專題3.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)【八大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題3.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓中x、y的取值范圍】 1【題型2根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值】 3【題型3橢圓的對稱性的應(yīng)用】 6【題型4利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】 9【題型5橢圓的焦距與長軸、短軸】 10【題型6求橢圓的離心率或其取值范圍】 12【題型7根據(jù)橢圓的離心率求參數(shù)】 15【題型8橢圓的實際應(yīng)用問題】 16【知識點1橢圓的范圍】1．橢圓的范圍設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍.(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.【題型1橢圓中x、y的取值范圍】【例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是-3,3．【解題思路】先把橢圓方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)橢圓的范圍求解.【解答過程】因為點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，即在橢圓x2所以點(m,n)滿足橢圓的范圍x≤因此m≤3，即故答案為：-3【變式1-1】（2022·高二課時練習(xí)）設(shè)集合A={x|x24+3y24=1}，B＝{A．[－2，2] B．[0，2]C．[0，＋∞） D．{（－1，1），（1，1）}【解題思路】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定集合A，由二次函數(shù)性質(zhì)確定集合A，然后由交集定義計算．【解答過程】A={B={所以A∩故選：B．【變式1-2】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）下列關(guān)于曲線Γ:x2A．曲線Γ是橢圓 B．y的取值范圍是[-3,3]C．關(guān)于直線y=x對稱 D．曲線?！窘忸}思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A；易得y4≤1，即可判斷B；舉出反例即可判斷C；求出曲線Γ【解答過程】解：因為曲線Γ:所以曲線Γ不是橢圓，故A正確；因為曲線Γ:所以y4≤1，所以y∈曲線Γ:x29+若曲線Γ:x2則點0,3也在曲線Γ:又09+9=9≠1，所以點0,3不在曲線所以曲線Γ:x29+對于D，曲線Γ:x2則以±3,0,0,±1四點為頂點的四邊形的面積為所以曲線Γ所圍成的封閉圖形面積大于6，故D正確.故選：D.【變式1-3】（2022·高二課時練習(xí)）討論下列橢圓的范圍，并描點畫出圖形．(1)x(2)4x【解題思路】（1）由x24+y2（2）化為標(biāo)準(zhǔn)式可得范圍，描點可作圖．【解答過程】（1）由x24+y2（2）由4x2+y2=1得【題型2根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值】【例2】（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓x24+y2=1經(jīng)過點A．0,1 B．0,4 C．4,+∞ D．1,4【解題思路】將點Pm,n代入x24【解答過程】因為橢圓x24+y2=1經(jīng)過點則m2因為橢圓x24+y2=1經(jīng)過點故m2+n故選：D．【變式2-1】（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>A．322b B．2b C．【解題思路】設(shè)M(x0,y0【解答過程】由橢圓C的離心率e=63，可得a設(shè)M(x0,y又由點B0,-可得MB2因為-b≤y0≤故選：A.【變式2-2】（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）已知橢圓x216+y212=1的左頂點為A，右焦點為FA．-16,0 B．C．0,8 D．0,16【解題思路】解法一：由題意可得，A-4,0，F(xiàn)2,0，設(shè)Mx0,y0.表示出MA?MF=14x【解答過程】解法一：由題意知A-4,0，F(xiàn)2,0則MA?MF=-4-x0因為x0216+y所以0≤MA?解法二：由題意知A-4,0，設(shè)Mx0,y0，取線段AF的中點N則MA?MF=MA+MF2-MA因為x0216+y所以0≤MA故選：D．【變式2-3】（2022秋·高二課時練習(xí)）已知點P(x,y)是橢圓x【解題思路】根據(jù)題意可知y2=12-3x24【解答過程】解：因為點P(x,所以y2又|PA|=(所以|PA|=(設(shè)f(x)=則f(所以函數(shù)fx在區(qū)間[-4,4]所以f(x)所以14所以函數(shù)點P到點A(3,0)的距離的取值范圍[1,7]【知識點2橢圓的對稱性】1．橢圓的對稱性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當(dāng)點P(x,y)在橢圓上時，它關(guān)于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點對稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.【題型3橢圓的對稱性的應(yīng)用】【例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）若點3,2在橢圓x2a2A．點-3,-2不在橢圓上 B．點3,-2C．點-3,2在橢圓上 D【解題思路】根據(jù)橢圓的對稱性可判斷.【解答過程】點-3,-2與點3,2點3,-2與3,2關(guān)于x軸對稱，點-3,2與3,2關(guān)于y若點3,2在橢圓x2a2+y2b故選：C.【變式3-1】（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x225+y29=1的左?右焦點分別為FA．2個 B．4個 C．6個 D．8個【解題思路】根據(jù)橢圓的對稱性及cos∠F【解答過程】當(dāng)F1為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點P有2當(dāng)F2為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點P有2設(shè)橢圓C的上頂點為B，由橢圓C:x225+y29=1，可得a則BF1=所以cos∠F1所以存在4個點滿足以P為直角頂點的△P故滿足本題條件的點P共有8個.故選：D.【變式3-2】（2023·高二課時練習(xí)）若點4,3在橢圓x2a2A．點4,-3不在橢圓上 B．點3,4在橢圓上C．點-4,-3不在橢圓上 D．點-【解題思路】根據(jù)橢圓的對稱性判斷即可.【解答過程】解：因為點4,3在橢圓x2a2根據(jù)對稱性可得點4,-3，-4,-3，-4,3均在橢圓上，故A、C錯誤，因為16a所以9a2+故選：D.【變式3-3】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓x236+y29=1與x軸交于點A，B，把線段AB分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P1，P2，P3，P4A．20 B．153 C．36 D．【解題思路】由題意知P1與P5，P2與P4分別關(guān)于y軸對稱，設(shè)橢圓的左焦點為F1，從而|【解答過程】由題意，知P1與P5，P2與P設(shè)橢圓的左焦點為F1，由已知a則|P1F∴|P故選：D．【知識點3橢圓的頂點、長短軸與離心率】1．橢圓的頂點與長軸、短軸以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)為例.

(1)頂點

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.(2)長軸、短軸線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.2．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.【題型4利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】【例4】（2023春·四川瀘州·高二?？计谀┮阎獧E圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為13，長軸長為12，則橢圓方程為（

A．x24+C．x236+y2【解題思路】根據(jù)長軸長以及離心率，可求出a=6，c=2，再由b【解答過程】由題意知，2a=12，ca=1∴b2又因為橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，則焦點可能在x或y軸上.∴橢圓方程：x236故選：C.【變式4-1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二?？计谀┻^點3,2且與橢圓3x2+8A．x25+y210=1 B．【解題思路】根據(jù)橢圓3x2+8y2=24化為標(biāo)準(zhǔn)方程x【解答過程】由3x2+8焦點為(±5,0)在同時又過3,2點，設(shè)x2有9a2+故選：C.【變式4-2】（2023秋·高二課時練習(xí)）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A．x281+C．x272+【解題思路】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可知a=9,c【解答過程】根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程為x2易知2a=18，且2c所以a2=81,b故選：A.【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1,F2A．x216+y24=1 B．

x2【解題思路】由橢圓的定義知△AF2B的周長為4a，結(jié)合已知條件求出a，再由離心率求出【解答過程】依題意△AF2e=則C的方程為x2故選:D.【題型5橢圓的焦距與長軸、短軸】【例5】（2023春·上海長寧·高二?？计谥校E圓x212+y2A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同【解題思路】由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求解即可.【解答過程】對于橢圓x2a12=12，b12=4，c12∴長軸長2a1=43，短軸長對于橢圓x2a22=16，b22=8，c22∴長軸長2a2=8，短軸長2∴橢圓x212+y故選：C.【變式5-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知橢圓x23m+y2m=1A．1 B．2 C．2 D．4【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合a2-【解答過程】由條件可知，a2=3m，b所以a2-b故選：C.【變式5-2】（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:x2m+3+y2m-1=1的左?右焦點分別是A．22 B．4 C．42 D【解題思路】根據(jù)題意得到PF12+PF22【解答過程】由橢圓C:x2因為P是橢圓C短軸的一個端點，且∠F可得PF12可得a2=2b2，即所以a=22，故橢圓C的長軸長是故選：C.【變式5-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎狿是橢圓C:y24+x2A．橢圓C的短軸長為23 B．F1C．橢圓C的離心率為12 D．存在點P，使得【解題思路】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)b,c的大小關(guān)系可判斷D【解答過程】橢圓的焦點在y軸上，a=2,b=3,F1,F2的坐標(biāo)為0,±1，B錯誤；離心率為因為b>c，故以原點為圓心，故不存在點P，使得∠F1P故選：AC.【題型6求橢圓的離心率或其取值范圍】【例6】（2023春·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1A．33 B．23 C．63【解題思路】根據(jù)中點關(guān)系可得PF2【解答過程】由于線段PF1的中點M在y軸上,O是F1F1F2=2c由橢圓定義可得23故選：A.【變式6-1】（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x2a2+yA．0,12 B．0,13 C．1【解題思路】根據(jù)題意可得以F2為圓心，以|PF2【解答過程】由題意橢圓C上存在點P，使線段PF1的垂直平分線過點則|P且需滿足以F2為圓心，以|

即2c≥a-c故橢圓離心率的取值范圍是13故選：C.【變式6-2】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F，過坐標(biāo)原點O的直線l與橢圓C交于P,Q兩點，點PA．34 B．22 C．33【解題思路】設(shè)橢圓C的左焦點為F'，由橢圓的定義結(jié)合題意可得出PF【解答過程】如圖，設(shè)橢圓C的左焦點為F'，連接PF'設(shè)PF=m，則因為PF=23又因為QF=2FA，所以2a在△PFF'由余弦定理得FF所以4c2=故選：B.【變式6-3】（2023春·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為FA．0,22 BC．23,2【解題思路】設(shè)橢圓的左焦點為F'，連接AF'，BF'，利用橢圓對稱性結(jié)合FA?FB=0，推出AB=FF'=2c【解答過程】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點為F'，連接AF'由橢圓的對稱性可知，四邊形AFBF'為平行四邊形，又FA?FB=0所以四邊形AFBF'為矩形，所以設(shè)AF'=n，AF=m，在Rt△可得mn=2所以mn+nm=又FB≤FA≤2FB，得mn結(jié)合c2=a2-b2即橢圓C的離心率的取值范圍為22故選：B．【題型7根據(jù)橢圓的離心率求參數(shù)】【例7】（2023秋·浙江杭州·高二期末）已知焦點在y軸上的橢圓x25+y2m=1的A．54 B．154 C．203 D．【解題思路】根據(jù)焦點在y軸上的橢圓方程的特征，結(jié)合橢圓離心率公式進行求解即可.【解答過程】因為焦點在y軸上，故m>5，該橢圓的離心率是1所以m-5m故選：C.【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)e是橢圓x24+y2k=1A．(0,3) B．3,163 C．(0,3)∪16【解題思路】分類討論，k>4，0<k<4，用k表示出離心率e【解答過程】當(dāng)k>4時，c2=k-當(dāng)0<k<4時，c2=4-k，由條件知1故選：C．【變式7-2】（2023秋·高二單元測試）設(shè)橢圓C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 D【解題思路】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【解答過程】由e2=3e1，得e22故選：A.【變式7-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為1的直線l過左焦點F1，交CA．24,22 B．1,2 C．【解題思路】由題可求得S△ABF2=【解答過程】解：設(shè)△ABF2的內(nèi)切圓的圓心為E，半徑為r，則π∵=1又S=1∴2c2∵e=ca∈即線段AB的長度的取值范圍是4,8，故選：C.【題型8橢圓的實際應(yīng)用問題】【例8】（2023·高二課時練習(xí)）2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平面機動，同時將近火點高度調(diào)整至約265km．若此時遠火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調(diào)整后天問一號的運行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的焦距約為（

）A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km【解題思路】由題意可知a-c=3660，a【解答過程】設(shè)橢圓的方程為x2a2由橢圓的性質(zhì)可知橢圓上的點到焦點距離的最小值為a-c，最大值為根據(jù)題意可得近火點滿足a-c遠火點滿足a+c由②-①得故選：A.【變式8-1】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段AB，且AB過橢圓的下焦點，AB=44米，橋塔最高點P距橋面110米，則此橢圓的離心率為（

A．13 B．25 C．23【解題思路】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為y2a2+【解答過程】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為y2令y=-c，即-c2a所以