求函數(shù)值域的常見(jiàn)方法

求函數(shù)值域的常見(jiàn)方法總結(jié)【觀察法】有的函數(shù)結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過(guò)基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)直接觀察出函數(shù)的值域。例題：求函數(shù)【配方法】配方法是求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方法。的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法，解題過(guò)程中，要特別關(guān)注自變量的取值范圍。例題：確定函數(shù)（1）的值域；（2）的值域?！痉蛛x常數(shù)法】此方法適合與分式函數(shù)的值域問(wèn)題，思路是用分母表示分子，分離出常數(shù)，使分子不含變量，再借助基本函數(shù)的值域求解。例題：確定下列函數(shù)的值域（1）（2）【判別式法】把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程，通過(guò)方程有實(shí)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域。形如（不同時(shí)為）的函數(shù)的值域常用此法求得。前提是定義域?yàn)榍曳肿?、分母沒(méi)有公因式。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【反解法】將視為變量，利用數(shù)式的性質(zhì)或已知函數(shù)的值域求，體現(xiàn)了方程思想。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【換元法】運(yùn)用代數(shù)或者三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。形如（均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。令，且，使之變?yōu)槎魏瘮?shù)，再利用配方法；對(duì)于含有的結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可利用三角代換，令，，或令，。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【不等式法】利用基本不等式，用此法求值域時(shí)，要注意條件“一正二定三相等”即①，；②（）為定值；③取等號(hào)條件。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（）；（2）；（3）（）【單調(diào)性法】先確定函數(shù)的定義域（或定義域的某個(gè)子集上）的單調(diào)性，再求出函數(shù)的值域的方法為單調(diào)性法?？紤]用單調(diào)性法求值域常見(jiàn)的有（均為常數(shù)，且）看與是否同號(hào)，若同號(hào)用單調(diào)性求值域，若異號(hào)則用換元法求值域；還有在利用重要不等式求值域失效（等號(hào)不滿(mǎn)足）的情況下，可采用單調(diào)性求值域，但須熟悉下述結(jié)論。函數(shù)（），，函數(shù)遞減；，函數(shù)遞增。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【求導(dǎo)法】當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可根據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值。例題：設(shè)，試求在上的最大值和最小值?！菊n堂練習(xí)】1．求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）確定函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法【配湊法】根據(jù)具體解析式湊出復(fù)合變量的形式，從而求出解析式。例題：已知，求的表達(dá)式【換元法】換元法就是通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)替換原來(lái)的某些量的解題方法，它的基本功能是化難為易、化繁為簡(jiǎn)，以快速實(shí)現(xiàn)從未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到順利解題的目的。常見(jiàn)的換元法是多種多樣的，諸如：局部換元、整體換元、三角換元、分母換元、平均換元等等，它的應(yīng)用及其廣泛。例題：已知函數(shù)滿(mǎn)足（其中，，），求的表達(dá)式【待定系數(shù)法】已知函數(shù)的特征，求函數(shù)解析式，可用待定系數(shù)法，設(shè)出待定系數(shù)，根據(jù)已知條件建立方程組求出待定系數(shù)的值。例題：設(shè)是一次函數(shù)，且，求?！鞠ā看朔椒ǖ膶?shí)質(zhì)是解函數(shù)方程。例題：已知，求的解析式?！举x值法】賦值法是指給定的關(guān)于某些變量的一般關(guān)系式，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式后，通過(guò)運(yùn)算推理，最后得出結(jié)論的一種解題方法。例題：已知，，求?！镜湫屠}】例題1：已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，，且的最大值是，試確定此二次函數(shù)。例題2：已知，，求和的表達(dá)式。例題3：已知是定義在上的奇函數(shù)，它在上式一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，求的解析式。【課后練習(xí)】1、設(shè)二次函數(shù)的最小值為，且，求的解析式。2、已知函數(shù)，，求和的表達(dá)式。3、是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)的表達(dá)式。判斷函數(shù)奇偶性的方法【定義法】基本步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（2）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)表達(dá)式能化簡(jiǎn)的，則對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn)，以便進(jìn)行判斷；（3）若函數(shù)較復(fù)雜，可利用變形式子，用求和（或差）法，即看與的關(guān)系，或用求商法，即看與的關(guān)系；（4）分段函數(shù)應(yīng)分段討論，要注意根據(jù)的范圍取相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式判斷。例題：判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）；（2）；（3）；（4）；【圖像法】可借助圖像的對(duì)稱(chēng)性來(lái)判定函數(shù)的奇偶性：①為奇函數(shù)其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形；②為偶函數(shù)其圖像關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形；例題：求函數(shù)【性質(zhì)法】（1）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；（2）在定義域的公共部分內(nèi)，兩奇函數(shù)的積（或商）為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積（或商）為奇函數(shù)，兩奇函數(shù)（或兩偶函數(shù)）的和、差為奇函數(shù)（偶函數(shù)）。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的幾種確定方法【數(shù)形結(jié)合法】數(shù)形結(jié)合法是確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在函數(shù)的圖像中。例題：函數(shù)在區(qū)間上式增函數(shù)，那么的區(qū)間是（）【復(fù)合函數(shù)法】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一般由函數(shù)和的單調(diào)性來(lái)確定：（1）當(dāng)和的單調(diào)性相同時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；（2）當(dāng)和的單調(diào)性相反時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；例題：求函數(shù)（且）的單調(diào)區(qū)間?！径x探索法】判斷函數(shù)的單調(diào)性，可根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，即在的定義域內(nèi)