第二章連續(xù)方程和運動方程

第二章連續(xù)方程和運動方程第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月xyz12例如在某t時刻：1點：t1時刻：t2時刻歐拉法：以流場中每一空間位置作為描述對象，描述這些位置上流體物理參數(shù)對時間的分布規(guī)律第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月歐拉法中的變元是空間坐標(biāo)和時間變量，與拉格朗日法最大的區(qū)別是歐拉法中的定義得到的的函數(shù)都是場函數(shù)，可以廣泛的利用場論的知識在氣象觀測中廣泛使用歐拉法。在世界各地（相當(dāng)于空間點）設(shè)立星羅棋布的氣象站。根據(jù)統(tǒng)一時間各氣象站把同一時間觀測到的氣象要素迅速報到規(guī)定的通訊中心，然后發(fā)至世界各地，繪制成同一時刻的氣象圖，據(jù)此做出天氣預(yù)報。強調(diào)場概念，如重力場中連續(xù)性方程第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

拉格朗日的觀點（Lagrange）在流體運動的空間內(nèi)選擇一固定的流體質(zhì)點（質(zhì)量固定）且追隨質(zhì)點運動，觀察其特性（如位置、體積等隨時間）的變化，來研究整個流動場內(nèi)流體的運動規(guī)律。ABCDt1時刻ABCDt2時刻第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例如在某t時刻：xyz121點：2點：t=t0時流體質(zhì)點的坐標(biāo)是(a,b,c)第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月歐拉法與拉格朗日法區(qū)別：歐拉法：以固定空間為研究對象，了解質(zhì)點在某一位置時的流動狀況，研究場中各點狀態(tài)拉格朗日法：以質(zhì)點為研究對象，研究某一時刻質(zhì)點全部流動過程,研究流體質(zhì)點的運動規(guī)律（運動方程）在流動的流體中有無數(shù)個流體質(zhì)點，要用拉格朗日法描述每個質(zhì)點的運動是很困難甚至不可能，很難實現(xiàn)，在流體力學(xué)中不常采用。一般在稀薄氣體動力學(xué)和數(shù)值計算中用得較多。在流場中，由于辨認(rèn)空間比辨認(rèn)某一個質(zhì)點容易。因此，歐拉法在流體力學(xué)中被廣泛采用。例如：水從管中以怎樣的速度流出，風(fēng)經(jīng)過門窗等等，只要知道一定地點（水龍頭處）一定斷面（門窗洞口斷面），而不需要了解某一質(zhì)點，或某一流體集團的全部流動過程第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質(zhì)點，跟蹤質(zhì)點描述其運動歷程著眼于空間點，研究質(zhì)點流經(jīng)空間各固定點的運動特性是描述液體運動常用的一種方法。第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月二、物理量的時間倒數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)和隨體導(dǎo)數(shù)(真實導(dǎo)數(shù))1.三者定義(以流體密度ρ為例)——密度的全導(dǎo)數(shù)第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2.三者的物理意義第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月隨體導(dǎo)數(shù)的意義局部導(dǎo)數(shù)：在一個固定點（x,y,z)該量ρ隨時間的變化；對流導(dǎo)數(shù)：由于流體質(zhì)點運動，從一個點轉(zhuǎn)移到另一個點時發(fā)生的變化；所以上述方程式表明：流體微元體積上的一個點在dθ時間內(nèi)從進(jìn)入微元體積的空間位置（x,y,z)移動到微元體積的空間位置（x+dx,y+dy,z+dz)時，流體密度ρ隨間的變化率z(x,y,z)xydzdxdy第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)連續(xù)性方程（微分質(zhì)量方程）一、連續(xù)性方程的推導(dǎo)：研究方法：歐拉觀點理論依據(jù)：質(zhì)量守恒定律計算依據(jù)：輸出-輸入+累積=0(*)第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月它適用于穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、理想流體或真實流體、可壓縮或不可壓縮流體，牛頓型或非牛頓型流體。

連續(xù)性方程是研究動量、熱量和質(zhì)量傳遞過程的最基本、最重要的微分方程之一。寫成向量形式：第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種算法符號及意義

謝樹藝，《工程數(shù)學(xué)—矢量分析與場論》哈米爾頓（Hamilton)算子：梯度：散度：拉普拉斯旋度第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)連續(xù)性方程二、連續(xù)性方程的分析和簡化選擇單位質(zhì)量流體研究，其體積為v，按照拉格朗日觀點：式(2-2)與式(2-3)比較得：第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)連續(xù)性方程二、連續(xù)性方程的分析和簡化進(jìn)一步簡化分析：(1)若為穩(wěn)態(tài)流動，則(2)若為不可壓縮流體，則－－速度向量的散度，實際表示流體微元在三個軸向的線性形變速率之和。第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月三、柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系的連續(xù)性方程1.柱坐標(biāo)系的連續(xù)性方程－時間；r

－徑向座標(biāo)；

z－軸向座標(biāo)；θ－方位角；－各方向的速度分量。第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2.球坐標(biāo)系的連續(xù)性方程－時間；r

－徑向座標(biāo)；

－方位角；θ－余緯度；－各方向的速度分量。第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用應(yīng)力表示的運動方程研究方法：拉格朗日觀點理論依據(jù)：動量守恒定律即牛頓第二定律

若質(zhì)量固定，采用隨體導(dǎo)數(shù)表示的牛頓第二定律為：第三節(jié)運動方程－－流體運動的加速度。第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用應(yīng)力表示的運動方程第三節(jié)運動方程將上式寫成x，y，z方向的分量形式：第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用應(yīng)力表示的運動方程1.質(zhì)量力指作用在所考察流體整體上的外力。若在重力場中，質(zhì)量力就是重力，故微元體所受質(zhì)量力在三個方向可表示為：第三節(jié)運動方程第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用應(yīng)力表示的運動方程2.表面力（機械力）作用在微元流體諸表面上的外力，它又可分為法向力和切向力（剪應(yīng)力），記為τ。一個平面上的表面力可以用三個表面應(yīng)力分量表示如：τxx，τxy，τxz第一個下標(biāo)x

表示垂直于x軸的yz平面（即應(yīng)力分量的作用面垂直于x軸）；第二個下標(biāo)x(y,z)表示應(yīng)力分量的作用第三節(jié)運動方程方向；可以看出：具有相同下標(biāo)的應(yīng)力分量(τxx)表示法向應(yīng)力分量；拉伸方向（向外）為正，壓縮方向（向內(nèi)）為負(fù)?；旌舷聵?biāo)的應(yīng)力分量(τxy，τxz)表示切向應(yīng)力分量；第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用應(yīng)力表示的運動方程2.表面力

第三節(jié)運動方程六個表面，每一表面力均可分解成三個平行于x、y、z三個坐標(biāo)軸的應(yīng)力分量，則：3×6=18個。在x、y、z方向上各有六個，當(dāng)微元體體積縮小為一點時，相對表面上的法向應(yīng)力與切線應(yīng)力都是相應(yīng)地大小相等、方向相反的，故只需采用9個表面力就可以完全表達(dá)。即：3個法向分量，6個切線分量。第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月dy/2dx/2odx/2dy/2xy一、用應(yīng)力表示的運動方程2.表面力

第三節(jié)運動方程上述6個剪應(yīng)力可以使微元體旋轉(zhuǎn)且彼此不獨立。如圖的四個剪應(yīng)力對于旋轉(zhuǎn)軸線產(chǎn)生力矩：當(dāng)微元體積趨近于0使r趨近于0力矩＝質(zhì)量×旋轉(zhuǎn)半徑2×角加速度第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用應(yīng)力表示的運動方程2.表面力

第三節(jié)運動方程因此實質(zhì)上9個應(yīng)力只有6個應(yīng)力為獨立變量，即3個法向應(yīng)力和3個剪應(yīng)力如圖在x方向的凈表面力分量：第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用應(yīng)力表示的運動方程將式(2-11a)和式(2-12)代入式(2-10a)中并整理得：

第三節(jié)運動方程——x方向以應(yīng)力表示的運動方程同理可得：

——以應(yīng)力表示的粘性流體運動微分方程第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月二、應(yīng)力與形變速率之間的關(guān)系1.剪應(yīng)力

每一剪應(yīng)力與其相應(yīng)兩方向上的形變速率有關(guān)。經(jīng)分析推導(dǎo)其關(guān)系為：

第三節(jié)運動方程第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月二、應(yīng)力與形變速率之間的關(guān)系2.法向應(yīng)力

當(dāng)流體運動時，法向應(yīng)力由兩部分組成：其一是流體壓力，它使流體微元承受壓縮而發(fā)生體積形變；其二是由流體的粘性引起，它使流體微元在法線方向上承受拉伸或壓縮進(jìn)而發(fā)生線性形變。各法向應(yīng)力與形變速率之間的關(guān)系：

第三節(jié)運動方程靜壓力

使流體產(chǎn)生體積形變粘性力

使流體在法線方向上拉伸或壓縮進(jìn)而發(fā)生線性形變第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月三、粘性流體的運動方程(N-S方程)將式(2-14a)、(2-14b)、(2-15a)代入式(2-13a)得：

第三節(jié)運動方程第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月三、粘性流體的運動方程(N-S方程)將上三式寫成向量形式：

第三節(jié)運動方程

——以質(zhì)量、粘度和流動狀況表示的運動微分方程，奈維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程或牛頓型流體的運動方程討論：（1）對于穩(wěn)定或非穩(wěn)定，可壓縮或不可壓縮，理想或非理想流體均適用。但需說明該方程僅適用于牛頓型。

（2）各項意義：慣性力質(zhì)量力壓力梯度粘性力第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月三、粘性流體的運動方程(N-S方程)對于不可壓縮運動流體的運動方程可簡化為：寫成向量形式：第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月四、以動壓頭表示的不可壓縮N—S方程yzxp1ΔyΔzΔxX

p2

第三節(jié)運動方程第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月柱坐標(biāo)第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月球坐標(biāo)第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月球坐標(biāo)第34頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月混合過程