江蘇省常州市同濟(jì)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

江蘇省常州市同濟(jì)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，已知f（x）=cos（[x]﹣x），給出下列結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為π；③f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[k，k+1）（k∈Z）；④f（x）的值域?yàn)閇cos1，1]．其中正確的結(jié)論是（）A．③ B．①③ C．③④ D．②③參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】作函數(shù)f（x）=cos（[x]﹣x）的圖象，結(jié)合圖象逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【解答】解：作函數(shù)f（x）=cos（x﹣[x]）的圖象如下，①y=f（x）不是偶函數(shù)，故①不正確；②y=f（x）為周期函數(shù)，周期為1，故②不正確；③當(dāng)x∈[k，k+1）時(shí)，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，故③正確；④y=f（x）的最小值不存在，最大值為1，故④不正確；∴正確結(jié)論的序號(hào)是③，故選：A．2.函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是

（

）參考答案：C略3.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.

的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

B.

的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.

的最小正周期為D.

在上為增函數(shù)參考答案：C4.正項(xiàng)等比數(shù)列{}的公比q≠1，且，，成等差數(shù)列，則的值為（） A．

B．

C． D．或參考答案：B略5.已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，則k=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算易得的坐標(biāo)，進(jìn)而由可得它們的數(shù)量積為0，可得關(guān)于k的方程，解之可得答案．【解答】解：∵=（1，2），=（0，1），∴=（1，4），又因?yàn)?，所?k﹣8=0，解得k=8，故選C6.已知數(shù)列{}是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則為（

）A． B． C．2 D．3參考答案：D略7.設(shè)a，b均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】首先通過對(duì)數(shù)運(yùn)算可判斷出時(shí)，，得到充分條件成立；當(dāng)時(shí)，可根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求出或或，得到必要條件不成立，從而可得結(jié)果.【詳解】由，可得：，則，即可知“”是“”的充分條件由可知，則或或或可知“”是“”的不必要條件綜上所述：“”是“”的充分不必要條件本題正確選項(xiàng)：A8.在中，若，則的形狀為

（

）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等邊三角形

D．等腰直角三角形參考答案：C略9.已知f′（x）是奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是(

)A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=，由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），結(jié)合條件判斷出g′（x）的符號(hào)，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）奇函數(shù)判斷出g（x）是偶函數(shù)，由f（﹣1）=0求出g（﹣1）=0，結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性、奇偶性，再轉(zhuǎn)化f（x）＞0，由單調(diào)性求出不等式成立時(shí)x的取值范圍．【解答】解：由題意設(shè)g（x）=，則g′（x）=∵當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）﹣f（x）＞0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上為增函數(shù)，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，g（x）在（﹣∞，0）上遞減，由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，∵不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，∴或，即或，即有x＞1或﹣a＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于綜合題．10.設(shè)實(shí)數(shù)滿足：，則的最小值是（

）A．

B．

C．1

D．8參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M為BC的中點(diǎn)，D為以AC為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是

_．參考答案：12.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若，則∠C的大小為

．參考答案：∵∴根據(jù)正弦定理可得∵∴，即∵∴故答案為.

13.如圖，已知橢圓C1的中點(diǎn)在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.，若存在直線l，使得BO∥AN，求橢圓離心率的取值范圍_____________．參考答案：因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)14.設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則cosA=

．參考答案：因?yàn)?，所?/p>

15.設(shè)，，若//，則

．

參考答案：略16.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_參考答案：略17.已知A，B是圓C（為圓心）上的兩點(diǎn)，||=2，則?=．參考答案：2考點(diǎn)：向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義．專題：計(jì)算題．分析：由圓的性質(zhì)得出cos∠CAD==，由數(shù)量積的定義可得答案．解答：解：如圖所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD==，而?=AB×AC×cos∠CAD=2×AC×=2．故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的求解，涉及圓的知識(shí)和數(shù)量積的定義，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)（在x軸上方），連結(jié)PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)，且△PQF2的周長(zhǎng)為8，求橢圓C的方程；（2）若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈[，]，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：

（2）方法一：因?yàn)镻F2⊥x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y0＞0．設(shè)Q(x1，y1)．考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】本題考查解析幾何中的范圍問題，由于題中已知離心率的范圍，因此我們可以把表示為的函數(shù)，為此先求得點(diǎn)的坐標(biāo)（這里點(diǎn)是確定的，否則設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)），由向量的運(yùn)算求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得的等式，利用可化此等式為的方程，解出，即把表示為的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍．本題采用的方法是解析幾何中的基本的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力．19.在三棱柱中，⊥底面，且△為正三角形，，為的中點(diǎn)．(1)求證:直線∥平面；(2)求證:平面⊥平面；(3)求三棱錐的體積．參考答案：證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．…………1分∵D為AC中點(diǎn)，得DO為中位線，∴．…………2分

∴直線AB1∥平面BC1D………4分（2）證明：∵底面，∴……5分∵底面正三角形，D是AC的中點(diǎn)

∴BD⊥AC………………6分∵，∴BD⊥平面ACC1A1……7分,…8分（3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴==

………………10分又是底面BCD上的高

………………11分∴=??6=9

………12分20.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為.證明：.參考答案：（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）見解析；

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．B11B12

解析：（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，………1分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為………………3分（2）由題意知：，在上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又，在區(qū)間上恒成立

…………4分設(shè)，，則…5分又令，則

……6分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，即在恒成立………7分所以在單調(diào)遞增，，故，所以實(shí)數(shù)的最小值.…………………8分（3），…………9分又，所以……10分要證.即證，不妨設(shè)，即證，即證………………11分設(shè)，即證：，也就是要證：，其中，……………12分事實(shí)上：設(shè)，則，……………13分所以在上單調(diào)遞增，因此，【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)a=1時(shí)求出g′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式，，從而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)任意的恒成立，等價(jià)于對(duì)，恒成立，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最值；(3)求出直線AB的斜率為k和f′（x0），整理后把證明轉(zhuǎn)化為證明．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)在上為增函數(shù)證得結(jié)論．21.(本題滿分14分)設(shè)公差為（）的等差數(shù)列與公比為（）的等比數(shù)列有如下關(guān)系：，，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，，，求集合中的各元素之和。參考答案：解：（I）由已知Ks5u

得或

又

，

（Ⅱ）集合與集合的相同元素和為：

略22.△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求銳角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．參考答案：考點(diǎn)：二倍角的余弦；平行向量與共線向量；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：解三角形．分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，及兩向量平行時(shí)滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出關(guān)于a與c的關(guān)系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．解答： 解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB?（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣c