二次函數(shù)與一元二次方程不等式（七大題型）（原卷版）

2．3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【題型歸納目錄】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實際問題中的一元二次不等式問題題型六：不等式的恒成立與有解問題題型七：一元二次方程根的分布問題【知識點梳理】知識點一：一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識點二：二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點．知識點三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．知識點四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應先利用不等式的性質轉化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．知識點五：利用不等式解決實際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；（2）由題中給出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結合題目的實際意義確定答案．知識點六：一元二次不等式恒成立問題（1）轉化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉化為求最值問題．知識點七：簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【典型例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式例1．（2023·全國·高一專題練習）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2．（2023·廣東佛山·高一佛山市第二中學?？奸_學考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．例3．（2023·云南·高一校考期中）求解下列不等式的解集：(1)；(2)；變式1．（2023·江蘇·高一專題練習）解下列不等式：(1)；(2)；(3).【方法技巧與總結】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數(shù)為正．（2）對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．（3）求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．（4）根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖．（5）根據(jù)圖象寫出不等式的解集．題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯例4．（多選題）（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集是，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．例5．（多選題）（2023·浙江杭州·高一?？计谀┮阎P于x的不等式的解集為，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為例6．（多選題）（2023·山西運城·高一?？茧A段練習）已知一元二次方程的兩個根為，且，那么滿足的的取值有（

）A． B． C． D．變式2．（多選題）（2023·湖北恩施·高一恩施市第一中學?？茧A段練習）已知不等式的解集為或，其中，則下列選項正確的是（

）A． B．不等式的解集為或C． D．不等式的解集為或變式3．（多選題）（2023·全國·高一專題練習）已知關于x的不等式的解集為，則（

）A．B．是方程的根C．的解集為D．的解集為【方法技巧與總結】三個“二次”之間的關系（1）三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質來解決問題，關系如下：題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例7．（2023·全國·高一專題練習）解下列關于的不等式：（）；例8．（2023·全國·高一專題練習）解下列關于的不等式：().例9．（2023·山東棗莊·高一?？茧A段練習）解關于的不等式:.變式4．（2023·高一課時練習）已知.(1)當時，解關于x的不等式；(2)當時，解關于x的不等式.變式5．（2023·全國·高一專題練習）解關于x的不等式.變式6．（2023·全國·高一專題練習）解下列關于的不等式．變式7．（2023·全國·高一專題練習）解下列關于的不等式．變式8．（2023·江蘇·高一專題練習）已知，解關于的不等式．【方法技巧與總結】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）討論二次項系數(shù)：二次項若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式．（2）判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關系．（3）寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．題型四：一次分式不等式的解法例10．（2023·全國·高一課堂例題）不等式的解集為.例11．（2023·甘肅臨夏·高一校考期中）不等式的解集為.例12．（2023·云南曲靖·高一?？茧A段練習）不等式的解集是．變式9．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集為.變式10．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集為．變式11．（2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習）不等式的解集是．變式12．（2023·江蘇·高一專題練習）不等式的解集為．【方法技巧與總結】分式不等式轉化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且題型五：實際問題中的一元二次不等式問題例13．（2023·全國·高一專題練習）某地每年銷售木材約萬m3，每立方米的價格為元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬m3，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于萬元，則的取值范圍是．例14．（2023·全國·高一專題練習）甲廠以x千克/時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得利潤元．要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，則x的最小值是．例15．（2023·全國·高一專題練習）要在長為800m，寬為600m的一塊長方形地面上進行綠化，要求四周種花卉（花卉的寬度相同），中間種草皮.要求草皮的面積不少于總面積的一半，則花卉寬度的范圍是.變式13．（2023·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學?？茧A段練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300的內接矩形花園（陰影部分），則其一邊長x（單位m）的取值范圍是.變式14．（2023·全國·高一專題練習）用一段長為30的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18，要求菜園的面積不小于216，靠墻的一邊長為，其中的不等關系可用不等式(組)表示為.變式15．（2023·高一課時練習）某青年旅社有200張床位，若每床每晚的租金為50元，則可全部出租；若將出租費標準每晚提高10的整數(shù)倍，則出租的床位會減少10的相應倍數(shù)張.若要使該旅社每晚的收入超過萬元，則每個床位的定價的取值范圍是;變式16．（2023·全國·高一專題練習）汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個主要因素．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超10m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關系：，．則交通事故的主要責任方是（填“甲”或“乙”．【方法技巧與總結】利用不等式解決實際問題需注意以下四點（1）閱讀理解材料：應用題所用語言多為文字語言，而且不少應用題文字敘述篇幅較長．閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學模型，這就要求解題者領悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．（2）建立數(shù)學模型：根據(jù)（1）中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學模型，并且，建立所得數(shù)學模型與已知數(shù)學模型的對應關系，以便確立下一步的努力方向．（3）討論不等關系：根據(jù)（2）中建立起來的數(shù)學模型和題目要求，討論與結論有關的不等關系，得到有關理論參數(shù)的值．（4）作出問題結論：根據(jù)（3）中得到的理論參數(shù)的值，結合題目要求作出問題的結論．題型六：不等式的恒成立與有解問題例16．（2023·全國·高一專題練習）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．例17．（2023·全國·高一專題練習）命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為.例18．（2023·江蘇·高一專題練習）命題“,使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為．變式17．（2023·全國·高一課堂例題）當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.變式18．（2023·四川·高一?？茧A段練習）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若對任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.則t的取值范圍是.變式19．（2023·高一課時練習）已知.(1)如果對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.變式20．（2023·全國·高一專題練習）（1），求實數(shù)a的取值范圍;（2），求實數(shù)a的取值范圍.變式21．（2023·高一課時練習）已知不等式有解，求m的取值范圍．【方法技巧與總結】不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)．題型七：一元二次方程根的分布問題例19．（2023·高一?？紗卧獪y試）已知關于x的方.當為何值時，(1)方程的一個根大于1，另一個根小于1?(2)方程的一個根大于－1且小于1，另一個根大于2且小于3?例20．（2023·上海普陀·高一?？计谥校┮阎?，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)若兩根異號，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值．例21．（2023·全國·高一專題練習）已知一元二次方程．(1)寫出“方程有一個正根和一個負根”的充要條件；(2)寫出“方程有一個正根和一個負根”的一個必要而不充分條件，并給予證明．變式22．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）若，求證：方程和方程至少有一個方程有實數(shù)根.變式23．（2023·上海寶山·高一上海市行知中學校考期中）已知關于的一元二次方程，(1)若，求證：；(2)若時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結】數(shù)形結合【過關測試】一、單選題1．（2023·福建泉州·高一泉州五中?？奸_學考試）如圖，已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，對稱軸為直線．分析下列5個結論：①；②若，則；③；④為實數(shù)）；⑤為實數(shù)）．其中正確的結論個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·全國·高一專題練習）若不等式的解集為，則實數(shù)的范圍為（

）A． B．或C．或 D．3．（2023·全國·高一專題練習）若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或4．（2023·湖南張家界·高一張家界市民族中學?？茧A段練習）“”是“關于x的不等式對任意實數(shù)x恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023·江蘇·高一專題練習）若不等式的解集為，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．76．（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）關于的不等式的解集為單元素集，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或7．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一?？茧A段練習）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或8．（2023·湖南長沙·高一校聯(lián)考開學考試）甲?乙兩人解關于的不等式，甲寫錯了常數(shù)，得到的解集為；乙寫錯了常數(shù)，得到的解集為.那么原不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·福建福州·高一?？奸_學考試）已知關于的不等式的解集為或，則下列結論中，正確結論的序號是（

）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為或D．10．（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）若關于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則a的值可能為（

）A．0 B． C．1 D．11．（2023·全國·高一專題練習）已知不等式的解集為或，則下列結論正確的是（

）A．B．C．的解集為D．的解集為或12．（2023·全國·高一專題練習）關于x的不等式的解集中恰有3個正整數(shù)解，則a的值可