電流的線性響應(yīng)

電流的線性響應(yīng)對于每一種流，都至少有一個產(chǎn)生它的物理原因，例如，電勢差可以產(chǎn)生電流，濃度梯度可以產(chǎn)生粒子流，溫度梯度可以產(chǎn)生熱流等等。產(chǎn)生一種流的物理原因成為這種流的廣義驅(qū)動力（簡稱驅(qū)動力或廣義力）。如果第i種流稱為J，它的驅(qū)動力記為X。線性響應(yīng)下，J與X成正比。相應(yīng)的比例系數(shù)稱為響應(yīng)系數(shù)。注意廣義流和廣義力都是矢量，相應(yīng)系數(shù)一般是二階張量，即<_>J=ZDXi i如果系統(tǒng)存在濃度梯度，一般說來，濃度不同則化學(xué)勢不同，也就是存在化學(xué)勢的梯度，這時就會出現(xiàn)粒子流。因此，如果化學(xué)勢的梯度不為零，Vpu0，那么就會有粒子流。當(dāng)粒子流不為零的時候，一般地來說，就有另外一種流存在，例如能流。但是，反過來，有能流存在時，不一定非有粒子流不可。因為能量可以在粒子之間傳輸。當(dāng)有幾種廣義力同時存在。就有相應(yīng)的幾種廣義流同時存在。這時會有交叉耦合的情況。就是說，幾種廣義力對每一種廣義流的產(chǎn)生都有貢獻(xiàn)。在線性響應(yīng)近似下，可表達(dá)成J=￡ZDX.j一般地來說，系數(shù)是二階張量。昂薩格對于最一般的情況（即不依賴于具體的系統(tǒng)）證明了:對于時間反演不變性的系統(tǒng)，存在關(guān)系：Z，=Zj此式稱為昂薩格（0nsager）倒易關(guān)系.他因提出和證明這一關(guān)系式而獲得1968年諾貝爾化學(xué)獎.這一關(guān)系表明，交叉耦合的系數(shù)是相同的.例如溫度梯度可以產(chǎn)生粒子流，濃度梯度可以產(chǎn)生熱流.這兩者的系數(shù)相同，

盡管這兩種現(xiàn)象的物理原因有差別.下面來看兩種流同時存在的具體例子.產(chǎn)生粒子流的驅(qū)動力是X=--W-VT產(chǎn)生能流的驅(qū)動力是=VT如果J和％同時存在'則JN,JN,a=一M（11）aP+M（12）aPdxTPJ =-M（21J =-M（21）E,a aPed d V+——Tdx dxPPr）d1+M^（22） aPdxTP根據(jù)昂薩格倒易關(guān)系'有M（21）=M（12）.根據(jù)昂薩格倒易關(guān)系'有M（21）=M（12）.可以把第一個驅(qū)動力寫成以下的aPaP形式：edd V+—Tdx dxPP其中定義了ed1d V+ 0+0Tdx Tdx dxTPPPd1 1d口d1 0+0 Tdx dxTP P如果是果Jn和Jq同時存在‘可利用上式‘得到ed d V+——Tdx dxPP現(xiàn)在的兩個流的一組方程寫成如下形式：J=J-0J =-M（21）Q,a E,a N,a aPd1+M（22） 0JaPdxTa

P/）1d/）d1J=—L11） 0+L12） N,a apTdx「 apdx「T1d d1J=—〃21） 0+〃22） Q，aaPTdxp apdx「T其中L11）=M（11）

aPaP以21）=L12）=—HM（11）+M（21）aPaP aPaP〔22）=M（22）一2HM（12）+H2M（11）可以看到，流的組合不同，其相應(yīng)的驅(qū)動力也有所不同。另外，相應(yīng)的響應(yīng)系數(shù)之間有關(guān)系式?，F(xiàn)在來看熱導(dǎo)率是如何測量的，令J=0,那么只剩下能量的流動.eaT,a eaT,a V+——axPTdxPm（12）a1M（11）dxT

aPP寫成的形式,jE,a寫成的形式,jE,aMAM（22）一一aP一

aP M（11）aPJe=EdxTP1K=1K=——aPT2M（22）—

aP（M（12））aPM（11）aP在沒有粒子流的情況下,J廣J。.可得1a—L12）a1

H= Tax^ L（1DQXpt\命）］a1

j=如-邱|￡-

0a aP L11） |axTaP」P所以熱導(dǎo)率也可以以下形式測量:1K= aP T2TOC\o"1-5"\h\zj））］1K= aP T2aP L11） 1aP |」如果既沒有溫度梯度也沒有化學(xué)勢的梯度，那么TOC\o"1-5"\h\zeJ =-M(11)竺￡V=f —VN,a 弗Tdx 弗dxP P只有電勢差導(dǎo)致的粒子流或者電流，因為電導(dǎo)率就是c =M(1D竺aPaPT此式體現(xiàn)了系數(shù)L11)=M(11)的物理意義.l(12的物理意義也和明確.它是aPaP aP由溫度梯度引起的電流，所以是熱電勢,這是一個可實(shí)驗測量的量.如果沒有粒子流，也沒有濃度梯度，那么從之前的式子可知,eaa1—W V+L12) =0弗Tdx^ aPa%PT溫度差一定導(dǎo)致電勢差,在各向同性系統(tǒng)中，熱電功率系數(shù)的定義為AV 11(12)y= =— AT eTL(ii)前面講的導(dǎo)致電流的驅(qū)動力，除了電勢差之外都是非電磁場的原因.現(xiàn)在我們考慮純電磁場的情況.這時電子的運(yùn)動速度的表達(dá)式里面應(yīng)該含有矢勢A.v=L「P—eA(x)]

m其中正則動量對應(yīng)于算符PT—i0.因此，J=Zevn=Zen—(—iV)——Ee2nA(x)

ekk imimkk i i=EeVn-竺A(x)=J(i)+J(2)m現(xiàn)在電流分成兩部分，第一部分對應(yīng)于前面已經(jīng)介紹的電流，第二部分是正比于矢勢的.先看第二部分.設(shè)一個頻率為的交變電磁勢,A=Ae-i^t0則電場E=—A=—iwA

dt因此A=—E

wne2J(2)=-1一Ee mw這部分的電導(dǎo)率是個虛數(shù).ne2。(2)=-i——mw虛電導(dǎo)率表明這樣的電流不消耗能量(虛電導(dǎo)率表明這樣的電流是隨距離衰減的.)或者，可以從微擾哈密頓量的形式看H=-jdxJDAeJe可以分成兩項其中第二項中只有粒子數(shù)密度是個算符，如果各處的粒子密度相同，則這一項就是個常量.第一項H=-jdxJ(i)DA與前面講e的由廣義力VU引起的電流電流是一致的.因為—H'^—A=E=W。dt —t線性相應(yīng)時,j(i)與電場成正比，比例系數(shù)就是電導(dǎo)率,它也就是e電流一電流關(guān)聯(lián)函數(shù)gR.但是這兒要注意的是，驅(qū)動力是矢勢A，JJ而我們說電流與電場成正比，驅(qū)動力應(yīng)該是電場，所以電流的表達(dá)式J(1)(x,t)=-—j8dt2jdxE(x',t)gRe，P w-8 仁 j(1)j(i)a=1 e，口e，a—j8dt2^jdxEOeFgrW-8 °。 J(1)J(1)a=1 e，口e，a=-』j8dt2jdxe&WgR E(x1,t)W-8 J(1)J(1)aa=1 e，Pe，a電導(dǎo)率的表達(dá)式應(yīng)該是b(i)=Re4j8dt'eW-t)gR弗W-8 JJD此式看上去在頻率趨于零時會趨于無窮大，其實(shí)不然.我們來推導(dǎo)電

導(dǎo)率的實(shí)在3—0時的值.b(i)=Re』j"dtei3(T’gRaP①-8 J(1)J(1)(-小(-小(/■-1j(1)(x,t),j(i)Cx',t\Lp a J/=Re-1j8dt'ei&插入完備集Z叫叫，用階躍函數(shù)的傅里葉表達(dá)式，然后對時間積分,n最后可得到零(-)=乎ePEn(1-e-P-)8(E-E一―)：n|J(1)(x)|m；：：m]J(1)(r)n“nm現(xiàn)在令頻