湖北省黃岡市英山縣南河中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

湖北省黃岡市英山縣南河中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）

（A）一條直線

（B）一個(gè)圓（C）一個(gè)橢圓

（D）雙曲線的一支參考答案：答案：A解析：設(shè)與￠是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個(gè)平面，且斜線垂直這個(gè)平面，由過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直可知過定點(diǎn)與垂直所有直線都在這個(gè)平面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)C都在這個(gè)平面與平面的交線上，故選A2.已知正三棱柱的棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則與側(cè)面所成角的正弦值等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，則A∩B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】化簡(jiǎn)A、B兩個(gè)集合，利用兩個(gè)集合的交集的定義求出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x＞1}，A∩B={x|x＞1}，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的表示方法，兩個(gè)集合的交集的定義和求法，化簡(jiǎn)A、B兩個(gè)集合是解題的關(guān)鍵．4.“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多，對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.下圖是2017年9月到2018年2月這半年中，某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢(shì)圖.根據(jù)該走勢(shì)圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．這半年中，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化

B．這半年中，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱C.從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值參考答案：D5.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則可以是(

)．A．1

B．

C．

D．參考答案：C6.下列命題中，假命題的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D由，即，此時(shí)，則A命題為真命題；當(dāng)時(shí)，令，則，所以函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，即，則B命題為真命題；當(dāng)時(shí)，，即C命題為真命題；當(dāng)時(shí)，，所以D命題為假命題.7.已知直線平面，直線平面，下面有三個(gè)命題：①；②；③其中假命題的個(gè)數(shù)為（

）

參考答案：C8.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知為不同的直線為不同的平面，則下列說法正確的是A. B.C. D.參考答案：D10.極坐標(biāo)方程表示的曲線為（

）

A．一條射線和一個(gè)圓

B．兩條直線

C．一條直線和一個(gè)圓

D．一個(gè)圓參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則的最大值為

.參考答案：12.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為

.參考答案：略13.已知x∈R，y∈[0，5]，我們把滿足方程x2+8xsin（x+y）π+16=0的解（x，y）組成的集合記為M，則集合M中的元素個(gè)數(shù)是

．參考答案：5考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：綜合題；三角函數(shù)的求值．分析：由x2+8xsin（x+y）π+16=0，可得[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，即可得出結(jié)論．解答： 解：由題意，∵x2+8xsin（x+y）π+16=0，∴[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，∴x+4sin（x+y）π=0且cos（x+y）π=0，∴x=4，y=，，；x=﹣4，y=，，∴集合M中的元素個(gè)數(shù)是5個(gè)．故答案為：5．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．14.設(shè)是的三邊中垂線的交點(diǎn)，分別為角對(duì)應(yīng)的邊，已知參考答案：15.函數(shù)(x>0)的反函數(shù)是_____________.參考答案：（x>1）16.如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,延長(zhǎng)到使,過作圓的切線交于.若,,則_________.參考答案：17.已知集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，則能使A∩B=A成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】根據(jù)A∩B=A，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解答】解：集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A?B當(dāng)A=?時(shí)，滿足題意，此時(shí)k+1＞2k，解得k＜1．當(dāng)A≠?時(shí)，要使A?B成立，則，解得：綜上可得：實(shí)數(shù)k的取值范圍，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知函數(shù)．

(1）若，求曲線在處切線的斜率；

(2）求的單調(diào)區(qū)間；

(3）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由已知，．故曲線在處切線的斜率為．(Ⅱ）．

①當(dāng)時(shí)，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，由，得．在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為．

由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故不符合題意．(或者舉出反例：存在，故不符合題意．）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得．19.已知兩個(gè)無窮數(shù)列{an}，{bn}分別滿足，，其中n∈N*，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn．（1）若數(shù)列{an}，{bn}都為遞增數(shù)列，求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．（2）若數(shù)列{cn}滿足：存在唯一的正整數(shù)k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，稱數(shù)列{cn}為“k墜點(diǎn)數(shù)列”．①若數(shù)列{an}為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，求Sn．②若數(shù)列{an}為“p墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列{bn}為“q墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）由兩數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合遞推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，然后利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；（2）①根據(jù)題目條件判斷：數(shù)列{an}必為1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從第6項(xiàng)開始為首項(xiàng)7，公差為2的等差數(shù)列，求解Sn即可．②運(yùn)用數(shù)列{bn}為“墜點(diǎn)數(shù)列”且b1=﹣1，綜合判斷數(shù)列{bn}中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng)．假設(shè)存在正整數(shù)m，使得Sm+1=Tm，顯然m≠1，且Tm為奇數(shù)，而{an}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，可得m必為偶數(shù)．再運(yùn)用不等式證明m≤6，求出數(shù)列即可．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}，{bn}都為遞增數(shù)列，∴由遞推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列．∴an=2n﹣1，；

（2）①∵數(shù)列{an}滿足：存在唯一的正整數(shù)k=5，使得ak+1＜ak，且|an+1﹣an|=2，∴數(shù)列{an}必為1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從第6項(xiàng)開始為首項(xiàng)7，公差為2的等差數(shù)列，故；

②∵，即bn+1=±2bn，∴|bn|=2n﹣1，而數(shù)列{bn}為“墜點(diǎn)數(shù)列”且b1=﹣1，∴數(shù)列{bn}中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng)．假設(shè)存在正整數(shù)m，使得Sm+1=Tm，顯然m≠1，且Tm為奇數(shù)，而{an}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，∴m必為偶數(shù)．

首先證明：m≤6．若m＞7，數(shù)列{an}中（Sm+1）max=1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，而數(shù)列{bn}中，bm必然為正，否則≤﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，顯然矛盾；∴=2m﹣1﹣3．設(shè)，設(shè)，而0（m＞7），∴{dm}（m＞7）為增數(shù)列，且d7＞0，則{cm}（m＞7）為增數(shù)列，而c8＞0，∴（Tm）min＞（Sm）max，即m≤6．

當(dāng)m=6時(shí)，構(gòu)造：{an}為1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}為﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此時(shí)p=2，q=4．∴mmax=6，對(duì)應(yīng)的p=2，q=4．【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題，考查了數(shù)列遞推式，綜合考查學(xué)生運(yùn)用新定義求解數(shù)列的問題，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．20.（12分）如圖，在斜三棱柱中，，，，側(cè)面與底面ABC所成的二面角為120，E、F分別是棱、的中點(diǎn)。（Ⅰ）求與底面ABC所成的角；（Ⅱ）證明EA∥平面；（Ⅲ）求經(jīng)過、A、B、C四點(diǎn)的球的體積。參考答案：解析：（I）過作平面平面，垂足為。連接，并延長(zhǎng)交于，連接，于是為與底面所成的角。因?yàn)?，所以為的平分線又因?yàn)?，所以，且為的中點(diǎn)因此，由三垂線定理因?yàn)椋?，所以，于是為二面角的平面角，即由于四邊形為平行四邊形，得所以，與底面所成的角度為（II）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn)，連結(jié)PF。在平行四邊形中，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以而EP平面，平面，所以平面（III）解：連接。在△和△中，

△△又因?yàn)槠矫妫允恰鞯耐庑脑O(shè)球心為，則必在上，且在Rt△中，△球的體積△21.本小題滿分15分）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面⊥平面，,.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（III）若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上，二面角的余弦值為，求BM的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),AB=BC，所以,∵平面⊥平面，平面平面,∴平面PAC，∴；

………5分（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=BC=PA=,

所以O(shè)B=OC=OP=1，從而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

∴設(shè)平面PBC的法向量，由得方程組，取，∴∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為；…………