數(shù)學(xué)歸納法典型例題省名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證實(shí)一些與

相關(guān)數(shù)學(xué)命題一個(gè)方法．基本步驟：①證實(shí)：當(dāng)

時(shí)，命題成立；②假設(shè)

時(shí)命題成立，證實(shí)：當(dāng)

時(shí)，命題成立．依據(jù)①②能夠斷定命題對(duì)一切正整數(shù)n≥n0都成立．

數(shù)學(xué)歸納法部分1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法正整數(shù)2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證實(shí)步驟n＝n0n＝k(k≥n0)n＝k＋1第1頁(yè)1.說(shuō)明：歸納法是一個(gè)推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)證實(shí)方法．歸納法幫助我們提出猜測(cè)，而數(shù)學(xué)歸納法作用是證實(shí)猜測(cè)．“觀察——猜測(cè)——證實(shí)”是解答與正整數(shù)相關(guān)命題有效路徑．第2頁(yè)利用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)命題范圍比較廣泛，能夠涵蓋代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等，所包括題型主要有以下幾個(gè)方面：(1)已知數(shù)列遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)由一些恒等式、不等式改編探究性問(wèn)題，求使命題成立參數(shù)值或范圍；(3)猜測(cè)并證實(shí)對(duì)正整數(shù)n都成立普通性命題．2.數(shù)學(xué)歸納法主要應(yīng)用第3頁(yè)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)對(duì)象是與正整數(shù)n相關(guān)命題．(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)中，兩個(gè)基本步驟缺一不可．3．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法注意事項(xiàng)第4頁(yè)【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋

1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．

．題型一恒等式問(wèn)題第5頁(yè)

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．依據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)任何n∈N＋都成立．證實(shí)第6頁(yè)

用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)與正整數(shù)相關(guān)等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，搞清等式兩邊組成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)多少與n取值是否相關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)．難點(diǎn)在于尋找n＝k時(shí)和n＝k＋1時(shí)等式聯(lián)絡(luò)．第7頁(yè)第8頁(yè)第9頁(yè)第10頁(yè)【例2】幾個(gè)半圓圓心在同一條直線l上，這幾個(gè)半圓每?jī)蓚€(gè)都相交，且都在直線l同側(cè)，求證這些半圓被全部交點(diǎn)最多分成圓弧段數(shù)為f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．題型二幾何問(wèn)題第11頁(yè)第12頁(yè)

用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)幾何問(wèn)題關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析，實(shí)在分析不出來(lái)情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)幾何命題一大技巧．第13頁(yè)第14頁(yè)第15頁(yè)

題型三不等式問(wèn)題第16頁(yè)第17頁(yè)第18頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)【例4】

(12分)在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，

bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}通項(xiàng)公式，并證實(shí)你結(jié)論． 歸納——猜測(cè)——證實(shí)是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，這類(lèi)問(wèn)題可分為歸納性問(wèn)題和存在性問(wèn)題，本例中歸納性問(wèn)題需要從特殊情況入手，經(jīng)過(guò)觀察、分析、歸納、猜測(cè)，探索出普通規(guī)律．題型四“歸納、猜測(cè)、證實(shí)”問(wèn)題審題指導(dǎo)第21頁(yè)第22頁(yè)第23頁(yè)【題后反思】對(duì)于已知遞推公式求通項(xiàng)公式，能夠把遞推公式變形轉(zhuǎn)化成我們熟悉知識(shí)來(lái)處理，當(dāng)用上述方法不能處理問(wèn)題時(shí)，慣用歸納、猜測(cè)和證實(shí)方法來(lái)處理問(wèn)題，用該法要求計(jì)算準(zhǔn)確，歸納、猜測(cè)正確．然后用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)猜測(cè)對(duì)任何自然數(shù)都成立．第24頁(yè)【訓(xùn)練4】設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)當(dāng)a1＝2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜測(cè)出an一個(gè)通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)a1≥3時(shí)，證實(shí)對(duì)全部n≥1，有an≥n＋2.(3)在（2）前提下，證實(shí)：第25頁(yè)(2)證實(shí)①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1時(shí)，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①②可知，對(duì)n≥1，都有an≥n＋2.（3）證實(shí)（略）學(xué)生證自己證第26頁(yè)【示例】當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，7n＋1能否被8整除？若能，用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)；若不能，請(qǐng)舉出反例．

[錯(cuò)解](1)當(dāng)n＝1時(shí)，7＋1＝8能被8整除．命題成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即7k＋1能被8整除．則當(dāng)n＝k＋1

時(shí)，7k＋1＋1＝7(7k＋1)－6不能被8整除．由(1)和(2)知，n為正奇數(shù)時(shí)，7n＋1不能被8整除．題型五整除問(wèn)題第27頁(yè)

不要機(jī)械套用數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟，而忽略了n是正奇數(shù)條件．證實(shí)前要看準(zhǔn)已知條件．[正解](1)當(dāng)n＝1時(shí)，7＋1＝8能被8整除，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即7k＋1能被8整除，則當(dāng)n＝k＋2時(shí)，7k＋2＋1＝72(7k＋1)＋1－72＝49(7k＋1)－48，因?yàn)?k＋1能被8整除，且48能被8整除，所以7k＋2＋1