∴，∴，∴AF＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出OE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．22．（11分）資陽市為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2022﹣2025年擬建設(shè)5G基站七千個(gè)．如圖，在坡度為i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡腳C測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走13米到達(dá)D處，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°．（點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D處的豎直高度；（2）求基站塔AB的高．【分析】（1）通過作垂線，利用斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）設(shè)出DE的長(zhǎng)，根據(jù)坡度表示BE，進(jìn)而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DE，進(jìn)而求出AB．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)C、D分別作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)D作DM⊥CF，垂足為M，∵斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，∴＝，即＝，設(shè)DM＝5k米，則CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1（米），∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D處的豎直高度為5米；（2）斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，設(shè)DE＝12a米，則BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高為米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，通過作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進(jìn)行計(jì)算是常用的方法．23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，已知點(diǎn)D在BC邊上，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．試探究BD與CE的關(guān)系；（2）如圖2，已知點(diǎn)D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)；（3）如圖3，已知點(diǎn)D在BC下方，連結(jié)AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．【分析】（1）證明△BAD≌△CAE（SAS），進(jìn)而求解；（2）證明四邊形ADHE為正方形，則BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，進(jìn)而求解；（3）由DE2＝2AD2＝DH2+EH2，得到（3﹣x）2+（+x）2＝2×（4+），求出BD＝x＝1，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝，用解直角三角形的方法，即可求解．【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BD＝CE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴BD＝CE且BD⊥CE；（2）延長(zhǎng)BD和CE交于點(diǎn)H，由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°，CE＝BD＝2，而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°，故四邊形ADHE為矩形，而AD＝AE，故四邊形ADHE為正方形，在Rt△ACE中，AE＝＝＝＝6＝DH＝EH＝AD，則BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，連結(jié)CE，延長(zhǎng)EC和BD交于點(diǎn)H，連接DE，由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，由作圖知，△ADE為等腰直角三角形，設(shè)CE＝BD＝x，在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BC＝AB＝＝2，則CH＝BC，BH＝BCcos30°＝3，則DH＝BH﹣x＝3﹣x，EH＝CH+CE＝x+，則DE2＝2AD2＝DH2+EH2，即（3﹣x）2+（+x）2＝2×（4+），解得x＝2﹣（舍去）或1，即BD＝x＝1，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝1，則ND＝BD＝，BN＝BDcos30°＝，則CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，∴CD＝＝，則sin∠BCD＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形全等、解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用等，綜合