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一階線性微分方程第六節(jié)(3)(4)一、一階線性微分方程二、齊次微分方程第三章三、伯努利方程四、其它可用變量代換法方程第1頁一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次;第2頁對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程通解即即作變換兩端積分得第3頁例1求方程通解。解

第4頁例2.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令第5頁例3

求方程通解。分析：解求滿足初值條件特解！第6頁二、齊次微分方程形如方程叫做齊次微分方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程通解.解法:分離變量:第7頁例3.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程通解為(當C=0時,

y=0也是方程解)(C為任意常數(shù))此處第8頁例4.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:顯然

x=0,y=0,y=x也是原方程解,但在(C為任意常數(shù))求解過程中丟失了.第9頁例5

求解微分方程解微分方程解為第10頁三、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程通解.解法:(線性方程)伯努利第11頁例6.求方程通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:第12頁四、其它可用變量代換法方程

例7.求方程通解.例8.求解初值問題第13頁內容小結1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程第14頁3.注意用變量代換將方程化為已知類型方程比如,解方程法1.取y作自變量:

線性方程法2.作變換則代入原方程得可分離變量方程第15頁思索與練習判別以下方程類型:提醒:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程第16頁2.

求方程通解.解:注意x,y同號,由一階線性方程通解公式,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量y為自變量一階線性方程第17頁備用題1.求一連續(xù)可導函數(shù)使其滿足以下方程:提醒:令則有線性方程利用公式可求出第18頁2.設有微分方程其中試求此方程滿足初始條件連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有第19頁2)再解定解問題此齊次線性方程通解為利用銜接條件得所以有3)原問題解為第20頁(雅各布第一·伯努利)

書中給出伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學家,位數(shù)學家.標和極坐標下曲率半徑公式,1695年版了他巨著《猜度術》,上一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律最早形式.年提出了著名伯努利方程,他家祖

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