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第二節(jié)可分離變量微分方程一、可分離變量微分方程二、經(jīng)典例題第1頁一、可分離變量微分方程形如方程，稱為可分離變量微分方程.分離變量，得：①設(shè)

y=

(x)

是方程①解,則有恒等式：兩邊積分,得即：設(shè)函數(shù)G(y)和F(x)是g(y)和f(x)一個原函數(shù),②則有第2頁當(dāng)

G(y)與F(x)可微且

G'(y)=g(y)

0時,說明由②確定隱函數(shù)y=

(x)是①解.稱②為方程①隱式通解,或通積分.一樣,當(dāng)F'(x)=f(x)

0時,上述過程可逆,由②確定隱函數(shù)x=

(y)也是①解.第3頁一、可分離變量微分方程形如方程，稱為可分離變量微分方程.求解步驟：(變量分離法)1、分離變量,得2、兩邊積分,得3、求出通解隱函數(shù)確定微分方程解微分方程隱式通解第4頁例1求解微分方程解分離變量,得兩端積分,得二、經(jīng)典例題解得第5頁例2求解微分方程解分離變量,得兩端積分,得解得第6頁解分離變量,得兩端積分,得解得第7頁解依據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾改變規(guī)律為然后積分:第8頁解

依據(jù)牛頓第二定律,得初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解例設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,求降落傘下落速度與時間函數(shù)關(guān)系.

t

足夠大時第9頁解分離變量,解得然后積分:第10頁可分離變量微分方程初值問題:解也可直接用變上限積分來確定：第11頁分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分——隱式通解.三、小結(jié)若是求特解，還需依據(jù)初值條件定常數(shù).第12頁(1)找出事物共性及可貫通于全過程規(guī)律列方程.慣用方法:1)依據(jù)幾何關(guān)系列方程,2)依據(jù)物理規(guī)律列方程,3)依據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程.(2)利用反應(yīng)事物個性特殊狀態(tài)確定初值條件.(3)求通解,并依據(jù)初值條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題方法和步驟第13頁思索與練習(xí)求方程通解:提醒:方程變形為第14頁練習(xí)題第15頁第16頁練習(xí)題答案第17頁例9有高為1m半球形容器,水從它底部小孔流出,小孔橫截面積為1cm2(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面高度h(水面與孔口中心間距離)隨時間t改變規(guī)律.解由力學(xué)知識得,水從孔口流出流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度第18頁設(shè)在微小時間間

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