核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革專題省名師優(yōu)質(zhì)課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

關(guān)鍵素養(yǎng)理念下

數(shù)學(xué)教學(xué)變革

人民教育出版社章建躍zhangjy@第1頁一、數(shù)學(xué)課改關(guān)鍵任務(wù)十八大提出“教育根本任務(wù)在于立德樹人”就是整個教育改革關(guān)鍵任務(wù)。數(shù)學(xué)教育關(guān)鍵任務(wù)是“數(shù)學(xué)育人”。怎樣把這個要求在數(shù)學(xué)教育中落實下來，抓手在哪里？第2頁教育部頂層設(shè)計，數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹人”是“以數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵素養(yǎng)為綱”。義教課標(biāo)中提出了八個“關(guān)鍵概念”：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想；高中課標(biāo)修訂組深入提煉了六個數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)課改關(guān)鍵任務(wù)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵素養(yǎng)，要有詳細(xì)辦法，要把數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵素養(yǎng)落實在數(shù)學(xué)教育各個步驟。第3頁二、關(guān)于落實關(guān)鍵素養(yǎng)思索“學(xué)科育人”要依靠學(xué)科內(nèi)在力量?！皵?shù)學(xué)育人”要用數(shù)學(xué)方式，在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，并使它們在數(shù)學(xué)教育各個步驟中發(fā)揮作用。增強課程意識，把握教改方向，明確數(shù)學(xué)育人目標(biāo)，提升數(shù)學(xué)育人實效性，提升教育教學(xué)質(zhì)量。第4頁問題思索數(shù)學(xué)課程育人力量是什么？什么叫“數(shù)學(xué)方式”？一線教師課程意識是怎樣表現(xiàn)？第5頁一線教師課程意識（1）我教是一門怎樣課——課程性質(zhì)（2）這門課能發(fā)揮怎樣育人功效，在學(xué)生發(fā)展中不可替換作用是什么——課程目標(biāo)（3）怎樣教這門課——課程實施（4）這么教在多大程度上實現(xiàn)了它育人功效——課程評價第6頁數(shù)學(xué)是一門怎樣課？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，經(jīng)過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等了解和表示現(xiàn)實世界中事物本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律。——課標(biāo)如是說。第7頁數(shù)學(xué)是思維科學(xué)，含有“追求最大程度普通性模式尤其是普通性算法傾向”，有一套含有普適性思索結(jié)構(gòu)和交流符號形式，這種結(jié)構(gòu)和符號形式是強大，富有邏輯，簡明而且準(zhǔn)確，是人們能夠借助于了解和處理周圍環(huán)境一個思維方式，包含：抽象化、利用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不停地改進、推廣，更深入地洞察內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，在更大范圍內(nèi)進行概括，建立更為普通統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)、行之有效科學(xué)方法，這是在取得數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)知識體系過程中必須使用思維方式。第8頁推理是數(shù)學(xué)命根子，運算是數(shù)學(xué)“童子功”。思維訓(xùn)練載體就是推理和運算。數(shù)學(xué)是一門語言，與語文有相同特征，它有自己一套獨立符號系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)表示方式——閱讀、表示、交流工具。第9頁數(shù)學(xué)學(xué)科獨特育人功效主要在培養(yǎng)學(xué)生思維尤其是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)會思索，尤其是學(xué)會“有邏輯地思索”、創(chuàng)造性思索，使學(xué)生成為善于認(rèn)識問題、善于處理問題人才。學(xué)會嚴(yán)格邏輯推理，學(xué)會運算方法和技巧。學(xué)會使用數(shù)學(xué)語言，能用數(shù)學(xué)方式閱讀、表示和交流。第10頁以數(shù)學(xué)知識為載體發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵素養(yǎng)完整數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程：*數(shù)學(xué)研究對象取得

*研究數(shù)學(xué)對象

*應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理問題數(shù)學(xué)對象取得，要重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間聯(lián)絡(luò)，也要重視數(shù)學(xué)內(nèi)在前后一致、邏輯連貫性，從“事實”出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)過程，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)；第11頁對數(shù)學(xué)對象研究，要重視以“普通觀念”為引導(dǎo)發(fā)覺規(guī)律、取得猜測，經(jīng)過數(shù)學(xué)推理、論證證實結(jié)論（定理、性質(zhì)等）過程，提升推理、運算等素養(yǎng)；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理問題，要重視利用數(shù)學(xué)概念原理分析問題，表達(dá)建模全過程，學(xué)會分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。第12頁“兩個過程”合理性從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程合理性、學(xué)生思維過程合理性上加強思索，這是落實數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵素養(yǎng)關(guān)鍵點。前一個關(guān)鍵是數(shù)學(xué)學(xué)科思想問題，后一個是學(xué)生思維規(guī)律、認(rèn)知特點問題。第13頁以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求，依據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容，尤其是要讓主要（往往也是難以一次完成）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到重復(fù)了解機會。以“事實——概念——性質(zhì)（關(guān)系）——結(jié)構(gòu)（聯(lián)絡(luò)）——應(yīng)用”為明線；以“事實——方法——方法論——數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線。第14頁從數(shù)學(xué)思維、思想或關(guān)鍵素養(yǎng)角度看“事實——概念”主要是“抽象”（對經(jīng)典而豐富詳細(xì)事例進行觀察、比較、分析，歸納共性，抽象出共同本質(zhì)特征，并推廣到同類事物中去而得出概念）；“概念——性質(zhì)”主要是“推理”，包含經(jīng)過歸納推剪發(fā)覺性質(zhì)，經(jīng)過（邏輯）演繹推理證實性質(zhì)；“性質(zhì)——結(jié)構(gòu)”主要也是“推理”，是建立相關(guān)知識之間聯(lián)絡(luò)而形成結(jié)構(gòu)功效良好、遷移能力強大數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)過程；“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)——應(yīng)用”主要是“建?！?，是用數(shù)學(xué)知識處理數(shù)學(xué)內(nèi)外問題。第15頁強調(diào)取得“事實”教育價值“數(shù)學(xué)事實”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“原材料”，也是數(shù)學(xué)育人首要素材；真正學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷“感知—感悟—知識”過程；以“事實”為支撐概念了解才是真理解，才能形成對概念本質(zhì)深刻體悟，教學(xué)應(yīng)從讓學(xué)生取得數(shù)學(xué)事實開始。第16頁增加概括概念、發(fā)覺性質(zhì)所需素材，提供豐富、真實應(yīng)用問題；調(diào)動全部感官參加學(xué)習(xí)，安排動眼觀察、動手操作、動腦思索實踐活動，使學(xué)生經(jīng)過自主活動獲取了解概念所需“事實”；增加“悟”時間，長時間“悟”，然后是有所體驗、有所心得、有所發(fā)覺。第17頁在整個教學(xué)過程中，都要發(fā)揮“普通觀念”作用，加強“怎樣思索”、“怎樣發(fā)覺”啟發(fā)和引導(dǎo)，尤其是在概念抽象要做什么、“幾何性質(zhì)”“代數(shù)性質(zhì)”“函數(shù)性質(zhì)”指什么等問題上要及時引導(dǎo)，以使學(xué)生明確思索方向。第18頁教師專業(yè)發(fā)展水平和育人能力

是落實關(guān)鍵素養(yǎng)關(guān)鍵了解數(shù)學(xué)了解學(xué)生了解教學(xué)當(dāng)前主要問題是教師在“了解數(shù)學(xué)”上不用功，數(shù)學(xué)水平不高造成數(shù)學(xué)課教不好數(shù)學(xué)，甚至數(shù)學(xué)課不教數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)越來越難學(xué)，使學(xué)生越學(xué)越糊涂。第19頁了解數(shù)學(xué)知識三重境界

知其然知其所以然何由以知其所以然——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！第20頁三、系統(tǒng)觀指導(dǎo)下數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)觀內(nèi)涵：整體性——把研究對象看成一個整體，從整體出發(fā)，在組成系統(tǒng)各要素相互關(guān)系中探究研究對象本質(zhì)和規(guī)律。層次性——系統(tǒng)是由要素組成整體；每個系統(tǒng)又是它上位系統(tǒng)組成要素，由此組成含有層級關(guān)系整體，這就是層次性。先把握基本要素，再看要素組成子系統(tǒng)，然后再看子系統(tǒng)組成上位系統(tǒng)……這么才能含有思想性、觀念性。第21頁聯(lián)絡(luò)性系統(tǒng)和系統(tǒng)之間、各要素之間、系統(tǒng)和要素之間是相互聯(lián)絡(luò)、相互作用。任何事物都由若干部分、要素組成，各部分、要素相互依存、相互聯(lián)絡(luò)。只有這么，事物才能成為有機整體。任何事物都與周圍其它事物相互聯(lián)絡(luò)著，包含橫向聯(lián)絡(luò)和縱向聯(lián)絡(luò)。第22頁目標(biāo)性數(shù)學(xué)育人目標(biāo)有一個從宏觀到微觀層級系統(tǒng)。教學(xué)設(shè)計應(yīng)該把教學(xué)過程看成含有一定發(fā)展規(guī)律和趨勢系統(tǒng)，在宏觀目標(biāo)指導(dǎo)下分析詳細(xì)目標(biāo)和內(nèi)容，要注意把宏觀目標(biāo)落實在詳細(xì)課堂中，使每一堂課都為到達(dá)宏觀目標(biāo)服務(wù)。問題：數(shù)學(xué)育人目標(biāo)層級系統(tǒng)是怎樣？第23頁宏觀到微觀目標(biāo)體系教育方針課程目標(biāo)單元目標(biāo)課時目標(biāo)課堂教學(xué)中，三維目標(biāo)融為一體，內(nèi)容為載體，過程中表達(dá)思想方法、思維能力，挖掘內(nèi)容所蘊含育人資源，實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)逐步提升。第24頁當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在主要問題依然是：碎片化教學(xué)，做題目成為一切，充其量只是培養(yǎng)了做題目標(biāo)機器。從數(shù)學(xué)育人出發(fā)點和歸宿看，思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生理性思維，發(fā)展學(xué)生理性精神，這是根本。問題是：依靠什么來實現(xiàn)？教學(xué)內(nèi)容整體性——載體；系統(tǒng)思維——目標(biāo)；單元教學(xué)——路徑。第25頁單元教學(xué)組織要義整體——局部——整體前一個“整體”是先行組織者，認(rèn)識結(jié)構(gòu)、普適性思想方法、處理問題策略，等等?！熬植俊笔菍?shù)學(xué)對象內(nèi)涵、要素、概念定義和表示、分類、性質(zhì)、特例……研究，在這個過程中加強“怎樣歸納、抽象概念”、“怎樣發(fā)覺值得研究問題”、“怎樣研究性質(zhì)”、“怎樣找到證實方法”……引導(dǎo)。第26頁后一個“整體”，在分課時學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上歸納、總結(jié)，不但完善本單元知識結(jié)構(gòu)，而且建立與相關(guān)知識聯(lián)絡(luò)，形成結(jié)構(gòu)功效良好、遷移能力強認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第27頁系統(tǒng)觀指導(dǎo)下單元教學(xué)設(shè)計平面向量起始課課標(biāo)要求：構(gòu)建研究平面向量基本線索，了解平面向量實際背景，了解平面向量意義和兩個向量相等含義，了解平面向量幾何表示和基本要素。教學(xué)設(shè)計要求：表達(dá)先行組織者思想，要在數(shù)學(xué)整體觀指導(dǎo)下，構(gòu)建研究一個數(shù)學(xué)對象（平面向量）基本線索，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建平面向量概念。提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)。第28頁先行組織者：構(gòu)建研究路徑“平面向量”是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)典“新對象”：既是幾何研究對象，也是代數(shù)研究對象，是溝通幾何與代數(shù)橋梁；向量理論是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題基本工具。問題思索：①“幾何對象”指什么？“代數(shù)對象”指什么？②向量是怎樣基本工具，怎樣使它好用？——方向很主要，方向怎樣“運算”是關(guān)鍵。第29頁研究路徑是什么？怎樣構(gòu)建？背景引入概念定義、表示、性質(zhì)（要素之間特殊關(guān)系）運算和運算律（引進一個量就要定義運算，定義一個運算就要研究運算律）向量基本定理及坐標(biāo)表示應(yīng)用問題思索：①章引言怎么用？②“研究路徑”非出不可，什么時候出？開頭、中間或結(jié)尾？第30頁“取得向量概念”要做哪些事？取得研究對象：定義向量概念，認(rèn)識“平面向量集合”中元素?，F(xiàn)實背景（力、速度、位移等）——定義——表示（圖形、符號、方向、大?。乩阆蛄俊挝幌蛄浚再|(zhì)（向量與向量關(guān)系，相等是最主要關(guān)系；重點考慮“方向”，所以先有平行、共線、相反向量；等等）。第31頁延伸問題：怎樣定義向量加法？現(xiàn)有大小，又有方向——“方向”怎樣相加？“位移”是最好模型，得到“三角形法則”；接下來研究什么問題？定義a+0=0+a=a（完備性）；向量加法性質(zhì)：特例（共線）、三角形不等式；運算律。第32頁四、構(gòu)建研究幾何對象整體思緒立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體形狀、大小與位置關(guān)系。位置關(guān)系：用數(shù)學(xué)語言表述相關(guān)平行、垂直性質(zhì)與判定，并對一些結(jié)論進行論證；研究方法：直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等。第33頁總體目標(biāo)：認(rèn)識和探索空間圖形概念、判定和性質(zhì)，建立空間觀念；提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。位置關(guān)系詳細(xì)內(nèi)容：點、直線、平面作為“基本圖形”，四個基本事實（平面三公理，平行公理）、一個等角定理；直線、平面平行和垂直判定、性質(zhì)。第34頁1.平面三公理課標(biāo)要求：借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面位置關(guān)系基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面位置關(guān)系定義，了解三個公理。教學(xué)設(shè)計要求：要引導(dǎo)學(xué)生體會刻畫空間中點、直線、平面基本特征（如平面“平”）方法，要注意“三種語言”訓(xùn)練，建立空間觀念，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。第35頁問題1“平面三公理”內(nèi)容是什么？它數(shù)學(xué)功效是什么？問題2從中能體會刻畫平面“平”數(shù)學(xué)思想方法嗎？問題3在了解點、直線、平面位置關(guān)系過程中，作圖作用是什么？第36頁2.關(guān)于位置關(guān)系性質(zhì)什么叫“性質(zhì)”？——只有明白了這個問題，才能使學(xué)生在獨立面對一個數(shù)學(xué)對象時知道從哪里下手研究性質(zhì)，才能使學(xué)生自主探究，才能使發(fā)覺問題、提出問題能力培養(yǎng)落在實處。這么，關(guān)鍵素養(yǎng)落實也就自然而然、水到渠成。第37頁“性質(zhì)就是一類事物共有特征”，正確但過于宏觀，在詳細(xì)思索中沒有可操作性，需要針對詳細(xì)內(nèi)容進行歸納。比如：運算中不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)——研究代數(shù)性質(zhì)，“算算看”是基本方法；改變中不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)——研究函數(shù)性質(zhì)，在運動改變中進行觀察是基本方法；要素和要素之間確定關(guān)系就是性質(zhì)——觀察幾何圖形組成要素之間相互關(guān)系（位置關(guān)系、大小關(guān)系等）是研究幾何性質(zhì)基本方法；……第38頁幾何性質(zhì)分類幾何問題能夠分為兩大類：

幾何圖形結(jié)構(gòu)特征幾何圖形位置關(guān)系幾何圖形性質(zhì)：一個幾何圖形組成要素、相關(guān)要素之間相互關(guān)系（定性、定量）；位置關(guān)系性質(zhì)：點、直線、平面位置關(guān)系，關(guān)鍵是平行、垂直，距離、角度、對稱等是刻畫位置關(guān)系基本方法。第39頁什么叫“幾何體結(jié)構(gòu)特征”？結(jié)構(gòu)特征就是這類幾何對象（如棱柱）組成要素之間確定關(guān)系。結(jié)構(gòu)特征有各種表現(xiàn)形式，選刻畫這類對象充要條件作為定義（包含要素關(guān)系盡可能少），作為研究出發(fā)點，其它特征作為性質(zhì)。定義——充要條件；性質(zhì)——必要條件；判定——充分條件（研究直線垂直于平面判斷，就是探究什么條件能確保垂直）。第40頁思索：位置關(guān)系性質(zhì)怎樣表現(xiàn)？比如：兩條直線平行，從“同位角相等”、“內(nèi)錯角相等”以及“同旁內(nèi)角互補”能夠想到，這時“性質(zhì)”是與“第三條直線”組成某種關(guān)系——平行、相交，相交時又形成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定這些角之間有什么確定關(guān)系。從方法論高度，研究兩個幾何元素（兩條直線）某種位置關(guān)系（平行）性質(zhì)，就是探索在這種位置關(guān)系下兩個幾何元素與同類幾何元素之間是否形成確定關(guān)系。詳細(xì)方法是讓“同類元素”動起來，看“改變中不變性”。第41頁空間中直線、平面垂直關(guān)系課標(biāo)要求：探索空間直線與平面、平面與平面垂直性質(zhì)，如：垂直于同一個平面兩條直線平行；垂直于同一條直線兩個平面平行；兩個平面垂直，假如一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面交線，那么這條直線與另一個平面垂直；等等。第42頁教學(xué)設(shè)計要求：在明確“什么是圖形位置關(guān)系性質(zhì)”基礎(chǔ)上，經(jīng)過類比直線、平面“平行關(guān)系”性質(zhì)，從整體上提出“垂直關(guān)系性質(zhì)”猜測。選擇“垂直于同一個平面兩條直線平行”等經(jīng)典猜測給出證實。要表達(dá)研究幾何問題“基本套路”，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)第43頁這么處理有什么好處？完整、統(tǒng)一處理方案，立意高，思想性強，“數(shù)學(xué)味”濃；反應(yīng)數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程，是自然而水到渠成；探索性更強，能更加好地落實“發(fā)覺和提出問題能力、分析和處理問題能力培養(yǎng)”，創(chuàng)造性也更強；第44頁符合數(shù)學(xué)思維規(guī)律，表達(dá)數(shù)學(xué)整體觀，使性質(zhì)發(fā)覺含有必定性，能給學(xué)生更多智慧啟迪，思維教學(xué)愈加到位；更能表達(dá)學(xué)習(xí)自主性，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性。第45頁學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)過直線、平面平行判定及其性質(zhì)，已經(jīng)了解了研究一個幾何位置關(guān)系“基本套路”：從判定到性質(zhì)，性質(zhì)內(nèi)容、過程和方法，所以與學(xué)生認(rèn)知準(zhǔn)備相適應(yīng)。當(dāng)前問題是對“什么叫判定”、“什么叫性質(zhì)”歸納不夠，造成學(xué)生盲目探究，無邏輯猜測，使發(fā)覺和提出猜測成為偶然。為何能夠這么做？第46頁直線與平面垂直性質(zhì)問題串一、復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直定義及判定定理，請大家回顧一下內(nèi)容和研究思緒。二、引入新課研究了直線與平面垂直判定，你以為接下來我們研究什么？——性質(zhì)追問：詳細(xì)地，就是要研究什么？——以“直線與平面垂直”為條件能推出什么結(jié)論。第47頁定義既能夠作為判定，又能夠作為性質(zhì)。另外，還有其它性質(zhì)嗎？怎樣發(fā)覺性質(zhì)？（學(xué)生沒有思緒時）回顧直線與平面平行性質(zhì)研究過程，它是從什么角度入手發(fā)覺？類比一下，你以為怎樣入手？教師引導(dǎo)：平行性質(zhì)研究，是以直線a與平面α平行為條件，借助經(jīng)過直線a平面β，發(fā)覺a與α、β交線b平行，而且這個平行關(guān)系不會隨β改變而改變，從而得到了一條線面平行性質(zhì)。仿照上面歸納，你能說說平面與平面平行性質(zhì)是怎樣發(fā)覺嗎？第48頁你能總結(jié)一下怎樣研究一個位置關(guān)系性質(zhì)了嗎？平行關(guān)系性質(zhì)，就是以線面、面面平行為條件，經(jīng)過考查它們與另一條直線、另一個平面形成關(guān)系中，有哪些不變特征。接下來，類比直線與平面平行性質(zhì)研究思緒和方法，先獨立思索、探究，得出結(jié)果后再相互交流、討論。要求：把你發(fā)覺線面垂直性質(zhì)總結(jié)提煉出來，并用圖形語言和符號語言表示。第49頁五、認(rèn)知觀指導(dǎo)下概念教學(xué)了解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首要任務(wù)。了解概念主要靠歸納思維，概念教學(xué)要用歸納式。概念教學(xué)要遵照一定之規(guī)，這是由數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知概念思維過程所決定。概念課教學(xué)設(shè)計，主要任務(wù)是：選擇經(jīng)典豐富詳細(xì)實例，設(shè)計歸納詳細(xì)實例共同特征、抽象出本質(zhì)特征，并概括到同類事物中去過程。第50頁概念教學(xué)基本步驟背景引入——借助詳細(xì)事例，從數(shù)學(xué)概念體系發(fā)展過程或處理實際問題需要引入概念；共性歸納——提供經(jīng)典豐富詳細(xì)例證，進行屬性分析、比較、綜合，歸納不一樣例證共同特征；下定義——明確本質(zhì)屬性，給出準(zhǔn)確數(shù)學(xué)語言描述（文字、符號）；第51頁概念辨析——以實例為載體分析關(guān)鍵詞含義（恰當(dāng)使用反例）；概念鞏固應(yīng)用——用概念作判斷詳細(xì)事例，形成用概念作判斷詳細(xì)步驟；概念“精巧”——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念聯(lián)絡(luò)。第52頁函數(shù)概念教學(xué)課標(biāo)要求：在初中用變量之間依賴關(guān)系描述函數(shù)基礎(chǔ)上，用集合與對應(yīng)關(guān)系語言刻畫函數(shù)，建立完整函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中作用。教學(xué)設(shè)計要求：要表達(dá)以概念形成方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念基本步驟，經(jīng)過適當(dāng)問題情境引導(dǎo)學(xué)生體會深入學(xué)習(xí)函數(shù)概念必要性，體會用集合對應(yīng)語言刻畫函數(shù)概念思想方法。提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。第53頁“了解數(shù)學(xué)”（課標(biāo)說）函數(shù)是當(dāng)代數(shù)學(xué)最基本概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律最基本數(shù)學(xué)模型和工具，有廣泛實際應(yīng)用。從“刻畫變量之間依賴關(guān)系數(shù)學(xué)模型和工具”到“實數(shù)集合之間對應(yīng)關(guān)系”；高中函數(shù)概念強調(diào)了定義域和對應(yīng)關(guān)系；對應(yīng)關(guān)系指是對應(yīng)結(jié)果，而不是對應(yīng)過程；“y=f(x)，x∈A”是一個整體。第54頁怎樣設(shè)計歸納過程以概念形成方式，要完成“實例——共性歸納——定義——辨析——簡單應(yīng)用”過程。其中，對“事實”分析、共性歸納是關(guān)鍵之一，“辨析”又是一個關(guān)鍵。第55頁認(rèn)真講好三個實例有解析式，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注x在哪個范圍取值，比如“炮彈距離地面高度h隨時間t改變而改變規(guī)律是h=130t-5t2，經(jīng)過26s落地”，應(yīng)該問：①時間t改變范圍是什么？②問題“100s時對應(yīng)高度是多少”有沒有意義？——沒有意義了，因為炮彈發(fā)射過程在26s時已經(jīng)結(jié)束。③你認(rèn)為怎樣描述才能真實反應(yīng)炮彈發(fā)射過程？第56頁臭氧空洞面積改變圖第57頁（1）時間改變范圍是什么？空洞面積s改變范圍是什么？（2）s是t函數(shù)嗎？為何？——不能僅僅以“因為任意一個時間t都有唯一一個面積s與之對應(yīng)”了事，應(yīng)該讓學(xué)生在圖上找出來，再借助信息技術(shù)，把對于過程表示出來！（3）從所給圖中能回答“年對應(yīng)臭氧空洞面積是多少”嗎？（4）這是一個函數(shù)，有解析式嗎？假如讓你表示出這個函數(shù)，你會怎么做？把這個圖搬出來嗎？——符號意識，s=f(t)呼之欲出。第58頁恩格爾系數(shù)改變表時間（年）9192939495969798990001恩格爾系數(shù)(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9第59頁（1）這個表格中，時間改變范圍是什么？能不能用[1991,]表示？恩格爾系數(shù)改變范圍是什么？（能夠是[0.37,0.54]，其實是（0,1））（2）由這個表格，能判斷恩格爾系數(shù)是不是年份函數(shù)？你能說清楚到底是怎么對應(yīng)嗎？（3）由這個表格，能得到年恩格爾系數(shù)嗎？（4）這是一個函數(shù)，有解析式嗎？假如讓你表示出這個函數(shù)，你會怎么做？把這個表搬出來嗎？——符號意識，設(shè)恩格爾系數(shù)為w，年份為t，w=f(t)呼之欲出。第60頁歸納共同特征它們都是函數(shù)，有什么共同特征？——數(shù)集A，B，一個對應(yīng)關(guān)系；對應(yīng)關(guān)系表示形式不一樣（解析式、圖、表），但本質(zhì)一樣：對于集合A中任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一一個數(shù)與之對應(yīng)。怎樣簡捷地表示出來？——用符號化表示是數(shù)學(xué)智慧，數(shù)學(xué)家是這么做：

f：A→B

x→y=f(x)第61頁怎樣辨析概念

第62頁還能夠讓學(xué)生依據(jù)解析式構(gòu)建實際問題或數(shù)學(xué)問題，如：（1）y=x2，x∈R——任意一個實數(shù)對應(yīng)于它平方；（2）y=x2，x∈(0,10]——正方形邊長x對應(yīng)于它面積；（3）y=x(10－x)，x∈(0,10]——長方形邊長之和為20，一邊長x對應(yīng)于它面積；……第63頁從函數(shù)到三角函數(shù)課標(biāo)要求：借助單位圓了解任意角三角函數(shù)定義。教學(xué)設(shè)計要求：在“函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和改變規(guī)律最主要數(shù)學(xué)模型”觀念下，表達(dá)用函數(shù)描述周期運動現(xiàn)象、建立三角函數(shù)模型完整過程，使學(xué)生了解三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系特征。提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。第64頁（一）三角函數(shù)發(fā)展史概述三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運而生，到托勒密出版《數(shù)學(xué)匯編》，希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上應(yīng)用到達(dá)頂峰。這部著作中有大量三角恒等變形問題，包含和（差）角公式、和差化積公式等，證實采取了初等幾何方法。三角學(xué)發(fā)展與天文學(xué)相互交織，且服務(wù)于天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開始從天文學(xué)里分離出來，并成為數(shù)學(xué)一個分支。第65頁為了應(yīng)付航海、天文、測量等實踐之需，制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究關(guān)鍵工作。因為在制作過程中需要大量三角恒等變形，所以三角恒等變形問題占據(jù)了主要地位。伴隨對數(shù)創(chuàng)造，尤其是微積分創(chuàng)建，三角函數(shù)表制作變得輕而易舉，繁雜三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)主要三角公式也風(fēng)光不再。第66頁（二）三角函數(shù)課程與時俱進從應(yīng)用角度看，應(yīng)強調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象主要數(shù)學(xué)模型地位，因為“三角函數(shù)與其它學(xué)科聯(lián)絡(luò)與結(jié)合非常主要，最主要是它與振動和波動聯(lián)絡(luò)，能夠說，它幾乎是全部高科技基礎(chǔ)之一”。在建立三角函數(shù)基本概念、認(rèn)識它基本性質(zhì)基礎(chǔ)上，對y=Asin(ωx+φ)研究很主要，實用且有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。第67頁“正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運動，親密配合周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)分析學(xué)中最為基本和主要函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)基本性質(zhì)乃是圓幾何性質(zhì)（主要是其對稱性）直接反應(yīng)。”所以，要充分發(fā)揮單位圓作用，借助單位圓性質(zhì)研究三角函數(shù)全部內(nèi)容，這有利于提升學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀想象能力。第68頁在思想、方法上，要強調(diào)函數(shù)變換（映射）與坐標(biāo)系變換及其關(guān)系、對稱性與不變性等數(shù)學(xué)主流思想和方法——有些放正文，有些能夠作為拓展。這么認(rèn)識和處理內(nèi)容，表達(dá)了三角函數(shù)性質(zhì)整體性，能夠更充分地發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵素養(yǎng)作用。第69頁要強調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何等聯(lián)絡(luò)與綜合，這能夠經(jīng)過加強三角函數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中應(yīng)用來表達(dá)，也能夠經(jīng)過用向量、復(fù)數(shù)方法重新推導(dǎo)三角變換公式等來實現(xiàn)?？傊x三角函數(shù)最好方式是利用直角坐標(biāo)系中單位圓。抓住三角函數(shù)作為刻畫勻速圓周運動數(shù)學(xué)模型，這就真正抓住了要領(lǐng)，就能以簡馭繁。第70頁（三）課標(biāo)對三角函數(shù)定位三角函數(shù)是一類最經(jīng)典周期函數(shù)。整體要求：借助單位圓建立普通三角函數(shù)概念，體會引入弧度制必要性；能夠用幾何直觀和代數(shù)運算方法研究三角函數(shù)周期性、對稱性、單調(diào)性和最值等性質(zhì)；能夠探索和研究三角函數(shù)之間一些恒等關(guān)系；能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，處理實際問題。提升數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象和運算能力以及數(shù)學(xué)建模能力。第71頁加強單位圓作用，深入突出根本和關(guān)鍵概念；表達(dá)研究一個數(shù)學(xué)對象內(nèi)容、過程和方法：概念——圖像、基本性質(zhì)（直接由定義推出，要素關(guān)系）——其它性質(zhì)（聯(lián)絡(luò)層面）——應(yīng)用（把y=Asin(ωx+φ)作為應(yīng)用、建模結(jié)果）。第72頁（四）學(xué)生認(rèn)知分析認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)習(xí)了函數(shù)普通概念、表示與性質(zhì)等，掌握了研究函數(shù)普通方法，經(jīng)過冪、指、對函數(shù)學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了研究一類函數(shù)結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過程與方法。這些函數(shù)一個共同特點是它們表示式都是代數(shù)式，是代數(shù)運算規(guī)律反應(yīng)。學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓知識，對圓幾何性質(zhì)有一定掌握，但對“圓旋轉(zhuǎn)對稱性”強調(diào)不夠。第73頁學(xué)習(xí)困難分析三角函數(shù)不以“代數(shù)運算”為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間直接對應(yīng)，不是經(jīng)過對α計算得到函數(shù)值，這是一個復(fù)雜、不良結(jié)構(gòu)情境，是主要學(xué)習(xí)難點。在“對應(yīng)關(guān)系”認(rèn)識上必須采取辦法破除定勢，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)“三要素”，尤其是要在落實“給定一個角，怎樣得到對應(yīng)函數(shù)值”操作過程基礎(chǔ)上再給定義。第74頁三角函數(shù)性質(zhì)與以往不一樣，主要表現(xiàn)在豐富對稱性上；以單位圓為媒介而建立起性質(zhì)之間豐富關(guān)聯(lián)，比如，由定義直接推出同角三角函數(shù)之間關(guān)系；結(jié)合單位圓上點運動及其坐標(biāo)改變規(guī)律（非常直觀），由定義可直接推出單調(diào)性、周期性。第75頁

第76頁（五）三角函數(shù)定義研究對象取得，從事實到概念。重視數(shù)學(xué)化過程，經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，從勻速圓周運動到單位圓上點以單位速率運動時運動規(guī)律刻畫。概念及其表示，重視認(rèn)知過程完整性，認(rèn)真處理四個問題：（1）函數(shù)現(xiàn)實背景是什么？刻畫了哪類運動改變現(xiàn)象？（2）決定這類運動改變現(xiàn)象要素是什么？（3）要素之間依賴關(guān)系是什么？（4）能夠用什么數(shù)學(xué)模型來刻畫？第77頁經(jīng)過對運動過程包括量及其關(guān)系分析，析出點坐標(biāo)隨任意角改變而改變規(guī)律；數(shù)與形表示；與銳角三角函數(shù)聯(lián)絡(luò)（在銳角范圍內(nèi)一致性）。第78頁六、了解教學(xué)——教之道在于“度”道而弗牽，強而弗抑，開而弗達(dá)。為了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，必須讓學(xué)生有實質(zhì)性數(shù)學(xué)思索。數(shù)學(xué)是思維科學(xué)，概念是思維細(xì)胞，數(shù)學(xué)思維更是用概念思維，所以數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維能力最正確載體．從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展、自然拓展過程，數(shù)學(xué)性質(zhì)合理猜測與論證過程出發(fā)，經(jīng)過適當(dāng)問題引領(lǐng)，就能實現(xiàn)這么目標(biāo)。第79頁詳細(xì)怎么做？加強普通觀念（bigidea）指導(dǎo)作用，提升思想性。經(jīng)過詳細(xì)事例歸納概括，尤其是讓學(xué)生自主、探究、交流，給學(xué)生表示機會，從表示中把握學(xué)生思維過程，捕捉生成性教學(xué)資源，并用“你是怎么想？”“你是怎么想到？”

“能把你想