第二章定解問(wèn)題

第二章定解問(wèn)題主要內(nèi)容：

1、掌握用數(shù)理方程描繪研究物理問(wèn)題的一般步驟。

2、掌握三類典型數(shù)理方程的推導(dǎo)過(guò)程和建立（導(dǎo)出）數(shù)理方程的一般方法，步驟。

3、正確寫(xiě)出一些典型物理問(wèn)題的定解問(wèn)題和定解條件。

§2.1

引言一、數(shù)學(xué)物理方程簡(jiǎn)介：

數(shù)學(xué)物理方程是指從物理問(wèn)題中導(dǎo)出的反映客觀物理量在各個(gè)空間、時(shí)刻之間相互制約關(guān)系的一些偏微分方程。方程可以分為線性和非線性方程。偏微分方程的基本概念：注意：（1）方程的階數(shù)（2）線性和非線性例如：（3）齊次和非齊次齊次：以上這三類方程，從方程本身來(lái)看，其特點(diǎn)是二階線性偏微分方程。可以看出，方程中它們都是關(guān)于空間的二階偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于時(shí)間分別是二階，一階偏導(dǎo)數(shù)和與時(shí)間無(wú)關(guān)。因此，這三類方程在數(shù)學(xué)上又是三類不同的方程，依次分別可以稱為雙曲型、拋物型和橢圓型方程。發(fā)展史:(1)十八世紀(jì)初：Taylor:

(2)十九世紀(jì)中期，三類數(shù)理方程：波動(dòng)方程

輸運(yùn)方程（熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散）穩(wěn)定場(chǎng)方程（勢(shì)場(chǎng)分布、平衡溫度場(chǎng)分布）（3）十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，其他方程：高階方程：非線性方程：淺水溝等離子體薛定諤方程：二、數(shù)學(xué)物理方程的一般性問(wèn)題:（利用數(shù)理方程求解問(wèn)題的一般步驟）（1）確定定解問(wèn)題。泛定方程+定解條件=定解問(wèn)題（2）定解問(wèn)題的求解:行波法；分離變量法；積分變換法；格林函數(shù)法；保角變換法。（3）解的適定性。適定性：即存在性、唯一性和穩(wěn)定性。

§2.2三類數(shù)理方程的導(dǎo)出一、弦的橫振動(dòng)方程（波動(dòng)方程的建立）1、物理模型：設(shè)有一根細(xì)長(zhǎng)柔軟的弦線，繃緊于A，B兩點(diǎn)之間，在平衡位置AB附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動(dòng)，求這弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。2、分析：（1）確定研究對(duì)象：設(shè)u(x,t)為弦位移，則u滿足規(guī)律所求。為了研究u，在x位置處取x小段弦為研究對(duì)象。（2）物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象：1）由于弦是“細(xì)長(zhǎng)”的，所以忽略重力2）由于弦“繃緊”于AB兩點(diǎn)，這說(shuō)明弦中各相鄰部分之間有拉力即“張力”作用；由于弦是“柔軟”的，所以相鄰小段張力總是弦線的切線方向；3）由于弦作“微小”的橫向振動(dòng)，故相鄰點(diǎn)沿振動(dòng)方向位移的差別很小，即無(wú)窮小量有了以上對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，下邊我們來(lái)具體推導(dǎo)方程3、研究建立方程：（1）任意段x受力：x軸方向:

Y軸方向：F為單位長(zhǎng)度所受的外力對(duì)x受力分析，由牛頓第二定律得注意到在振動(dòng)過(guò)程中即這一小段的長(zhǎng)度在振動(dòng)過(guò)程中可以看作是不變的。因此，由胡克(Hooke)定律知張力和線度都不隨t而變，即注意到得：對(duì)上式兩邊取x0時(shí)的極限即：弦的微小橫振動(dòng)方程是一維的波動(dòng)方程整理得其中：表示振動(dòng)在弦上的傳播速度表示力密度，表示時(shí)刻t，作用于x處的單位質(zhì)量上的橫向外力。若稱為弦的自由振動(dòng)，振動(dòng)過(guò)程中不受外力。齊次波動(dòng)方程事實(shí)上，除了以上一維波動(dòng)方程，像薄膜振動(dòng)（二維），電磁場(chǎng)方程（三維）等，均屬于波動(dòng)方程：三維拉普拉斯算符補(bǔ)例：電磁場(chǎng)方程（三維波動(dòng)方程）已知：電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程組的微分形式是求解：電磁場(chǎng)所滿足的三維波動(dòng)方程。由（4）式，并注意本構(gòu)關(guān)系1、3：由（2）式，并注意本構(gòu)關(guān)系2：又由矢量公式得H所滿足的方程為：同理得E所滿足的方程為：如果介質(zhì)不導(dǎo)電電磁場(chǎng)所滿足的三維波動(dòng)方程二、熱傳導(dǎo)方程1.定解問(wèn)題：設(shè)有一根橫截面積為的均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)方向有溫度差，其側(cè)面絕熱，求桿中溫度的分布變化規(guī)律？不妨取x軸與桿重合，根據(jù)問(wèn)題的物理敘述，利用熱傳導(dǎo)的相關(guān)定律，可以做以下的數(shù)學(xué)表述：因?yàn)闊崃恐粫?huì)沿著桿長(zhǎng)方向傳導(dǎo)，所以，這是一個(gè)一維問(wèn)題?？梢杂胾(x,t)表示桿上x(chóng)點(diǎn)處在t時(shí)刻的溫度。相關(guān)定義：Q—熱量；T—溫度；t—時(shí)間；V—體積；S—面積；ρ—密度。（1）比熱容（單位物質(zhì)升高單位溫度所需熱量）（2）熱流強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)單位面積的熱量）（3）熱源強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)單位體積源放出的熱量）（k為熱導(dǎo)率，與介質(zhì)材料有關(guān)）3、建立方程：（1）在t時(shí)間內(nèi)引起小段x的溫度升高時(shí)，所需熱量為?。?）在t時(shí)間內(nèi)沿x軸正向流入x處截面的熱量為（3）在t時(shí)間內(nèi)沿x軸由x+x處正向流出截面的熱量為（4）在t內(nèi)，桿內(nèi)熱源在x段產(chǎn)生的熱量為根據(jù)能量守恒定律令，取極限一維的熱傳導(dǎo)方程，類似可得三維擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)方程：三、穩(wěn)定場(chǎng)方程（泊松公式）1、定解問(wèn)題：在充滿介電常數(shù)ε的介質(zhì)區(qū)域中，有體密度為ρ(x,y,z)的電荷分布，試研究這個(gè)區(qū)域中的靜電場(chǎng)的分布特性。2、分析：因?yàn)殪o電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，勢(shì)函數(shù)V滿足所以，研究電場(chǎng)分布特性只需確定勢(shì)函數(shù)的規(guī)律即可。所以，確定研究對(duì)象為V(x,y,z)已知：穩(wěn)定場(chǎng)不隨時(shí)間變化，3、建立方程：在研究的區(qū)域中，任作一封閉曲面S，其所包圍的空間區(qū)域?yàn)棣樱瑒t由介質(zhì)中靜電場(chǎng)中的高斯定理，得把面積分化為體積分：因此由E/V關(guān)系和矢量場(chǎng)運(yùn)算得這就是介質(zhì)中的靜電場(chǎng)滿足的泊松方程。4、幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）如果我們所討論的區(qū)域中無(wú)電荷，得拉普拉斯方程：（2）穩(wěn)定的濃度分布和溫度場(chǎng)方程：可由建立數(shù)理方程一般的三個(gè)步驟：（1）對(duì)所研究的問(wèn)題做數(shù)學(xué)抽象表述，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，即微元作為研究對(duì)象，分析相鄰部分與這一小微元的相互作用；（2）根據(jù)相關(guān)領(lǐng)域中的物理學(xué)的規(guī)律（如前面所用的牛頓第二定律、能量守恒定律、高斯定律等），以數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)微元的這種作用關(guān)系；（3）化簡(jiǎn)、整理，取相應(yīng)的極限過(guò)程，得到數(shù)學(xué)物理方程。作業(yè)1§2.3定解條件一、引入定解條件的必要性：1、從物理角度看：物理方程僅能表示一般性，要個(gè)性化物體的規(guī)律需要附加條件。2、從數(shù)學(xué)角度看：微分方程的解的任意性需要附加定解條件來(lái)具體化。3、定解條件包括：初始條件和邊界條件。二、初始條件從數(shù)學(xué)角度看，對(duì)于一個(gè)含有時(shí)間變量的微分方程，其未知函數(shù)將隨時(shí)間的不同而不同。所以必須考慮到研究對(duì)象的某個(gè)所謂“初始”時(shí)刻的狀態(tài)，我們把這個(gè)物理過(guò)程的初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為初始條件。

例如：波動(dòng)方程的初始條件：給出弦上各點(diǎn)在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)刻的初始位移：給出弦上各點(diǎn)的初始速度：2、注意：（1）初始條件應(yīng)該給出整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)：例如：兩端固定的弦振動(dòng)，初始條件為：

（2）如果泛定方程是關(guān)于時(shí)間變量t的n階(n=1,2…)方程，就必須給出n個(gè)初始條件，只有這樣才可能給出具體問(wèn)題的定解。例長(zhǎng)為l的細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題，設(shè)其初始溫度均勻，記為u0，試寫(xiě)出該過(guò)程的初始條件。解：由題意，得三、邊界條件1、定義：由于泛定方程中的未知函數(shù)均是空間位置的函數(shù)，必須考慮研究對(duì)象所處的特定環(huán)境和邊界的物理狀況。這是因?yàn)樗芯康奈锢砹吭谀骋晃恢门c其相鄰位置的取值之間的關(guān)系，將會(huì)延伸到被研究的區(qū)域的邊界，與邊界狀況發(fā)生聯(lián)系。我們稱這個(gè)物理過(guò)程的邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式為邊界條件。

2、三類邊界條件：（1）第一類邊界條件：又稱狄利克萊（利，Dirichlet）條件，它直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值，即

例：長(zhǎng)為l兩端固定的弦的橫振動(dòng)問(wèn)題：一維桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，已知：（2）第二類邊界條件：又稱為偌依曼（Neumann）條件，它給出了未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)的值例:長(zhǎng)為l的細(xì)桿的縱振動(dòng)問(wèn)題。若x=l端受有外力，單位面積所受的力為F(t)，另一端固定在墻