連續(xù)性抽樣中時間序列模型的構(gòu)建

連續(xù)性抽樣中時間序列模型的構(gòu)建

一、改進的計量分析方法隨著社會事物的不斷變化和發(fā)展，許多研究的目標(biāo)也在不斷變化和發(fā)展。為了能及時反映目標(biāo)總體的這種變化和發(fā)展,調(diào)查部門就需要對同一總體在不同時間上進行連續(xù)性的抽樣調(diào)查。國外很多大規(guī)模的抽樣調(diào)查都是連續(xù)性抽樣調(diào)查,如美國的人口現(xiàn)狀調(diào)查、英國的家庭消費調(diào)查等,中國政府統(tǒng)計中很多大規(guī)模的調(diào)查也都是連續(xù)性抽樣調(diào)查,如城市住戶抽樣調(diào)查、規(guī)模以下工業(yè)企業(yè)抽樣調(diào)查和農(nóng)產(chǎn)量抽樣調(diào)查等。對于連續(xù)性調(diào)查得出的一系列時序數(shù)據(jù),研究社會經(jīng)濟的學(xué)者可建立計量經(jīng)濟模型,利用時間序列、面板數(shù)據(jù)模型等計量分析方法研究有限總體的變化規(guī)律和發(fā)展趨勢。本文不同于一般的計量分析論文,其研究目的不是研究如何運用某些計量方法得出某些經(jīng)濟規(guī)律,而是研究在連續(xù)性調(diào)查中,這些時序數(shù)據(jù)是如何估計出來的,如何讓估計出來的時序數(shù)據(jù)更加準確等問題。這是一個更深層次的問題,只有當(dāng)那些通過調(diào)查得出的時序數(shù)據(jù)更加準確時,那么通過計量方法研究這些數(shù)據(jù)得出的結(jié)論才會更加符合實際情況。否則,不準確的數(shù)據(jù),即使運用再科學(xué)的計量分析方法來研究,也很難得出準確結(jié)論。在研究連續(xù)性調(diào)查中如何得出精度更高的估計量的問題上,以往的文獻一般運用傳統(tǒng)的研究方法,即僅僅假定同一總體單元的數(shù)值在不同時間存在一定相關(guān)關(guān)系,而不考慮同一有限總體的某些特征在不同時間上存在相關(guān)的情況。Blight與Scott假定連續(xù)總體的均值滿足線性的馬爾可夫過程,從而將隨機模型引入到連續(xù)性抽樣調(diào)查中,Scott與Smith進一步假定在不同時間上的總體均值滿足某一隨機模型,比如總體均值滿足一階自回歸過程,具體模型可表示如下:θt-μ=α(θt-1-μ)+εtVar(εt)=σ2ˉytm-θt=ρ(ˉyt-1?m-θt-1)+e1tVar(e1t)=wt′ˉytu-θt=e2tVar(e2t)=wt″其中定θt表示有限總體在第t期的總體均值,ˉytm和ˉytu分別表示第t期拼配樣本和非拼配樣本的均值,隨機誤差項εt,e1t和e2t均滿足均值為零的獨立正態(tài)分布,參數(shù)α、μ、ρ、σ2、wt′和wt″假定已知。Scott、Smith與Jones在此基礎(chǔ)上還考慮了非平穩(wěn)時間序列的問題。本文在原有研究的基礎(chǔ)上,考慮同一有限總體的某些特征在不同時間上存在相關(guān)關(guān)系的情況,并運用時間序列等方法,利用以往各期的調(diào)查信息來估計現(xiàn)期的總體特征,以改進原有的估計方法。假定θt為有限總體在第t期的某一特征值(如總體均值),其隨著時間t的變化而發(fā)生變化;yt是通過第t期的調(diào)查樣本得出的關(guān)于總體特征的簡單估計值,此估計量僅利用第t期調(diào)查樣本的信息,沒有運用以往各期的調(diào)查信息;同理,yt-1,yt-2,…分別表示以往各期樣本的簡單估計值。具體來說,假定存在以下關(guān)系:yt=θt+et(1)這里,隨機誤差項滿足E(et)=0,Var(et)=s2t。本文就是通過各時期的樣本估計值Yt=(yt,yt-1,…)之間的變化情況得出精度更高的估計量?θt來估計第t期的總體特征θt。第二節(jié)和第三節(jié)分別考慮連續(xù)性抽樣調(diào)查中重復(fù)樣本和重疊樣本的情況,并給出不同情況下的估計量。二、線性組合估計量的確定本節(jié)考慮重復(fù)樣本的情形,即假定每一期調(diào)查都獨立地從同一總體中抽出一個新的樣本,各期樣本之間相互獨立,互不重疊。對于時間序列Yt=(yt,yt-1,…),本節(jié)使用的具體方法是根據(jù)各歷史時期的樣本估計值Yt-1=(yt-1,yt-2,…),通過時間序列的方法得出一個線性組合估計量?yt來估計第t期的樣本估計值yt。根據(jù)條件方差的性質(zhì),可得?yt的方差為:Var(?yt)=Var(θt|Yt-1)=Var(yt|Yt-1)-s2t。然后,可構(gòu)造出關(guān)于總體特征θt的組合估計量為:?θt=(1-πt)yt+πt?yt(2)其中πt為待定的權(quán)重系數(shù)。使得估計量?θt的方差最小的權(quán)重系數(shù)πt應(yīng)滿足πt=s2t/Var(yt|Yt-1)。此時θt的最小方差為:Vmin(?θt)=(1-πt)s2t(3)那么,下面的任務(wù)就是如何根據(jù)Yt-1=(yt-1,yt-2,…)的時序資料構(gòu)造出線性組合估計量?yt。下面針對不同情況分別進行討論。(一)時間序列模型求解首先考慮一種最簡單的情況,即假定{θt}滿足如下的一階自回歸模型:θt=λθt-1+εt0≤λ≤1(4)這里{εt}是不相關(guān)的隨機變量,其均值為0,方差為常數(shù)σ2。同時,假定Var(et)=s2t=s2。一階自回歸模型雖然簡單,但已能夠很好地代表大多數(shù)總體的變化規(guī)律,而且由于連續(xù)性調(diào)查中各期的歷史數(shù)據(jù)一般較少,故也不適合運用較為復(fù)雜的時間序列模型。通過式(1)和式(4),整理可得:yt=λyt-1+εt+et-λet-1經(jīng)過變換,可得:yt=λyt-1+wt-et-βwt-1(5)這里誤差項{wt}是不相關(guān)的隨機變量,且滿足E(wt)=0,Var(wt)=v2。且β和v2滿足如下關(guān)系:βv2=λs2(1+β2)v2=(1+λ2)s2+σ2通過式(5)可知,{yt}實際上滿足ARMA(1,1)模型,那么可通過時間序列Yt-1=(yt-1,yt-2,…)構(gòu)造出線性組合估計量?yt為:?yt=[(λ-β)/β]∑∞j=1βjyt-j(6)且權(quán)重πt滿足πt=s2/v2=β/λ=π。此時,根據(jù)式(2)和式(6),整理可得θt的估計量為:?θt=(1-π)∑∞j=0βjyt-j(7)同時,估計量?θt的方差為:V(?θt)=(1-π)s2(8)觀察式(7)中的估計量?θt,實際上是各期樣本估計量Yt=(yt,yt-1,…)的指數(shù)加權(quán)移動平均(EWMA)模型,此模型適合于連續(xù)性抽樣調(diào)查中的短期預(yù)測。(二)關(guān)于力學(xué)模型的求解在對某些總體進行抽樣調(diào)查時,很難象式(4)所表示的那樣,能夠確切地知道{θt}和{yt}服從什么樣的模型。此時對于{yt}可籠統(tǒng)地建立自回歸協(xié)整移動平均模型,即ARIMA(p,d,q)模型:?p(B)(1-B)dyt=φq(B)εt其中Byt=yt-1,B是滯后算子。然后,利用各種信息進行判斷,識別出p、d和q的數(shù)值,從而得出具體的時間序列模型。三、般特征t的組合估計量很多大規(guī)模的連續(xù)性抽樣調(diào)查一般都使用樣本輪換技術(shù),即每一期調(diào)查都保留上一期的一部分樣本單元,同時更換剩下的樣本單元。這種做法一方面可以節(jié)省調(diào)查費用,同時一定程度上還減少由于樣本疲勞而導(dǎo)致的調(diào)查誤差,此外還可以利用重疊樣本的信息作為輔助變量來提高現(xiàn)期估計量的精度。但是,樣本輪換下的重疊樣本使得不同時期的調(diào)查之間存在相關(guān)性,即不同時期之間的抽樣誤差et=yt-θt存在一定的相關(guān)性。此時問題將會更加復(fù)雜,為了簡化考慮,假定{θt}和{et}是相互獨立的平穩(wěn)隨機過程,且抽樣誤差{et}的方差保持常數(shù),即Var(et)=s2t=s2。同時,假定{yt}可表達成如下移動平均的形式:yt=∑∞j=0bjεt-j(9)其中誤差項{εt}不相關(guān),且E{εt}=0,Var(εt)=σ2。在一般性條件下,可構(gòu)造關(guān)于總體特征θt的線性組合估計量為:?θt=∑∞j=0γjyt-j(10)接下來討論一種具體的情況。假定數(shù)列{θt}滿足如下的一階自回歸模型:θt=λ1θt-1+ut(11)其中{ut}是不相關(guān)的隨機誤差項,且滿足E(ut)=0,Var(ut)=σ21。對于大多數(shù)重疊樣本來說,殘差項{et}往往滿足如下的一階自回歸移動平均模型,即ARIMA(1,0,1)模型:et=λ2et-1+vt-βvt-1(12)這里{vt}是不相關(guān)的隨機誤差項,且滿足E(vt)=0,Var(vt)=σ22。如果模型yt=θt+et成立,那么根據(jù)式(11)和式(12),整理后可得出如下關(guān)系:(1-λ1B)(1-λ2B)yt=(1-α1B)(1-α2B)wt(13)其中B是滯后算子,滿足Byt=yt-1。這里數(shù)列{wt}是不相關(guān)的隨機誤差項,且滿足E(wt)=0,Var(wt)=σ2。根據(jù)式(13),yt可表達為:yt=[(1-λ1B)(1-λ2B)]-1(1-α1B)(1-α2B)wt(14)且根據(jù)式(13)和各誤差項的方差,通過計算可得出參數(shù)α1,α2和σ2之間滿足如下關(guān)系:[1+(α1+α2)2+α21α22]σ2=(1+λ22)σ21+[1+(β+λ1)2+β2λ21]σ22[(α1+α2)(1+α1α2)]σ2=λ2σ21+[(β+λ1)(1+βλ1)]σ22α1α2σ2=βλ1σ22經(jīng)過整理,可得總體特征θt的組合估計量為:?θt=λ2(1-α1/λ1)(1-α2/λ1)(1-λ2/λ1)(α1-α2)?{(1-α1λ2)∑∞j=0αj2yt-j-(1-α1λ2)(1-α2)∑∞j=0αj1yt-j(15)從式(15)中可以發(fā)現(xiàn),組合估計量θ^t實際上是由兩個指數(shù)加權(quán)的移動平均項線性組合而構(gòu)成的。進一步,還可推導(dǎo)出估計量θ^t的均方誤差為:ΜSE(θ^t)=E(θ^t-θt)2=σ121-λ12?{1-(λ1-α1)(λ1-α2)(1-λ1λ2)λ1(λ1-λ2)(1-λ1α1)(1-λ1α2)}(16)四、研究的范圍和存在的問題在研究連續(xù)性抽樣調(diào)查時,本文打破了現(xiàn)有的抽樣估計理論,引入時間序列分析方法,根據(jù)總體的變化規(guī)律和發(fā)展趨勢,建立關(guān)于θt和yt的時間序列模型,利用成熟的時間序列分析方法給出總體特征的線性組合估計量。使用時間序列的分析方法能夠充分利用以往各期的調(diào)查信息,尤其是對于重復(fù)樣本的連續(xù)性抽樣調(diào)查,此時由于各期是獨立地抽取調(diào)查樣本,因而根據(jù)現(xiàn)有的抽樣估計理論無法利用以往各期的調(diào)查信息,而通過時間序列方法卻可以利用過去各期的調(diào)查信息建立時間序列模型,從而給出精度更高的估計量。更重要的在于打破了現(xiàn)有抽樣估