第5節(jié) 空間向量及其應(yīng)用

第七章立體幾何與空間向量第5節(jié)空間向量及其應(yīng)用1.了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.考試要求知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識梳理1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有______和______的量相等向量方向______且模______的向量相反向量方向______且模______的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相______或______的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量大小方向相等相同相反相等平行重合2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得__________.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在______的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝____________.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝__________________，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空間向量的數(shù)量積［0，π］互相垂直(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝________________.(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.|a||b|cos〈a，b〉4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝05.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l____________，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.平行或重合6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?________________直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?____________l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?________________u1·u2＝0u·n＝0n1·n2＝0[常用結(jié)論]1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(

)(3)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.(

)(4)若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角.(

)(5)若兩平面的法向量平行，則不重合的兩平面平行.(

)×診斷自測×××√解析(1)直線的方向向量不是唯一的，有無數(shù)多個(gè).(2)a⊥α.(3)若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，不能構(gòu)成空間一個(gè)基底.(4)若〈a，b〉＝π，則a·b<0，故(4)不正確.3.(選修一P22T2改編)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，則x＝________.解析因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝－8－2＋3x＝0，4.正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長為________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算及共線、共面定理例1

(1)(多選)已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，則下列四式中正確的有(

)ABCCD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此時(shí)向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時(shí)，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正確；感悟提升

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).∴四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而M在平面ABC內(nèi).考點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用

由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確.感悟提升訓(xùn)練2

如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

(2)求BD1與AC夾角的余弦值.考點(diǎn)三利用空間向量證明(判斷)平行與垂直例3

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明： (1)BE⊥DC；證明依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).

(2)BE∥平面PAD；證明

因?yàn)锳B⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.

(3)平面PCD⊥平面PAD.設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)為平面PCD的一個(gè)法向量.1.利用向量法證明(判斷)平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素).2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.感悟提升

訓(xùn)練3

(2021·浙江卷)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點(diǎn)，則(

)A.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1解析法一以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)AB＝2，則A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，A

所以A1D⊥D1B.又直線A1D與D1B是異面直線，所以直線A1D與D1B異面且垂直，故B，C不正確；因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為n＝(0，0，1)，

設(shè)直線MN與平面BB1D1D所成的角為θ，因?yàn)槠矫鍮DD1B1的一個(gè)法向量為a＝(－1，1，0)，所以直線MN與平面BB1D1D不垂直，故D不正確.故選A.

法二連接AD1(圖略)，則易得點(diǎn)M在AD1上，且M為AD1的中點(diǎn)，AD1⊥A1D.因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1?平面ABD1，顯然A1D與BD1異面，所以A1D與BD1異面且垂直.在△ABD1中，由中位線定理可得MN∥AB，又MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BB1D1D成45°角，所以MN與平面BB1D1D不垂直.所以選項(xiàng)A正確.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3B【A級

基礎(chǔ)鞏固】解析因?yàn)閎＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.A解析由題意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，D4.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝(

) A.9 B.－9 C.－3 D.3

解析

由題意知c＝xa＋yb，

即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，BA解析(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos60°＝5，

D又O是正方形ABCD對角線交點(diǎn)，∴M為線段EF的中點(diǎn).C解析設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，8.若空間中三點(diǎn)A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共線，則p＋q＝________.

解析

因?yàn)榭臻g中三點(diǎn)A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共線，70垂直10.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________.∴ON與AM垂直.CD【B級

能力提升】14.(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則(

) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；A如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，同理可得平面A1BD的一個(gè)法向量為n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一個(gè)法向量為n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一個(gè)法向量為n3＝(1，1，－1)，則m·