相交線與平行線最全知識點

七年級下數(shù)學第五章第4頁共11頁一、本章共分4大節(jié)共14個課時；（2.16～3.7第1、4周）章節(jié)內容課時第五章相交線與平行線145.1相交線35.2平行線及其判定35.3平行線的性質45.4平移2單元小結2二、本章有四個數(shù)學基本事實1.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；2.過一點有且只有一條直線與這條直線垂直；3.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行；4.兩直線平行，同位角相等.三、本章共有19個概念1.對頂角2.鄰補角3.垂直4.垂線5.垂足6.垂線段7.點到直線的距離8.同位角9.內錯角10.同旁內角11.平行12.數(shù)學基本事實13.平行公理14.命題15.真命題16.假命題17.定理18.證明19.平移四、轉化的數(shù)學思想遇到新問題時，常常把它轉化為已知（或已解決）的問題.P14五、平移1.找規(guī)律2.轉化求面積3.作圖（2009年安徽中考）學校植物園沿路護欄紋飾部分設計成若干個全等菱形圖案，每增加一個菱形圖案，紋飾長度就增加dcm，如圖所示．已知每個菱形圖案的邊長cm，其一個內角為60°．6060°……dL第19題圖（1）若d＝26，則該紋飾要231個菱形圖案，求紋飾的長度L；【解】（2）當d＝20時，若保持（1）中紋飾長度不變，則需要多少個這樣的菱形圖案？【解】相交線與平行線知識點5.1相交線1、鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質如下表：圖形頂點邊的關系大小關系對頂角112∠1與∠2有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補角443∠3與∠4有公共頂點∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線.∠3+∠4=180°注意點：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角.⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個.2、垂線ABCABCDO符號語言記作：如圖所示：AB⊥CD，垂足為O⑵垂線性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記)⑶垂線性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.3、垂線的畫法：⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線.注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上.畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線.注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？不是，因為∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成.7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行簡稱：內錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行ABABCDEF1234幾何符號語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）請同學們注意書寫的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行.平行線的判定是寫角相等，然后寫平行.注意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關系”一般都與某種“數(shù)量關系”有著內在的聯(lián)系，常由“位置關系”決定其“數(shù)量關系”，反之也可從“數(shù)量關系”去確定“位置關系”.上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內錯角“相等”或同旁內角“互補”這種“數(shù)量關系”，判定兩直線“平行”這種“位置關系”.⑵根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行.如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行.典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：⑴不相交的兩條直線必定平行線.⑵在同一平面內不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交.⑶過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：⑴錯誤，平行線是“在同一平面內不相交的兩條直線”.“在同一平面內”是一項重要條件，不能遺漏.⑵正確⑶不正確，正確的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”.因為如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的.ABABEDFC123解答：⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根據(jù)是內錯角相等，兩直線平行；⑶由∠ACF＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根據(jù)同旁內角互補，兩直線平行.5.3平行線的性質1、平行線的性質：性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；ABABCDEF1234幾何符號語言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）2、兩條平行線的距離如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.AAEGBCFHD注意：直線AB∥CD，在直線AB上任取一點G，過點G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長度也就是直線AB與CD間的距離.3、命題：⑴命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題.⑵命題的組成每個命題都是題設、結論兩部分組成.題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項.命題常寫成“如果……，那么……”的形式.具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那么”開始的部分是結論.有些命題，沒有寫成“如果……，那么……”的形式，題設和結論不明顯.對于這樣的命題，要經(jīng)過分析才能找出題設和結論，也可以將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.注意：命題的題設（條件）部分，有時也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命題的結論部分，有時也可用“求證……”或“則……”等形式表述.4、平行線的性質與判定①平行線的性質與判定是互逆的關系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補.其中，由角的相等或互補（數(shù)量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數(shù)量關系）的結論是平行線的性質.ADEBC12典型例題：已知∠1＝ADEBC12證明：∵∠1＝∠B（已知）∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠2＝∠C（兩直線平行同位角相等）注意，在了DE∥BC，不需要再寫一次了，得到了DE∥BC，這可以把它當作條件來用了.AADFBEC123典型例題：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°求∠2、∠3的度數(shù)解答：∵DE∥BC（已知）∴∠2＝∠1＝65°（兩直線平行，內錯角相等）∵AB∥DF（已知）∴AB∥DF（已知）∴∠3＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°5.4平移1、平移變換①把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.②新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點③連接各組對應點的線段平行且相等2、平移的特征：①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化.②經(jīng)過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等.典型例題：如圖，△ABC經(jīng)過平移之后成為△DEF，那么：⑴點A的對應點是點＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵點B的對應點是點＿＿＿＿＿＿.ADBECADBECF⑸線段BC的對應線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的對應角是＿＿＿＿＿＿.⑺＿＿＿＿的對應角是∠F.解答：⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.思維方式：利用平移特征：平移前后對應線段相等，對應點的連線段平行或在同一直線上解答.考點一：對相關概念的理解對頂角的性質，垂直的定義，垂線的性質，點到直線的距離，垂線性質與平行公理的區(qū)別等例1：判斷下列說法的正誤。對頂角相等；相等的角是對頂角；鄰補角互補；互補的角是鄰補角；同位角相等；內錯角相等；同旁內角互補；直線外一點到直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離；過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；過一點有且只有一條直線與已知直線平行；兩直線不相交就平行；互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直。練習：下列說法正確的是（）A、相等的角是對頂角B、直線外一點到直線的垂線段叫點到直線的距離C、兩條直線相交，有一對對頂角互補，則兩條直線互相垂直。D、過一點有且只有一條直線與已知直線平行考點二：相關推理（識記）（1）∵a∥c，b∥c（已知）

∴______∥______（）（2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知）

∴______=______（）（3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知）

∴∠1=______（）（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知）

∴∠1=______（）（5）如圖（1），∵∠AOC=55°（已知）

∴∠BOD=______（）（6）如圖（1），∵∠AOC=55°（已知）

∴∠BOC=______（）（7）如圖（1），∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）

ab11234ab11234ab...ACB（1）（2）（3）（4）（8）如圖（2），∵a⊥b（已知）

∴∠1=______（）（9）如圖（2），∵∠1=______（已知）

∴a⊥b（）（10）如圖（3），∵點C為線段AB的中點

∴AC=______（）(11)如圖（3），∵

AC=BC∴點C為線段AB的中點（）（12）如圖（4），∵a∥b（已知）

∴∠1=∠2（）（13）如圖（4），∵a∥b（已知）

∴∠1=∠3（）（14）如圖（4），∵a∥b（已知）

∴∠1+∠4=（）（15）如圖（4），∵∠1=∠2（已知）

∴a∥b（）（16）如圖（4），∵∠1=∠3（已知）

∴a∥b（）（17）如圖（4），∵∠1+∠4=（已知）

∴a∥b（）考點三：對頂角、鄰補角的判斷、相關計算例題1：如圖5－1，直線AB、CD相交于點O，對頂角有_________對，它們分別是_________，∠AOD的鄰補角是_________。例題2：如圖5－2，直線l1，l2和l3相交構成8個角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的對頂角，與∠5相等的角有∠1、_________，與∠5互補的角有_________。例題3：如圖5－3，直線AB、CD相交于點O，射線OE為∠BOD的平分線，∠BOE=30°，則∠AOE為_________。圖5－1圖5－2圖5－3考點四：同位角、內錯角、同旁內角的識別例題1：如圖2-44，∠1和∠4是AB、被所截得的角，∠3和∠5是、被所截得的角，∠2和∠5是、被所截得的角，AC、BC被AB所截得的同旁內角是.例題2：如圖2-45，AB、DC被BD所截得的內錯角是，AB、CD被AC所截是的內錯角是，AD、BC被BD所截得的內錯角是，AD、BC被AC所截得的內錯角是。例題3：如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．考點五：平行線的判定、性質的綜合應用（邏輯推理訓練）例題1：如圖9,已知DF∥AC,∠C=∠