2安培環(huán)路定理

8.3安培環(huán)路定理一、安培環(huán)路定理靜電場理論中，有“靜電場的環(huán)路定理”：對于穩(wěn)恒磁場，相應(yīng)的“穩(wěn)恒磁場的環(huán)路定理”?

——考慮到磁力線總是閉合曲線的特點，上式顯然不會是0。等于穿過以閉合環(huán)路為邊界的所圍曲面的所有電流的代數(shù)和乘以1.安培環(huán)路定理表述在真空中的穩(wěn)恒磁場中，磁感強度沿任一閉合環(huán)路的線積分一.安培環(huán)路定理公式表示證明（略）以長直電流為例進行驗證

閉合回路在垂直直電流的平面內(nèi)，且包圍電流做一垂直直電流的平面，垂足為o在該平面上做一包圍電流的任意形狀的閉合曲線L在曲線上任取一點P，距o點距離為r在曲線上點P附近取一有向線元線元對點所張平面角為PldvrLPrLldv設(shè)P點磁感應(yīng)強度為PrLldv

閉合回路在垂直直電流的平面內(nèi)且不包圍電流●在閉合曲線上任取一線元線元對o點平面角為此平面角必在閉合曲線上截得另一線元線元對o點所張平面角也為在垂直直電流的平面，做一不包圍電流的任意形狀的閉合曲線L，●設(shè)與夾角為長直電流在線元和處的磁感應(yīng)強度分別為，設(shè)與夾角為●●L1L2在垂直長直電流平面內(nèi)，任取一閉合回路（閉合回路包圍電流）（閉合回路不包圍電流）如果閉合回路不在垂直長直電流平面內(nèi)，情況又如何？表明：沿閉合環(huán)路的線積分，等于穿過以閉合環(huán)路為邊界的所圍曲面的所有電流的代數(shù)和乘以如圖，閉合曲線L不在垂直直電流的平面內(nèi)沿平行電流方向和垂直電流方向分解此線積分為磁感應(yīng)強度沿閉合曲線L在垂直直電流的平面內(nèi)的投影曲線的線積分在曲線上任取一線元討論

等式右邊只是閉合回路所圍電流，閉合回路外的電流對環(huán)流無貢獻等式左邊是空間所有電流產(chǎn)生的合磁感應(yīng)強度，

是代數(shù)和，有正負正負：選定閉合回路繞行方向，如果所包圍電流的正方向與閉合回路的繞行方向構(gòu)成右手螺旋，則電流為正，反之為負I1I2LI1I2I3LI3=0<0IL

說明穩(wěn)恒磁場不是保守場穩(wěn)恒電流（閉合回路）產(chǎn)生的磁場。3）適用范圍：>0——磁場是“有旋場”例：如圖，流出紙面的電流為2I，流進紙面的電流為I，則下述各式中那一個是正確的?(B)(A)[D](C)(D)8.4利用安培環(huán)路定理求磁場的分布對于某些電流分布具有對稱性的問題，可以通過取合適的環(huán)路L利用磁場的環(huán)路定理比較方便地求解場量。(具體實施，類似于電場強度的高斯定理的解題。)電流對稱性磁場對稱性選取合適回路安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強度例無限長圓柱面電流的磁場半徑為R的無限長導(dǎo)體圓柱面，沿軸向通以均勻的面電流，電流強度為I。求電流所產(chǎn)生磁場的磁感應(yīng)強度分布解：在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)，以軸線上點為圓心做一圓周，在圓周上任取兩點P、Q，●●圓柱面上電流分布對點P、Q是相同的所以兩點的磁感應(yīng)強度的大小相等圓柱面上電流分布具有軸對稱性在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)，以軸線上點為圓心的圓周上，任意點的磁感應(yīng)強度的大小相等考察點P的磁感應(yīng)強度的方向在圓柱面上任取一平行軸線，寬為的窄條●當(dāng)取得很小時，窄條可視為長直電流它在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為○●●●○●●●圓柱面上電流分布具有軸對稱性在圓柱面上關(guān)于OP

對稱的位置處，總能找到與大小相同的窄條在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為由圖不難看出合磁感應(yīng)強度的方向沿圓周的切線，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)，以軸線上點為圓心的圓周上，任意點的磁感應(yīng)強度的大小相等方向沿圓周的切線，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋選取在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)以軸線上點為圓心的圓周為閉合回路L設(shè)圓周半徑為r，選取回路的繞行方向如圖●根據(jù)安培環(huán)路定理●●思考題？求無限長載流圓柱體內(nèi)外的磁場。求通電螺繞環(huán)的磁場分布。已知環(huán)管軸線的半徑為R，環(huán)上均勻密繞N匝線圈，

設(shè)通有電流I。解：由于電流對稱分布，與環(huán)共圓心的圓周上，各點B大小相等，方向沿圓周切線方向。取以o為中心，半徑為r的圓周為L當(dāng)R1<r<R2IR...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or例當(dāng)R1<r<R2若r<R1若r>R2IR當(dāng)R管截面<<R即r

R...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or解：例無限大載流平面兩側(cè)的磁場分布已知電流線密度做一平行載流平面的平面在平面上任取兩點P、Q，考察平面上任意點P的磁感應(yīng)強度的方向電流分布具有面對稱性●●載流平面上電流分布對點P、Q是相同的所以兩點的磁感應(yīng)強度的大小相等過P點做載流平面的垂線，垂足為O當(dāng)取得很小時，窄條可視為長直電流它在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為電流分布具有面對稱性●在平面上任取一平行電流方向，寬為的窄條在載流平面上關(guān)于OP

對稱的位置處，總能找到與大小相同的窄條看下圖●●●●●●●●●●●●●●●在平面上關(guān)于OP

對稱的位置處，總能找到與大小相同的窄條在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為由圖不難看出合磁感應(yīng)強度的方向平行載流平面，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋選取一矩形閉合回路abcd，矩形回路所在平面垂直載流平面平行載流平面的平面上任意點的磁感應(yīng)強度的大小都相等，其方向平行載流平面，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋ab，cd

垂直載流平面bc，ad平行載流平面選取回路的繞行方向如圖abcd●●●●●●●●●●●●●●●選取回路的繞行方向如圖●●●●●●●●●●●●●abcd段段●●●●●●●●●●●●●abcd根據(jù)安培環(huán)路定理已知電流線密度無限大載流平面兩側(cè)的磁場為勻強磁場方向例計算無限長均勻密繞螺線管的磁場分布（通電流為I）。由對稱性分析：解：螺線管內(nèi)外的磁感應(yīng)線必為沿x方向的一系列平行直線。且同一條磁感應(yīng)線上的磁場處處相等。對管內(nèi)的場點P：——螺線管內(nèi)為勻強磁場?？勺骶匦蔚拈]合回路。ab由畢奧-薩伐爾定律可求得：其中：n為單位長度的導(dǎo)線匝數(shù)（匝密度）對管外的場點Q：亦可作矩形回路。cab（螺線管內(nèi)）（螺線管外）管內(nèi)：可證：對于任意形狀橫截面的無限長直螺線管，此式都適用。作業(yè)：8.138.148.178.19I0：被回路L包圍（與L套連）的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和。安培環(huán)路定理條件：——適用于穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場L對曲面S1：對曲面S2：8.5與變化電場相聯(lián)系的磁場（穩(wěn)恒磁場）電流必須是閉合、穩(wěn)恒不變的。以電容器的充電過程為例。在非穩(wěn)恒電流情況下的困難一、——電流是不連續(xù)的，上述安培環(huán)路定理無法適用。對曲面S1對曲面S2L非穩(wěn)恒情況下代替安培環(huán)路定理的普遍規(guī)律是什么呢在非穩(wěn)恒情況下L根據(jù)電荷守恒定律是積累在閉合曲面S內(nèi)的自由電荷（就是分布在電容器極板表面的電荷）另一方面，按電場高斯定理有在非穩(wěn)恒情況下LL也就是說：只要邊界L相同，它在不同的曲面S1和

S2上的面積分相等L但是永遠是連續(xù)的，這就是說，在非穩(wěn)恒情況下雖然傳導(dǎo)電流是不連續(xù)L因此認為變化的電場等效地也是一種“電流”

——稱作位移電流麥克斯韋分析了上述情況后指出：對于非穩(wěn)恒電路，在傳導(dǎo)電流中斷處必然發(fā)生電荷分布的改變，從而引起電場變化這變化的電場像傳導(dǎo)電流一樣能產(chǎn)生磁場L一.位移電流假說

麥克斯韋把稱作位移電流密度，記作麥克斯韋認為變化的電場等效地也是一種“電流”

——稱作位移電流電場中某一點的位移電流密度等于該點電場強度對時間的變化率的倍若有電介質(zhì)代表通過某曲面的電通量通過某個面積的位移電流就是通過該面積的電通量對時間的變化率的倍通過任意曲面S

的位移電流記作若有電介質(zhì)有了位移電流的假設(shè)上式可以寫為傳導(dǎo)電流和位移電流之和回到電容器充放電的問題L或者穿過以同一曲線L為邊界的不同曲面S1和

S2

的傳導(dǎo)電流和位移電流之和是相等的。表明：穿過以同一曲線L為邊界的不同曲面的

傳導(dǎo)電流和位移電流之和是連續(xù)的。全電流L也就是說穿過以同一曲線L為邊界的不同曲面的全電流是相同的表明：全電流在任何情況下都是連續(xù)的二.全電流定律麥克斯韋把傳導(dǎo)電流與位移電流代數(shù)和稱作全電流全電流現(xiàn)在回到如何將安培環(huán)路定理推廣到非穩(wěn)恒情況的問題由于全電流具有連續(xù)性，所以很自然地可以想到，在非穩(wěn)恒情況下應(yīng)該用它來代替式右端的傳導(dǎo)電流麥克斯韋假設(shè)：在非穩(wěn)恒情況下，安培環(huán)路定理為或一般地，磁感應(yīng)強度沿閉合回路L的線積分等于穿過以曲線L為邊界的任意曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的代數(shù)和——全電流定律傳導(dǎo)電流位移電流全電流定律討論

位移電流、全電流定律是作為假設(shè)提出來的它解決了安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒情況下失效問題只有傳導(dǎo)電流只有位移電流L雖然傳導(dǎo)電流是不連續(xù)的，但全電流連續(xù)這樣在電容器充放電過程中，在電容器極板表面上中斷了的傳導(dǎo)電流，被極板間隙中的位移電流接替下去，二者合在一起保持連續(xù)性L

如果，這時全電流定律為表示變化的電場產(chǎn)生磁場——電場的時間變化率的方向與其所激發(fā)的磁場之間滿足右手螺旋關(guān)系位移電流的磁場仍應(yīng)滿足磁場的高斯定理：LSLS

傳導(dǎo)電流和位移電流1）傳導(dǎo)電流載流子定向運動2）位移電流電場的變化

其它方面均表現(xiàn)出不同位移電流不伴有電荷的任何運動所以談不上產(chǎn)生焦耳熱二者區(qū)別與聯(lián)系：

僅僅是產(chǎn)生磁場這一效果相同而已例一圓形平行板電容器，兩極板的半徑為R=0.2m。設(shè)其正在充電I0=10A，忽略邊緣效應(yīng)。求：兩極板間距軸線r=0.1m處和r=0.3m處的磁感應(yīng)強度。解：平行板之間的電場：E=/磁力線與dE/dt

成右手螺旋關(guān)系在極板間取半徑為r的同心圓環(huán)為積分回路r<R時：RRr>R

時：r<R時：例加平行板電容器板上的電壓變化率1.0106V，電容器內(nèi)產(chǎn)生1.0A的位移電流，求電容器的電容。解：兩板的距離位移電流電容器的電容8.6兩平行電流間的相互作用力12d考慮電流1在電流2處產(chǎn)生磁場電流

I2

的單位長度導(dǎo)線受力同理電流

I1

的單位長度導(dǎo)線受力電流2在電流1處產(chǎn)生磁場電流單位“A”的定義：令：I1=I2=I在國際單位制