四川省內(nèi)江市高三第一次模擬數(shù)學（理）試卷

2021年四川省內(nèi)江市高考數(shù)學一模試卷（理科）一、選擇題（共12小題）.1．設集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，則?AB＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（2，+∞） D．[2，+∞）2．已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部和虛部分別是（）A．﹣7，3 B．7，﹣3i C．7，﹣3 D．﹣7，3i3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，P（X＞2），P（X＜0）等于（）4．為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各50人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），則下列敘述中錯誤的是（）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關 B．是否傾向選擇生育二胎與性別無關 C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同 D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)5．若向量，，則△ABC的面積為（）A． B． C．1 D．6．已知（1+x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A．212 B．211 C．210 D．297．函數(shù)f（x）＝的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0 D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜08．已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增52，b＝ln2，c＝﹣2，則f（a），f（b），f（c）滿足（）A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（a）＜f（b） C．f（c）＜f（b）＜f（a） D．f（a）＜f（b）＜f（c）9．若數(shù)列{an}滿足＝0，則稱{an}為夢想數(shù)列，已知正項數(shù)列{}，為夢想數(shù)列1+b2+b3＝1，則b6+b7+b8＝（）A．4 B．16 C．32 D．6410．已知函數(shù)，現(xiàn)將y＝f（x）的圖象向左平移，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變（x）的圖象，則g（x）在（）A．[﹣1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，0]11．已知函數(shù)f（x）＝+sinx，其中f′（x）（x）的導數(shù)，則f（2020）（﹣2020）+f′（2021）﹣f′（﹣2021）＝（）A．0 B．2 C．2020 D．202112．已知函數(shù)f（x）＝kx（≤x≤e2），g（x）＝e+1（x）與g（x）的圖象上分別存在點M，N，N關于直線y＝x+1對稱，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣，e] B．[﹣，2e] C．[﹣，2e] D．[﹣，3e]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．）13．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最大值是．14．已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，若a1+a22＝﹣3，S5＝10，則a9的值是．15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝8，△ABC的面積為．16．已知函數(shù)f（x）＝sinx?sin2x，x∈[0（x）的說法中，正確的是（填寫你認為正確的序號）．①不等式f（x）＞0的解集為或；②f（x）在區(qū)間[0，2π]上有四個零點；③f（x）的圖象關于直線x＝π對稱；④f（x）的最大值為；⑤f（x）的最小值為．三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分．17．網(wǎng)購是當前民眾購物的新方式，某公司為改進營銷方式，隨機調(diào)查了100名市民，并整理得到如下的頻數(shù)分布直方圖．這100名市民中，年齡不超過40歲的有65人將所抽樣本中周平均網(wǎng)購次數(shù)不小于4次的市民稱為網(wǎng)購迷（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關？網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計年齡不超過40歲年齡超過40歲合計（2）若從網(wǎng)購迷中任意選取2名，求其中年齡超過40歲的市民人數(shù)ξ的分布列與期望．附：；P（K2≥k0）k018．已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R．若f（x）在x＝1處與直線（1）求a，b的值；（2）求f（x）在上的極值．19．設函數(shù)f（x）＝sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）當x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）；（Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）＝，b，c＝1+，求△ABC的面積．20．已知數(shù)列{an}滿足：a1+3a2+32a3…+3n﹣1an＝，（n∈N*）（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，試比較Sn與的大小．21．已知函數(shù)f（x）＝λex﹣x2，g（x）＝﹣x2+x﹣（μ＞0），其中e…是自然對數(shù)底數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點x1，x2，求實數(shù)λ的取值范圍；（Ⅱ）當λ＝1時，求使不等式f（x）＞g（x）（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]22．已知曲線C1的參數(shù)方程為，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，曲線C2：ρ＝2acosθ（a＞0）關于C1對稱．（1）求C1的極坐標方程，C2的直角坐標方程；（2）已知曲線C3：+＝1與兩坐標軸正半軸交于A、B兩點，P為C3上任一點，求△ABP的面積的最大值．[選修4—5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）記函數(shù)y＝f（x）的最小值為k，若a，b，且，求證a+2b+3c≥9．參考答案一、選擇題（每小題5分，共60分．）1．設集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，則?AB＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（2，+∞） D．[2，+∞）解：A＝{x|y＝log2（2﹣x）}＝{x|x＜5}，B＝{x|x2﹣3x+6＜0}＝{x|1＜x＜2}，則?AB＝{x|x≤1}，故選：B．2．已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部和虛部分別是（）A．﹣7，3 B．7，﹣3i C．7，﹣3 D．﹣7，3i解：∵z＝，∴復數(shù)的實部和虛部分別是7．故選：C．3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，P（X＞2），P（X＜0）等于（）解：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（a，4），∴曲線關于x＝a對稱，且P（X＞a）＝0.8，由P（X＞1）＝0.6，可知μ＝a＝1．P（X＞2）＝P（X故選：B．4．為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各50人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），則下列敘述中錯誤的是（）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關 B．是否傾向選擇生育二胎與性別無關 C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同 D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)解：由不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖，知：在A中，城鎮(zhèn)戶籍傾向選擇生育二胎的比例為40%，∴是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關，故A正確；在B中，男性傾向選擇生育二胎的比例為60%，∴是否傾向選擇生育二胎與性別無關，故B正確；在C中，男性傾向選擇生育二胎的比例為60%，女性傾向選擇生育二胎的比例為60%，人數(shù)為40×60%＝24人，∴傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)比女性人數(shù)多；在D中，傾向選擇不生育二胎的人員中，城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)為50×（1﹣40%）＝30人，∴傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)．故選：C．5．若向量，，則△ABC的面積為（）A． B． C．1 D．解：∵＝（），，∴＝（﹣），∴cos＜＞＝，∴sin＜＞＝＝，∴S△ABC＝＝＝．故選：A．6．已知（1+x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A．212 B．211 C．210 D．29解：已知（1+x）n的展開式中第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，可得，可得n＝5+7＝10．（1+x）10的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為：＝49．故選：D．7．函數(shù)f（x）＝的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0 D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0解：函數(shù)在P處無意義，由圖象看P在y軸右邊，得c＜0，f（0）＝，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝7，即x＝﹣，即函數(shù)的零點x＝﹣＞0，∴a＜0，綜上a＜8，b＞0，故選：C．8．已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增52，b＝ln2，c＝﹣2，則f（a），f（b），f（c）滿足（）A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（a）＜f（b） C．f（c）＜f（b）＜f（a） D．f（a）＜f（b）＜f（c）解：∵偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，函數(shù)值越大，∵a＝log52∈（0，），b＝ln2＜﹣1，則f（a）＜f（b）＜f（c），故選：D．9．若數(shù)列{an}滿足＝0，則稱{an}為夢想數(shù)列，已知正項數(shù)列{}，為夢想數(shù)列1+b2+b3＝1，則b6+b7+b8＝（）A．4 B．16 C．32 D．64解：因為＝0，故若數(shù)列{an}為理想數(shù)列，則該數(shù)列的倒數(shù)．故{}為理想數(shù)列n}構成2為公比的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的性質可知：因為b3+b2+b3＝2，且，所以b7+b7+b8＝（b6+b2+b3）×55＝32．故選：C．10．已知函數(shù)，現(xiàn)將y＝f（x）的圖象向左平移，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變（x）的圖象，則g（x）在（）A．[﹣1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，0]解：把函數(shù)的圖象向左平移，可得y＝2sin（2x++）＝2sin（3x+，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g（x）＝2sin（4x+）的圖象，在上，5x+，]，故當4x+＝時，g（x）取得最小值為﹣4＝時，g（x）取得最大值為8，故函數(shù)g（x）的值域為[﹣1，2]，故選：A．11．已知函數(shù)f（x）＝+sinx，其中f′（x）（x）的導數(shù)，則f（2020）（﹣2020）+f′（2021）﹣f′（﹣2021）＝（）A．0 B．2 C．2020 D．2021解：因為f（x）＝+sinx，則f（x）+f（﹣x）＝+sinx+，所以f（2020）+f（﹣2020）＝2，又，所以，故f'（x）﹣f'（﹣x）＝0，所以f'（2021）﹣f'（﹣2021）＝8，則f（2020）+f（﹣2020）+f′（2021）﹣f′（﹣2021）＝2．故選：B．12．已知函數(shù)f（x）＝kx（≤x≤e2），g（x）＝e+1（x）與g（x）的圖象上分別存在點M，N，N關于直線y＝x+1對稱，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣，e] B．[﹣，2e] C．[﹣，2e] D．[﹣，3e]解：∵f（x）與g（x）的圖象上分別存在點M，N，使得M，∴函數(shù)g（x）的圖象關于直線y＝x+1對稱圖像與函數(shù)f（x）圖像有交點．函數(shù)h（x）＝圖像關于直線y＝x對稱圖像函數(shù)為h（x）的反函數(shù)．函數(shù)為h（x）的反函數(shù)為y＝﹣2lnx﹣1，∴對稱圖像函數(shù)為y＝﹣8lnx．此圖像與與函數(shù)f（x）＝kx的圖像在（，e2）上有交點可轉化為關于x的方程﹣2lnx＝kx在（，e2）上有解．可得k＝．問題又可轉化為求函數(shù)w（x）＝的值域即為k的取值范圍．w′（x）＝＞0得x＞e，∴函數(shù)w（x）在（，e2）上的遞減區(qū)間為（，e），e6），∴w（x）的最小值為w（e）＝﹣，w（x）的最大值為w（，∴函數(shù)w（x）的值域為（﹣，2e），∴k的取值范圍為（﹣，7e），故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．）13．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最大值是3．解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，A（0，化z＝2x﹣y為y＝6x﹣z，由圖可知，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為3．故答案為：3．14．已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，若a1+a22＝﹣3，S5＝10，則a9的值是20．解：∵{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a1+a25＝﹣3，S5＝10，∴，解得a3＝﹣4，d＝3，∴a4＝﹣4+8×4＝20．故答案為：20．15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝8，△ABC的面積為．解：∵在△ABC中btanB+btanA＝﹣2ctanB，∴由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）＝﹣2sinCtanB，∴sinB（tanA+tanB）＝﹣8sinC?，∴cosB（tanA+tanB）＝﹣2sinC，∴cosB（+）＝﹣2sinC，∴cosB?＝﹣7sinC，∴cosB?＝＝﹣2sinC，解得cosA＝﹣，A＝；∵a＝2，由余弦定理可得：64＝b2+c2+bc＝（b+c）6﹣bc，①∵△ABC的面積為＝bcsinA＝，可得：bc＝16，②∴聯(lián)立①②可得：b+c＝5．故答案為：4．16．已知函數(shù)f（x）＝sinx?sin2x，x∈[0（x）的說法中，正確的是③④（填寫你認為正確的序號）．①不等式f（x）＞0的解集為或；②f（x）在區(qū)間[0，2π]上有四個零點；③f（x）的圖象關于直線x＝π對稱；④f（x）的最大值為；⑤f（x）的最小值為．解：f（x）＝sinx?sin2x＝2sin7x?cosx．①f（x）＞0?cosx＞0，又x∈[8，∴0＜x＜或，故①錯誤；②由f（x）＝0，可得sinx＝3或cosx＝0，2π]，，π，，8π，故B錯誤；③f（2π﹣x）＝2sin7（2π﹣x）?cos（2π﹣x）＝3sin2x?cosx＝f（x），∴f（2π﹣x）＝f（x），即f（x）的圖象關于直線x＝π對稱；④⑤f（x）＝5cosx?（1﹣cos2x），令cosx＝t∈[﹣4，則y＝﹣2t3+3t，y′＝﹣6t2+5，由y′＝﹣6t2+5＝0，解得t＝，∴y＝﹣2t3+2t在[﹣1，﹣]，[]上單調(diào)遞減，]上單調(diào)遞增，當t＝時，y＝時，y＝﹣，y＝8，y＝0，∴當t＝時，y＝﹣2t3+2t有最大值為，當t＝﹣時4+2t有最小值為﹣，∴④正確，⑤錯誤．∴正確的命題是③④．故答案為：③④．三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分．17．網(wǎng)購是當前民眾購物的新方式，某公司為改進營銷方式，隨機調(diào)查了100名市民，并整理得到如下的頻數(shù)分布直方圖．這100名市民中，年齡不超過40歲的有65人將所抽樣本中周平均網(wǎng)購次數(shù)不小于4次的市民稱為網(wǎng)購迷（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關？網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計年齡不超過40歲年齡超過40歲合計（2）若從網(wǎng)購迷中任意選取2名，求其中年齡超過40歲的市民人數(shù)ξ的分布列與期望．附：；P（K2≥k0）k0解：（1）由題意可得列聯(lián)表如下：網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計年齡不超過40歲204565年齡超過40歲53035合計2575100假設網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲沒有關系，則3.297＞2.706，所以可以在犯錯誤的概率不超過7.10的前提下認為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關；（2）由頻率分布直方圖可知，網(wǎng)購迷共有25名，由題意得年齡超過40的市民人數(shù)ξ的所有取值為0，1，5，，，，∴ξ的分布列為ξ014P數(shù)學期望值為．18．已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R．若f（x）在x＝1處與直線（1）求a，b的值；（2）求f（x）在上的極值．解：（1）f′（x）＝﹣2bx．∵函數(shù)f（x）在x＝1處與直線相切，∴，即，解得．（2）由（1）得：f（x）＝lnx﹣x2，定義域為（4，+∞）．f′（x）＝﹣x＝，解得0＜x＜1，得x＞4．∴f（x）在上單調(diào)遞增，e）上單調(diào)遞減，∴f（x）在上的極大值為f（1）＝﹣．19．設函數(shù)f（x）＝sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）當x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）；（Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）＝，b，c＝1+，求△ABC的面積．解：（Ⅰ）f（x）＝sin（2x﹣）+4cos2x＝sin2x+＝sin（2x+）+8，∵x∈[0，]，∴8x+，]，∴≤sin（2x+，∴函數(shù)f（x）的值域為[，2]；（Ⅱ）∵f（A）＝sin（2A+）+1＝，∴sin（2A+）＝∵4＜A＜π，∴＜2A+＜＝，即A＝，由正弦定理，∵a＝b，∴sinA＝×，∴sinB＝，∴8＜B＜，則B＝∴sinC＝sin（A+B）＝．∵，∴b＝3，∴S△ABC＝bcsinA＝．20．已知數(shù)列{an}滿足：a1+3a2+32a3…+3n﹣1an＝，（n∈N*）（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，試比較Sn與的大?。窘獯稹浚↖）解：數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3…+3n﹣1an＝，（n∈N+）．∴n≥2時，a4+3a2+…+2n﹣2an﹣1＝，相減可得：3n﹣1an＝，∴an＝．n＝1時，a1＝． 綜上可得：an＝．（II）證明：bn＝，∴b1＝＝，n≥6時，bn＝＝．∴Sn＝+…+，＝．21．已知函數(shù)f（x）＝λex﹣x2，g（x）＝﹣x2+x﹣（μ＞0），其中e…是自然對數(shù)底數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點x1，x2，求實數(shù)λ的取值范圍；（Ⅱ）當λ＝1時，求使不等式f（x）＞g（x）解：（1）f′（x）＝λex﹣2x，據(jù)題意得f′（x）＝λex﹣2x＝6有兩個不同的根x1，x2，當λ≤3時，f′（x）＝λex﹣2x≤0，因此f（x）在R上遞減，∴λ＞5，又f