模塊復(fù)習(xí)課第三課市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第三課柯西不等式、排序不等式與數(shù)學(xué)歸納法第1頁(yè)【網(wǎng)絡(luò)體系】第2頁(yè)

【關(guān)鍵速填】

1.二維形式柯西不等式(1)二維形式柯西不等式:____________________________________________.若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2第3頁(yè)(2)柯西不等式向量形式:__________________________________________.當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號(hào)成立.設(shè)是兩個(gè)向量,則||·|||·|≤第4頁(yè)(3)二維形式三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2∈R,那么________________________________________

第5頁(yè)2.普通形式柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實(shí)數(shù),則________________________________________________.當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2第6頁(yè)3.排序不等式設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn任一排列,則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________≤a1b1+a2b2+…+anbn.a1c1+a2c2+…+ancn第7頁(yè)4.數(shù)學(xué)歸納法普通地,當(dāng)要證實(shí)一個(gè)命題對(duì)于大于某正整數(shù)n0全部正整數(shù)n都成立時(shí),能夠用以下兩個(gè)步驟:(1)證實(shí)當(dāng)____時(shí),命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,且k≥n0)時(shí),命題成立.證實(shí)______時(shí),命題也成立.n=n0n=k+1第8頁(yè)【易錯(cuò)警示】

關(guān)注數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用時(shí)常出現(xiàn)三個(gè)錯(cuò)誤(1)對(duì)假設(shè)設(shè)而不用.(2)機(jī)械套用數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟致誤.(3)沒(méi)有搞清從k到k+1跨度.第9頁(yè)＜1-＜.類型一利用柯西不等式證實(shí)不等式【典例1】若n是大于2正整數(shù),求證:第10頁(yè)【證實(shí)】1-所以求證式等價(jià)于<<.第11頁(yè)由柯西不等式,有[(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2,于是>==≥=.第12頁(yè)＜1-＜.又由柯西不等式,有所以第13頁(yè)【方法技巧】利用柯西不等式證題技巧(1)柯西不等式普通形式為(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式簡(jiǎn)練、美觀、對(duì)稱性強(qiáng),靈活地利用柯西不等式,能夠使一些較為困難不等式證實(shí)問(wèn)題迎刃而解.第14頁(yè)(2)利用柯西不等式證實(shí)其它不等式關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)兩組數(shù),并向著柯西不等式形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用時(shí)要注意體會(huì).第15頁(yè)【變式訓(xùn)練】1.設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=3,求證:第16頁(yè)【解題指南】利用柯西不等式向量形式,目標(biāo)式左邊應(yīng)是兩個(gè)向量數(shù)量積.因?yàn)樽兞縜,b,c系數(shù)都相等,由整體性可結(jié)構(gòu)向量m=(),n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得證.第17頁(yè)【證實(shí)】令m=(),n=(1,1,1),則m·n=而|m|=又|n|=,由|m·n|≤|m||n|,得所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),等號(hào)成立.第18頁(yè)2.已知正數(shù)x,y,z滿足5x+4y+3z=10.(1)求證:(2)求最小值.第19頁(yè)【解析】(1)依據(jù)柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)]≥(5x+4y+3z)2,因?yàn)?x+4y+3z=10,所以第20頁(yè)(2)依據(jù)基本不等式,得當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2+z2時(shí),等號(hào)成立.依據(jù)柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.綜上,≥2×32=18.第21頁(yè)類型二利用排序不等式證實(shí)不等式【典例2】設(shè)A,B,C表示△ABC三個(gè)內(nèi)角弧度數(shù),a,b,c表示其對(duì)邊,求證:第22頁(yè)【證實(shí)】方法一:不妨設(shè)A>B>C,則有a>b>c由排序原理:次序和≥亂序和所以aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC第23頁(yè)上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)所以第24頁(yè)方法二:不妨設(shè)A>B>C,則有a>b>c,由排序不等式即aA+bB+cC≥(a+b+c),所以第25頁(yè)【延伸探究】在本例條件下,你能證實(shí)嗎?第26頁(yè)【證實(shí)】能.由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,有0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC).得第27頁(yè)【方法技巧】利用排序不等式證實(shí)不等式策略(1)在利用排序不等式證實(shí)不等式時(shí),首先考慮結(jié)構(gòu)出兩個(gè)適當(dāng)有序數(shù)組,并能依據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合.這需要結(jié)合題目標(biāo)已知條件及待證不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇.第28頁(yè)(2)依據(jù)排序不等式特點(diǎn),與多變量間大小次序相關(guān)不等式問(wèn)題,利用排序不等式處理往往很簡(jiǎn)捷.第29頁(yè)【變式訓(xùn)練】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,證實(shí):當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí),等號(hào)成立.第30頁(yè)【證實(shí)】不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.則由排序原理得:a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2……第31頁(yè)a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.將上述n個(gè)式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)上式兩邊除以n2,得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)成立.第32頁(yè)類型三利用柯西不等式和排序不等式求最值【典例3】(1)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+3z2=3,求u=x+2y+3z最小值和最大值.(2)設(shè)a1,a2,a3,a4,a5是互不相同正整數(shù),求M=a1+最小值.第33頁(yè)【解析】(1)因?yàn)?x+2y+3z)2=(x·1+y·+z·)2≤[x2+(y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.第34頁(yè)當(dāng)且僅當(dāng),即x=y=z時(shí),等號(hào)成立.所以-3≤x+2y+3z≤3,即u最小值為-3,最大值為3.第35頁(yè)(2)設(shè)b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5一個(gè)排列,且b1<b2<b3<b4<b5.所以b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.又1≥由排序不等式,得第36頁(yè)即M最小值為第37頁(yè)【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值技巧(1)相關(guān)不等式問(wèn)題往往要包括對(duì)式子或量范圍限定,其中含有多變量限制條件最值問(wèn)題往往難以處理.在這類題目中,利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較輕易.第38頁(yè)(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí),要關(guān)注等號(hào)成立條件,不能忽略.第39頁(yè)【變式訓(xùn)練】1.設(shè)x1,x2,x3,x4是2,3,4,5任一排列,則2x1+3x2+4x3+5x4最小值是_________.【解析】反序和最小,即最小值為2×5+3×4+4×3+5×2=44.答案:44第40頁(yè)2.已知|x|≤1,|y|≤1,試求x+y最大值.【解析】由柯西不等式得x+y

當(dāng)且僅當(dāng)xy=即x2+y2=1時(shí),等號(hào)成立,所以x+y最大值為1.第41頁(yè)類型四用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)恒等式【典例4】用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí):12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).第42頁(yè)【證實(shí)】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12-22=-3,右邊=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),第43頁(yè)則當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],第44頁(yè)即當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.由(1)(2)可知,對(duì)任何n∈N+,等式都成立.第45頁(yè)【方法技巧】利用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)恒等式方法用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)恒等式關(guān)鍵是證實(shí)n=k+1時(shí)命題成立,從n=k+1待證目標(biāo)恒等式一端“拼湊”出歸納假設(shè)恒等式一端,再利用歸納假設(shè)即可.同時(shí)應(yīng)注意目標(biāo)恒等式另一端改變(即用k+1代替恒等式中n).第46頁(yè)【變式訓(xùn)練】1.用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí):(n∈N+).【證實(shí)】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-,右邊=,等式成立.第47頁(yè)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)等式成立,即當(dāng)n=k+1時(shí),第48頁(yè)所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由(1)(2)可知,對(duì)于任意n∈N+等式都成立.第49頁(yè)2.是否存在常數(shù)a,b,使得2+4+6+…+(2n)=an2+bn對(duì)一切n∈N+恒成立?若存在,求出a,b值,并用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí),若不存在,說(shuō)明理由.第50頁(yè)【解析】取n=1和2,

即2+4+6+…+(2n)=n2+n.以下用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí):(1)當(dāng)n=1時(shí),已證.第51頁(yè)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N+)時(shí)等式成立,即2+4+6+…+(2k)=k2+k,那么,當(dāng)n=k+1時(shí)有2+4+6+…+(2k)+(2k+2)=k2+k+(2k+2)=(k2+2k+1)+(k+1)=(k+1)2+(k+1),第52頁(yè)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.依據(jù)(1)(2)知,存在使得對(duì)任意n∈N+,等式都成立.第53頁(yè)類型五利用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式【典例5】設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),n∈N+.求證:第54頁(yè)【證實(shí)】(1)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),不等式成立,即要證實(shí)n=k+1時(shí),不等式成立,即證實(shí):第55頁(yè)在兩邊同時(shí)乘以得要證實(shí)只需證實(shí)因?yàn)榈?6頁(yè)?2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)?2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0?ak+1-abk-