新教材數(shù)學(xué)人教A版教案1-1集合的概念1-1-2集合的表示

第一章集合與常用邏輯用語集合的概念集合的表示[目標(biāo)]1.掌握集合的兩種表示方法(列舉法和描述法)；2.能夠運(yùn)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合．[重點(diǎn)]集合的兩種表示方法及其運(yùn)用．[難點(diǎn)]對(duì)描述法表示集合的理解．知識(shí)點(diǎn)一列舉法[填一填]把集合的所有元素出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．{}表示“所有”的含義，不能省略，元素之間用“，”隔開，而不能用“、”；書寫時(shí)不需要考慮元素的順序．[答一答]1．實(shí)數(shù)集也可以寫成{實(shí)數(shù)}，那么能寫成{實(shí)數(shù)集}或{全體實(shí)數(shù)}嗎？提示：不能，因?yàn)榛ɡㄌ?hào)“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列舉法能表示元素個(gè)數(shù)很少的有限集，那么可以用列舉法表示無限集嗎？提示：對(duì)于所含元素有規(guī)律的無限集也可以用列舉法表示，如正自然數(shù)集可以用列舉法表示為{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}與{(2,1)}是否為相等集合？提示：不是．知識(shí)點(diǎn)二描述法[填一填]1．一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．2．具體方法在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.[答一答]3．集合{x|x>3}與集合{t|t>3}表示同一個(gè)集合嗎？提示：是同一個(gè)集合．雖然兩個(gè)集合的代表元素的符號(hào)(字母)不同，但實(shí)質(zhì)上它們均表示大于3的所有實(shí)數(shù)，故表示同一個(gè)集合．類型一用列舉法表示集合[例1](1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，則集合A中元素的個(gè)數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4(2)用列舉法表示下列集合．①不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；②方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；③直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；④方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解．[解析](1)集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有兩個(gè)元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解組成的集合為{0,1}．③將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．④解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴用列舉法表示方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集為{(0,1)}．用列舉法表示集合應(yīng)注意的三點(diǎn)：1應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點(diǎn)，還是其他元素；2集合中的元素一定要寫全，但不能重復(fù)；3若集合中的元素是點(diǎn)時(shí)，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對(duì)用小括號(hào)括起來表示一個(gè)元素.[變式訓(xùn)練1]用列舉法表示下列集合：(1)15的正約數(shù)組成的集合；(2)所有正整數(shù)組成的集合；(3)直線y＝x與y＝2x－1的交點(diǎn)組成的集合．解：(1){1,3,5,15}．(2)正整數(shù)有1,2,3，…，所求集合用列舉法表示為{1,2,3，…}．(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所求集合用列舉法表示為{(1,1)}．類型二用描述法表示集合[例2]用描述法表示下列集合：(1)不等式2x7<3的解集A；(2)二次函數(shù)y＝x2＋1的函數(shù)值組成的集合B；(3)被3除余2的正整數(shù)的集合C；(4)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合D.[分析]先確定集合元素的符號(hào)，再把元素的共同特征通過提煉加工后寫在豎線后面．[解](1)解2x－7<3得x<5，所以A＝{x|x<5}．(2)函數(shù)值組成的集合就是y的取值集合，所以B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}．(3)被3除余2的正整數(shù)可以表示為3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(4)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的共同特征是至少有一個(gè)坐標(biāo)為0，所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．1用描述法表示集合，應(yīng)先弄清集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型.一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來代表其元素.2若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說明其含義或指出其取值范圍.[變式訓(xùn)練2]用描述法表示下列集合：(1)函數(shù)y＝－x的圖象上所有點(diǎn)組成的集合；(2)方程x2＋22x＋121＝0的解集；(3)數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)組成的集合；(4)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，\f(3,5)，\f(2,3)，\f(5,7)，…)).解：(1){(x，y)|y＝－x，x∈R，y∈R}．(2){x|x＝－11}．(3)數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)組成的集合等于絕對(duì)值大于3的實(shí)數(shù)組成的集合，則數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)組成的集合可表示為{x∈R||x|>3}．(4)先統(tǒng)一形式eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)，…，找出規(guī)律，集合表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,n＋2)，n∈N*)))).類型三兩種方法的靈活應(yīng)用[例3]用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8))的解組成的集合；(2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)組成的集合；(3)所有的正方形組成的集合；(4)拋物線y＝x2上的所有點(diǎn)組成的集合．[分析](1)中的元素個(gè)數(shù)很少，用列舉法表示；(2)是有限集，但個(gè)數(shù)較多，用描述法；(3)(4)是無限集，用描述法表示．[解](1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))故該集合用列舉法可表示為{(4，－2)}．(2)設(shè)集合的代表元素是x，則該集合用描述法可表示為{x|x＝3k＋2，k∈N，且k≤332}．(3)集合用描述法表示為{x|x是正方形}或{正方形}．(4)集合用描述法表示為{(x，y)|y＝x2}．當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)很少很容易寫出全部元素時(shí)，常用列舉法表示集合；當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)較多不易寫出全部元素時(shí)，常用描述法表示集合.對(duì)一些元素有規(guī)律的無限集，也可用列舉法表示.如正奇數(shù)集也可寫為{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一個(gè)集合都可以用兩種方法表示出來.)[變式訓(xùn)練3]用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于2且小于5的有理數(shù)組成的集合；(2)24的所有正因數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的集合．解：(1)用描述法表示為{x|2<x<5，且x∈Q}．(2)用列舉法表示為{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)(x，y)到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|，所以該集合用描述法表示為{(x，y)||y|＝|x|}．1．集合{x∈N|x<5}的另一種表示方法是(A)A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x∈N，且x<5，∴x的值為0,1,2,3,4，用列舉法表示為{0,1,2,3,4}．2.方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝1} B．{1}C．{(1,1)} D．{(x，y)|(1,1)}解析：方程組的解集中元素應(yīng)是有序數(shù)對(duì)形式，排除A，B，而D中的條件是點(diǎn)(1,1)，不含x，y，排除D.3.集合{x|x＝eq\r(a)，a<36，x∈N}，用列舉法表示為{0,1,2,3,4,5}.解析：由a<36，可得eq\r(a)<6，即x<6，又x∈N，故x只能取0,1,2,3,4,5.4.能被2整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為{x|x＝2n，n∈N＋}．解析：正整數(shù)中所有的偶數(shù)均能被2整除．5.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；(3)x2－4的一次因式組成的集合；(4)由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解所組成的集合．解：(1)用列舉法表示為P＝{0,2,4}．(2)可用列舉法表示為{6,9,12}；也可用描述法表示為{x|x＝3n,4<x<15，且n∈N}．(3)用列舉法表示為{x＋2，x－2}．(4)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故可用列舉法表示為{(1,2)}，也可用描述法表示為{(x，y)|x＝1，y＝2}．——本課須掌握的兩大問題1．表示集合的要求：(1)根據(jù)要表示的集合元素的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)方法表示集合，一般要符合最簡(jiǎn)原則．(2)一般情況下，元素個(gè)數(shù)無限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元素個(gè)數(shù)無限的集合，也可以表示元素個(gè)數(shù)有限的集合．2．在用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(duì)(點(diǎn))、還是集合或其他形式．(2)元素具有怎樣的屬性．當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時(shí)，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第一章第2課時(shí)A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．用列舉法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}為(C)A．{(1,2)} B．{(2,1)}C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}[解析]解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列舉法表示為{1,2}．2．直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合為(B)A．{0,1} B．{(0,1)}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))))[解析]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))故該集合為{(0,1)}．3．已知x∈N，則方程x2＋x－2＝0的解集為(C)A．{x|x＝2}B．{x|x＝1或x＝－2}C．{x|x＝1}D．{1，－2}[解析]方程x2＋x－2＝0的解為x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．故選C．4．若A＝{－1,3}，則可用列舉法將集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示為(D)A．{(－1,3)}B．{－1,3}C．{(－1,3)，(3，－1)}D．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}[解析]因?yàn)榧蟵(x，y)|x∈A，y∈A}是點(diǎn)集或數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合，其中x，y均屬于集合A，所以用列舉法可表示為{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．5．下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是(B)A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}[解析]因?yàn)閧x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B選項(xiàng)的集合不同于另外三個(gè)集合．6．下列說法：①集合{x∈N|x3＝x}用列舉法可表示為{－1,0,1}；②實(shí)數(shù)集可以表示為{x|x為所有實(shí)數(shù)}或{R}；③方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集為{x＝1，y＝2}．其中說法正確的個(gè)數(shù)為(D)A．3 B．2C．1 D．0[解析]由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因?yàn)椋??N，故集合{x∈N|x3＝x}用列舉法可表示為{0,1}，故①不正確．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全體”等含義，而“R”表示所有的實(shí)數(shù)組成的集合，故實(shí)數(shù)集正確表示應(yīng)為{x|x為實(shí)數(shù)}或R，故②不正確．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解是有序?qū)崝?shù)對(duì)，其解集應(yīng)為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))))))，故③不正確．二、填空題7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列舉法表示A為__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.[解析]∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，∴x＝6－y∈N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝6，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝0.))∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．8．集合{1，eq\r(2)，eq\r(3)，2，eq\r(5)，…}用描述法表示為__{x|x＝eq\r(n)，n∈N*}__.[解析]注意到集合中的元素的特征為eq\r(n)，且n∈N*，所以用描述法可表示為{x|x＝eq\r(n)，n∈N*}．9．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__a≤－2__.[解析]因?yàn)??A，則應(yīng)有2×1＋a≤0，所以a≤－2.三、解答題10．用列舉法表示下列集合：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,2－x)∈Z，x∈Z))))；(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．[解析](1)因?yàn)閑q\f(6,2－x)∈Z，所以|2－x|是6的因數(shù)，則|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.所以原集合可用列舉法表示為{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．(2)因?yàn)閤∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，其對(duì)應(yīng)的y的值分別為3,6,9,12.所以原集合可用列舉法表示為{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．11．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}；(2){eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)}；(3)被5除余1的正整數(shù)集合；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)的集合；(5)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))的解組成的集合．[解析](1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．(2){x|x＝eq\f(n,n＋2)，n∈N*，n≤5}．(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．(4){(x，y)|xy<0}．(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))))))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0)))))).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,x＋2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝－1} B．{1}C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}[解析]方程組的解集中元素應(yīng)是有序數(shù)對(duì)形式，排除A，B，而D的集合表示方法有誤，排除D．2．用列舉法可將集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為(D)A．{1,2}B．{(1,2)}C．{(1,1)，(2,2)}D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析]x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故選D．3．(多選題)大于4的所有奇數(shù)構(gòu)成的集合可用描述法表示為(BD)A．{x|x＝2k－1，k∈N}B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}C．{x|x＝2k＋3，k∈N}D．{x|x＝2k＋5，k∈N}[解析]選項(xiàng)A，C中，集合內(nèi)的最小奇數(shù)不大于4.4．(多選題)下列各組中M，P表示不同集合的是(ABD)A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}[解析]選項(xiàng)A中，M是由3，－1兩個(gè)元素構(gòu)成的集合，而集合P是由點(diǎn)(3，－1)構(gòu)成的集合；選項(xiàng)B中，(3,1)與(1,3)表示不同的點(diǎn)，故M≠P；選項(xiàng)D中，M是二次函數(shù)y＝x2－1，x∈R的所有因變量組成的集合，而集合P是二次函數(shù)y＝x2－1，x∈R圖象上所有點(diǎn)組成的集合．故選ABD．二、填空題5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值是__0或1__.[解析]集合A中只有一個(gè)元素，有兩種情況：當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ＝0，解得a＝1，此時(shí)A＝{－1}，滿足題意；當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－eq\f(1,2)，此時(shí)A＝{－eq\f(1,2)}，滿足題意．故集合A中只有一個(gè)元素時(shí)，a的值是0或1.6．用列舉法寫出集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,3－x)∈Z))x∈Z))＝__{－3，－1,1,3