人教版九年級數(shù)學上冊 （用頻率估計概率）概率初步教育教學課件(第2課時)

25.3用頻率估計概率第2課時

復習鞏固通過大量重復試驗，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此可以用隨機事件發(fā)生的頻率來估計該事件發(fā)生的概率.為什么要用頻率估計概率？雖然之前我們學過用列舉法確切地計算出隨機事件的概率，但由于列舉法受各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等的限制，有些事件的概率并不能用列舉法求出.例如：拋擲一枚圖釘,估計“釘尖朝上”的概率，這時我們就可以通過大量重復試驗來估計“釘尖朝上”的概率.深化理解例某林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率,應采用什么具體做法？例題講解是實際問題中的一種概率,可理解為成活的概率.

分析：這個問題中幼樹移植“成活”與“不成活”兩種結(jié)果可能性是否相等未知，所以成活率要由頻率去估計.在同樣條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，計算成活的頻率.隨著移植數(shù)n越來越大，頻率會越來越穩(wěn)定，于是就可以把頻率作為成活率的估計值.例題講解移植總數(shù)（n）成活數(shù)（m）

成活的頻率（）（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）1080.80050472702350.870400369750662150013350.890350032030.915700063359000807314000126280.9020.9400.9230.8830.9050.8971.

完成下表：例題講解2.

由上表可以發(fā)現(xiàn)，該種幼樹移植成活的頻率在＿＿＿左右擺動，并且隨著移植棵數(shù)越來越大，這種規(guī)律愈加明顯.所以估計該種幼樹移植成活的概率為＿＿＿＿＿．0.9例題講解0.93.

林業(yè)部門種植了該種幼樹1000棵,估計能成活_____棵.900例題講解歸納總結(jié)頻率與概率的關(guān)系

聯(lián)系

頻率

概率事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性大小

穩(wěn)定性大量重復試驗通過大量重復試驗，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此可以用隨機事件發(fā)生的頻率來估計該事件發(fā)生的概率.區(qū)別

頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)或不同次數(shù)的重復試驗得到的事件的頻率都可能不同，而概率是一個確定數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān).歸納總結(jié)實際應用某水果公司以2元/kg的成本新進了10000kg柑橘，如果公司希望這些柑橘能夠獲得利潤5000元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，每千克大約定價為多少元比較合適？分析在讀題過程中發(fā)現(xiàn)，柑橘有損壞，柑橘在運輸、儲存中會有損壞，公司必須估算出可能損壞的柑橘總數(shù)，以便將損壞的柑橘的成本折算到?jīng)]有損壞的柑橘的售價中.實際應用銷售人員首先從所有的柑橘中隨機抽取若干柑橘，進行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在下表實際應用柑橘總質(zhì)量（n）/千克損壞柑橘質(zhì)量（m）/千克柑橘損壞的頻率()（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）505.500.11010010.500.10515015.1520019.4225024.2530030.9335035.3240039.2445044.5750051.540.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103完成下表：分析填完表后，從表中可以看出，隨著柑橘質(zhì)量的增加，柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定.柑橘總質(zhì)量為500kg時的損壞頻率為0.103，于是可以估計柑橘損壞的概率為0.1（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.由此可知，柑橘完好的概率為0.9.實際應用.實際應用解：由上表可知：柑橘損壞率是

0.1

，完好率是

0.9

.根據(jù)估計的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的質(zhì)量為千克，完好柑橘的實際成本為實際應用設(shè)每千克柑橘的售價為x元，則應有因此，出售柑橘時每千克大約定價為2.8元可獲利潤5000元.解得歸納總結(jié)

1.

遇到實際問題先觀察思考，在這個隨機事件中，是否所有情況的發(fā)生都是等可能性的

2.設(shè)計試驗，利用大量的重復試驗來確定特定情況發(fā)生的頻率

3.

根據(jù)數(shù)據(jù)，觀察并總結(jié)頻率的變化趨勢，得到頻率穩(wěn)定于的常數(shù)，利用頻率估計概率的方法得到概率

4.利用得到的概率解決實際問題通過前面解決問題的過程，我們可以得到：課堂練習1.

某農(nóng)科所在相同條件下做某作物種子發(fā)芽率的試驗，結(jié)果如下表所示：種子個數(shù)發(fā)芽種子個數(shù)發(fā)芽種子的頻率（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）100942001873002824003385004356005307006248007189008141000901一般的，1000kg種子中大約有多少是不能發(fā)芽的？課堂練習種子個數(shù)發(fā)芽種子個數(shù)發(fā)芽種子頻率（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）1009420018730028240033850043560053070062480071890081410009010.9400.9350.9400.8450.8700.8830.8910.8980.9040.901

根據(jù)表格中計算出的數(shù)據(jù)，我們可以利用今天所學習的知識，利用種子發(fā)芽的頻率估計出種子發(fā)芽的概率應該為0.9，那么種子不能發(fā)芽的概率則為0.1.因此，1000kg種子中大約有100kg是不能發(fā)芽的.課堂練習2.某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)20401002004001000“射中9環(huán)以上”的次數(shù)153378158321801“射中9環(huán)以上”的頻率（1）計算表中相應的“射中9環(huán)以上”的頻率（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.（2）這些頻率具有怎樣的穩(wěn)定性？（3）根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率

（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.課堂練習射擊次數(shù)20401002004001000“射中9環(huán)以上”的次數(shù)153378158321801“射中9環(huán)以上”的頻率（1）計算表中相應的“射中9環(huán)以上”的頻率（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.0.750.830.780.790.800.80課堂練習（2）這些頻率具有怎樣的穩(wěn)定性？（3）根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.在0.8上下擺動0.8課堂練習課堂小結(jié)頻率概率區(qū)別聯(lián)系試驗值或使用時的統(tǒng)計值

與試驗次數(shù)的變化有關(guān)理論值

與試驗次數(shù)的變化無關(guān)

試驗次數(shù)越多，頻率越趨向于概率課后作業(yè)為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中打撈n條魚，在每一條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈a條魚.如果在這a條魚中有b條魚是有記號的，那么估計魚塘中魚的條數(shù)為.你認為這種估計方法有道理嗎？為什么？解：課后作業(yè)有道理設(shè)這個池塘中有x條魚，則有解得經(jīng)檢驗，當時，x≠0.所以，原方程的解為.同學們，再見！用頻率估計概率

（1）在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個數(shù)，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，那么我們可以通過列舉試驗結(jié)果的方法，求隨機事件的概率。（2）我們常用列表和樹狀圖兩種方法列舉試驗的結(jié)果。知識回顧以舊引新探究一：通過頻率估計概率活動1

周末，在我市體育館有一場精彩的籃球比賽，但是老師手里只有一張票，作為籃球迷的小強和小明都想去，這樣老師很為難。請大家?guī)屠蠋熛胍粋€公平的辦法，來決定把這張票給誰。有這么多可用的方法，那現(xiàn)在我們從中抽選出擲硬幣的方法。抓鬮、抽簽、猜拳、擲硬幣、……為什么要用擲硬幣的方法呢？

擲硬幣公平，能保證小強和小明得到球票的可能性一樣大。問題探究探究一：通過頻率估計概率

用擲硬幣的方法分配球票是一個隨機事件，盡管事先不能確定結(jié)果是“正面向上”還是“反面向上”，但大家很容易感受到這兩種隨機事件的發(fā)生的可能性是一樣，各為0.5，所以對于小強和小明來說這個方法是公平的。

但是，我們的直覺是可靠的嗎？

擲硬幣出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”的可能性真的是相等的嗎？

有什么方法可以驗證呢？

擲硬幣，觀察隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率

的變化趨勢。

課前，我們每個同學都進行了擲硬幣的試驗，并計算了“正面向上”的頻率，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

匯總你們小組的拋擲數(shù)據(jù)你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

如果將我們?nèi)嗟臄?shù)據(jù)統(tǒng)計起來又能發(fā)現(xiàn)什么呢？大膽操作，探究新知探究一：通過頻率估計概率活動2拋擲次數(shù)n50100150200250300350400“正面向上”的頻數(shù)m

“正面向上”的頻率

根據(jù)數(shù)據(jù)生成折線統(tǒng)計圖：探究一：通過頻率估計概率隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率

有什么規(guī)律？

試驗次數(shù)比較小時，頻率

波動比較大，但試驗次數(shù)較大時，頻率

比較穩(wěn)定。隨著試驗次數(shù)的增大，頻率

穩(wěn)定在0.5的附近。探究一：通過頻率估計概率

擲圖釘，觀察隨著拋擲次數(shù)的增加，“針尖向上”的頻率

的變化趨勢。探究一：通過頻率估計概率活動3

可能有同學會覺得老師用大量重復試驗的方法得到擲一枚硬幣出現(xiàn)“正面向上”的概率未免也太大費周章了，而且最終還只是一個概率的近似值！

誰都知道擲一枚硬幣出現(xiàn)“正面向上”的概率為0.5，那么這種用試驗的方法求隨機事件的概率還有什么優(yōu)點呢？

大家知道隨機拋擲一枚圖釘出現(xiàn)“針尖向上”的概率是多少嗎？有的同學回答“針尖向上”概率為0.5，其實由于圖釘不是均勻物體，所以“針尖向上”和“針尖向下”兩種事件的結(jié)果出現(xiàn)的可能性不一樣大。

你能想辦法得到“針尖向上”的概率嗎？探究一：通過頻率估計概率拋擲次數(shù)n50100150200250300350400“針尖向上”的頻數(shù)m

“針尖向上”的頻率

類似拋擲硬幣的活動，通過大量重復試驗的頻率估計“針尖向上”的概率。根據(jù)數(shù)據(jù)生成折線統(tǒng)計圖：探究一：通過頻率估計概率隨著試驗次數(shù)的增加，“針尖向上”的頻率

有什么規(guī)律？

試驗次數(shù)比較小時，頻率

波動比較大，但試驗次數(shù)較大時，頻率

比較穩(wěn)定。隨著試驗次數(shù)的增大，頻率

穩(wěn)定在…的附近。探究一：通過頻率估計概率總結(jié)：（1）隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生不能事先確定，但是在大量重復試驗中，一個事件發(fā)生的頻率總在一個固定的數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，這個固定的數(shù)就是隨機事件發(fā)生的概率，因此我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。（2）概率與頻率之間是有區(qū)別和聯(lián)系的：①區(qū)別：頻率是個試驗值，試驗結(jié)果不相同頻率也就不相同，頻率只能近似地反映事件發(fā)生的可能性的大??；而概率是一個理論值，是由事件的本質(zhì)決定的，其大小是個固定值，概率能精確的反映事件發(fā)生的可能性的大小。探究一：通過頻率估計概率②聯(lián)系：可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。（3）用試驗法通過頻率估計概率的方法可以不受“各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制，使得可求概率的隨機事件的范圍擴大。探究一：通過頻率估計概率

例1：一個袋子中有兩個黃球，三個白球，它們除顏色外均相同，小明隨機從袋子中摸出一個球，恰好摸到了一個白球，則下列說法正確的是（

）A.小明從袋子中取出白球的概率是1B.小明從袋子中取出黃球的概率是0C.這次試驗中，小明取出白球的頻率是1D.由這次試驗的頻率可以去估計取出白球的概率是1基礎(chǔ)性例題探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用活動1解：A.小明從袋子中取出白球的概率是

，故A選項錯誤；B.小明從袋子中取出黃球的概率是

，故B選項錯誤；C.這次試驗里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以這次試驗中，小明取出白球的頻率是1，故C選項正確；D.僅進行了一次試驗，試驗次數(shù)太少，頻率不能估計概率，故D選項錯誤?！舅悸伏c撥】本題需理清頻率與概率的關(guān)系，概率是一個理論值，是由事件的本質(zhì)決定的，其大小是個固定值；頻率是個試驗值，試驗結(jié)果不相同頻率也就不相同。在大量重復試驗中，一個事件發(fā)生的頻率總在一個固定的數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，

這個固定的數(shù)就是隨機事件發(fā)生的概率，因此我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。不能將頻率、概率混為一談。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用練習：已知拋一枚普通硬幣擲得反面向上的概率為

，它表示（

）A.連續(xù)拋擲硬幣兩次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B.每拋擲硬幣兩次，就一定有一次反面朝上C.連續(xù)拋擲硬幣200次，一定會出現(xiàn)100次反面朝上D.大量反復擲硬幣，平均每兩次會出現(xiàn)一次反面朝上解：A.擲兩次硬幣，偶然性較大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A選項錯誤；B.每拋擲硬幣兩次偶然性較大，不一定有一次反面朝上，故B選項錯誤；C.連續(xù)拋擲硬幣200次，試驗次數(shù)較大，會出現(xiàn)100次左右的反面朝上，但也不能確定是100次，故C選項錯誤；D.大量反復擲硬幣，出現(xiàn)反面朝上的頻率應該會穩(wěn)定在0.5的附近，即平均每兩次會出現(xiàn)一次反面朝上，故D選項正確。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用例2：小穎和小紅兩位同學在學習“概率”時，做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）試驗，她們共做了60次試驗，試驗的結(jié)果如下表：朝上的點數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)798111510（1）計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率；（2）小穎說：“根據(jù)試驗，一次試驗中出現(xiàn)5點朝上的概率最大”。

小紅說：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)6點朝上的次數(shù)正好是100次”

小穎和小紅的說法正確嗎？為什么？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用例2：小穎和小紅兩位同學在學習“概率”時，做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）試驗，她們共做了60次試驗，試驗的結(jié)果如下表：（1）計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率；朝上的點數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)798111510解：（1）∵“3點朝上”出現(xiàn)的次數(shù)是8次，∴“3點朝上”的頻率是

；又∵“5點朝上”出現(xiàn)的次數(shù)是15次，∴“5點朝上”的頻率是

。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用解：（2）小穎和小紅的說法都不正確。

但是由于60次試驗次數(shù)較小，頻率并不一定穩(wěn)定在概率的附近，不能直接將此時的頻率當成概率，因此小穎的說法是錯誤的。

如果擲600次，雖然試驗次數(shù)較大，但頻率也只是穩(wěn)定在概率

的附近，約為100次，不一定正好是100次，因此小紅的說法也是錯誤的?！舅悸伏c撥】本題一定要弄清頻率與概率的關(guān)系，理解它們的區(qū)別與聯(lián)系：頻率不能簡單等同于概率，但試驗次數(shù)較大時，頻率穩(wěn)定在概率的附近，因此可以用反復試驗后的頻率估計概率。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用

練習：為了看一種圖釘落地后針尖著地的概率有多大，小明和小華做了多次試驗，并將結(jié)果記錄在下表：拋擲次數(shù)52050100200針尖著地的頻數(shù)29234589針尖著地的頻率0.40.45

0.45

（1）分別計算拋擲次數(shù)為50次和200次時，針尖著地的頻率；（2）根據(jù)計算結(jié)果，小明認為：“拋擲這種圖釘，針尖著地的概率大約是0.45”，小華認為：“每拋擲100次這種圖釘，一定出現(xiàn)45次針尖著地”。你認為他們的說法正確嗎？為什么？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用解：（1）∵拋擲50次時，“針尖著地”的頻數(shù)是23，∴“針尖著地”的頻率是

；又∵拋擲200次時，“針尖著地”的頻數(shù)是89，∴“針尖著地”的頻率是

。（2）小明的說法正確，因為根據(jù)表格中頻率的變化趨勢，當試驗次數(shù)增加時，頻率穩(wěn)定在0.45的附近，因此可以估計拋擲這種圖釘，針尖著地的概率大約是0.45；

小華的說法錯誤，因為拋擲這種圖釘，針尖著地的概率大約是0.45，所以每拋擲100次這種圖釘，只能說大約出現(xiàn)45次針尖著地，不能說一定是45次。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用

例1：下表是某機器人做9999次“拋硬幣”游戲時記錄下的出現(xiàn)正面朝上的頻數(shù)和頻率。拋擲次數(shù)550300800320060009999出現(xiàn)正面朝上的頻數(shù)131135408158029805006出現(xiàn)正面朝上的頻率20%62%45%51%49.4%49.7%50.1%（1）由這張頻數(shù)和頻率表可知機器人拋擲完5次時，得到_______次正面朝上，正面朝上出現(xiàn)的頻率是________。

（2）由這個頻數(shù)和頻率表可知機器人拋擲完9999次時，得到

次正面朝上，正面朝上出現(xiàn)的頻率約是

。（3）觀察上面表格中頻率的變化趨勢，你能發(fā)現(xiàn)什么？提升型例題探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用活動2解：（1）直接根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，機器人拋擲完5次時，有1次正面朝上，正面朝上的頻率是20%；（2）直接根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，機器人拋擲完9999次時，有5006次正面朝上，正面朝上的頻率是50.1%；（3）觀察頻率的變化趨勢發(fā)現(xiàn)：當機器人拋擲次數(shù)較小時，出現(xiàn)正面朝上的頻率波動較大；當機器人拋擲次數(shù)較大時，出現(xiàn)正面朝上的頻率比較穩(wěn)定，穩(wěn)定在50%的附近。【思路點撥】試驗次數(shù)較大時的頻率具有穩(wěn)定性。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用

練習：一粒木質(zhì)中國象棋子“兵”，它的正面雕刻一個“兵”字，它的反面是平的。將它從一定高度下擲，落地反彈后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下。由于棋子的兩面不均勻，為了估計”兵”字面朝上的概率，某實驗小組做了棋子下擲實驗，實驗數(shù)據(jù)如下表：實驗次數(shù)20406080100120140160“兵“字面朝上的頻數(shù)14

384752667888“兵“字面朝上的頻率0.70.450.630.590.52

0.560.55（1）請你數(shù)據(jù)表補充完整；（2）如果實驗繼續(xù)進行下去，根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，這個實驗的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，請你估計這個概率是多少？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用解：（1）∵試驗總次數(shù)為40，而“兵”字面朝上的頻率為0.45，∴“兵”字面朝上的頻數(shù)＝40×0.45＝18。又∵試驗總次數(shù)為120，而“兵”字面朝上的頻數(shù)為66，∴“兵”字面朝上的頻率＝66÷120＝0.55。（2）觀察表格中頻率的變化趨勢，隨著試驗次數(shù)的增加，“兵”字面朝上的頻率逐漸穩(wěn)定在0.55的附近，因此估計“兵”字面朝上的概率為0.55。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用

例2：在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有3個紅球。若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值大約為________。解：由于通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，所以，摸到紅球的概率就為20%。因為，一共有a個除顏色外完全相同的球，其中只有3個紅球所以，摸到紅球的概率為

。解得：a＝15所以，a的值為15【思路點撥】抓住等可能性隨機事件概率既可以通過大量重復試驗得到，也可以通過古典概型的計算公式得到。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用

練習：為了估計暗箱里白球的數(shù)量（箱內(nèi)只有白球），將5個紅球放進去，隨機摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻后再摸出一個球記下顏色，多次重復后發(fā)現(xiàn)紅球出現(xiàn)的頻率約為0.2，那么可以估計暗箱里白球的數(shù)量大約為________個。解：因為多次重復后發(fā)現(xiàn)紅球出現(xiàn)的頻率約為0.2，所以，摸到紅球的概率就為0.2。設(shè)一共有x個白球，其中有5個紅球，所以一共有（x＋5）個球，所以，摸到紅球的概率為

＝0.2解得：x＝20所以，有20個白球。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應用

例1：某園林公司要考察某種幼苗在一定條件下的移植存活率，應采用什么具體做法？（1）如圖是一張模擬統(tǒng)計表，請補全表中的空缺，并完成表下的填空：移植總數(shù)n成活數(shù)m成活的頻率

（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）1080.8005047

2702350.870400369

750662

150013350.890350032030.91570006335

90008073