初中數(shù)學(xué)湘教版九上2.2.1 第3課時(shí) 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程 課件

2.2.1配方法

第2章一元二次方程第3課時(shí)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程復(fù)習(xí)引入(1)9x2=1；(2)(x-

2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2

+

6x+

9=5；(2)

x2+6x+4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x

+

m)2

=

n(n≥0)

的形式，再利用開平方用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程問題1：觀察下面兩個(gè)是一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：①x2+6x+8=0；

②3x2+8x－3=0.問題2：用配方法來解x2+6x+8=0.

解：移項(xiàng)，得x2+6x=-8，配方，得

(x+3)2=1.開平方，得x+3=±1.解得x1=-2，x2=-4.想一想怎么來解3x2+8x－3=0.試一試：解方程：3x2+8x-3=0.

解：兩邊同除以3，得

配方，得

開方，得

即

所以

x1=，

x2=-3.可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為

1.配方，得由此可得二次項(xiàng)系數(shù)化為

1，得解：移項(xiàng)，得2x2－3x=－1.即移項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)化為

1這兩個(gè)步驟能不能交換呢?例1

解下列方程：配方，得∵實(shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，∴x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，上式都不成立．∴原方程無實(shí)數(shù)根．解：移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為

1，得為什么方程兩邊都加

12？即思考1：用配方法解一元二次方程時(shí)，移項(xiàng)時(shí)要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項(xiàng)時(shí)需注意改變符號(hào).①移項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成

(x+m)2=n.①當(dāng)

n>0時(shí)，則

，方程的兩個(gè)根為②當(dāng)

n=0時(shí)，則(x+m)2=0，x+m=0，開平方得方程的兩個(gè)根為

x1=x2=-m.③當(dāng)

n<0時(shí)，則方程(x+m)2=n無實(shí)數(shù)根.規(guī)律總結(jié)引例：一個(gè)小球從地面上以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-

5t2.小球何時(shí)能達(dá)到10m高？解：將h=10代入方程式中.15t-

5t2

=10.

兩邊同時(shí)除以-5，得t2-

3t=

-2，配方，得

t2

-

3t+=

-2，

=配方法的應(yīng)用移項(xiàng)，得

=即t-=

，或t-=.所以t1=2，

t2

=

1.即在1s或2s時(shí)，小球可達(dá)10m高.例2.試用配方法說明：不論

k取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1因?yàn)?k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.所以

k2－4k＋5的值必定大于零.例3

若

a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且

試判斷△ABC的形狀.解：將原式配方，得所以，△ABC為直角三角形.

由非負(fù)式的性質(zhì)可知

即∴

例4：解方程4x2-12x-1=0.

解：將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，得x2-3x-

=0，配方，得因此

由此，得或所以 1.關(guān)于

x的方程2x2

-3m-

x+m2+2=0有一根為

x=0，則

m的值為（）A.1B.1C.1或

2D.1

或

-22.利用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.練一練C解：(1)

2x2-

4x+

5=2(x-

1)2+3，當(dāng)

x=1時(shí)有最小值3.(2)

-3x2+5x+1=-3+，當(dāng)

x=時(shí)有最大值

.歸納總結(jié)配方法的應(yīng)用類別解題策略1.求最值或證代數(shù)式的值恒正（或負(fù)）將關(guān)于

x

的二次多項(xiàng)式通過配方成

a(x+m)2+n的形式后，由于

(x+m)2≥0，故當(dāng)

a＞0時(shí)，可得其最小值為

n；當(dāng)

a＜0時(shí)，可得其最大值為

n.2.完全平方式中的配方如：已知

x2－2mx＋16是一個(gè)完全平方式，所以一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構(gòu)成非負(fù)式的和的形式對(duì)于含有多個(gè)未知數(shù)的二次式等式，求未知數(shù)的值，可考慮配方成多個(gè)完全平方式的和為0，再根據(jù)非負(fù)式的和為0，各式均為0，進(jìn)而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，即

a2＋(b－2)2=0，則a=0，b=2.例5.讀詩(shī)詞解題：（通過列方程，算出周瑜去世時(shí)的年齡.）

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物。

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)。十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符。哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為

x，十位數(shù)字為

(x-

3)解得

x1=6，x2=5.x2

-

11x=-30，x2

-

11x

+

5.52=-30+5.52，(x

-

5.5)2=0.25.x

-

5.5=0.5，或

x-

5.5=-0.5，

x2=10(x-

3)+x，∴這個(gè)兩位數(shù)為36或25.∴周瑜去世的年齡為

36歲.∵周瑜30歲還攻打過東吳，1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2

-

6x

-

3=0；

（4）3x2

+6x

-

9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.∴此方程無解.解：x2-

4x

-

12

=

0，(x-

2)2=16.∴x1=6，x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.∴x1=-3，x2=1.2.利用配方法證明：不論

x取何值，代數(shù)式

?x2?x?1的值總是負(fù)數(shù)，并求出它的最大值.解：?x2?x?1=?(x2+x+

)+?1∴?x2?x?1的值總是負(fù)數(shù).當(dāng)

時(shí)，?x2?x?1有最大值3.若

，求(xy)z

的值.解：對(duì)原式配方，得由非負(fù)式的性質(zhì)可知4.如圖，在一塊長(zhǎng)

35m、寬

26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為

850m2，道路的寬應(yīng)為多少？

解：設(shè)道路的寬為

xm，根據(jù)題意得(35-

x)(26

-

x)=850.整理，得

x2

-61x+60=0.解得x1=60(不合題意，舍去)，x2=1.答：道路的寬為1m.5.已知

a，b，c為

△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足等式

，試判斷

△ABC的形狀.解：對(duì)原式配方，得由非負(fù)式的性質(zhì)可知