微分方程數(shù)值解法課件

17九月2023微分方程數(shù)值解法28七月2023微分方程數(shù)值解法1§6.1引言微分方程數(shù)值解一般可分為：常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解。自然界與工程技術中的許多現(xiàn)象，其數(shù)學表達式可歸結(jié)為常微分方程（組）的定解問題。一些偏微分方程問題也可以轉(zhuǎn)化為常微分方程問題來（近似）求解。Newton最早采用數(shù)學方法研究二體問題，其中需要求解的運動方程就是常微分方程。許多著名的數(shù)學家，如Bernoulli（家族），Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循歷史傳統(tǒng)，研究重要的力學問題的數(shù)學模型，在這些問題中，許多是常微分方程的求解。作為科學史上的一段佳話，海王星的發(fā)現(xiàn)就是通過對常微分方程的近似計算得到的。本章主要介紹常微分方程數(shù)值解的若干方法。§6.1引言微分方程數(shù)值解一般可分為：常微21、常微分方程與解為n階常微分方程。如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)n階可導，稱方程滿足方程的函數(shù)稱為微分方程的解。則如為任意常數(shù)）一般稱為方程的通解。為方程的解。如果則有為方程滿足定解條件的解。一、初值問題的數(shù)值解法1、常微分方程與解為n階常微分方程。如果函數(shù)3方程的通解滿足定解條件的解微分關系（方程）解的圖示方程的通解滿足定解條件的解微分關系（方程）解的圖示4本教材重點討論定解問題(初值問題）定解條件（初始條件）是否能夠找到定解問題的解取決于僅有極少數(shù)的方程可以通過“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解，絕大部分方程至今無法理論求解。如等等本教材重點討論定解問題(初值問題）定解條件（初始條件）是否能52、數(shù)值解的思想（1）將連續(xù)變量離散為（2）用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點的近似值*數(shù)學界關注工程師關注如果找不到解函數(shù)數(shù)學界還關注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……2、數(shù)值解的思想（1）將連續(xù)變量離散為（26求函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點

a=x0<x1<…<xn=b處的近似值的方法稱為微分方程的數(shù)值解法。稱節(jié)點間距為步長，通常采用等距節(jié)點，即取hi=h

(常數(shù))。稱為微分方程的數(shù)值解。所謂數(shù)值解法：求函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點稱節(jié)點間距7稱在區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件是指:記3、相關定義稱在區(qū)域D上對滿足Lipsc8(2)一般構(gòu)造方法：

離散點函數(shù)值集合+線性組合結(jié)構(gòu)→近似公式4、迭代格式的構(gòu)造(1)構(gòu)造思想：將連續(xù)的微分方程及初值條件離散為線性方程組加以求解。由于離散化的出發(fā)點不同，產(chǎn)生出各種不同的數(shù)值方法?；痉椒ㄓ校河邢薏罘址ǎ〝?shù)值微分）、有限體積法（數(shù)值積分）、有限元法（函數(shù)插值）等等。

(2)一般構(gòu)造方法：4、迭代格式的構(gòu)造(1)構(gòu)造思想：9(3)如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性?5、微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問題(1)如何將微分方程離散化，并建立求其數(shù)值解的迭代公式？(2)如何估計迭代公式的局部截斷誤差與整體誤差？(3)如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性?5、微分方程的數(shù)值10二、初值問題解的存在唯一性

考慮一階常微分方程的初值問題

/*Initial-ValueProblem*/:則上述IVP存在唯一解。只要在

上連續(xù),且關于y滿足Lipschitz條件，即存在與無關的常數(shù)L使對任意定義在上的都成立，二、初值問題解的存在唯一性考慮一階常微分方程的初值問題11三、初值問題的離散化方法

離散化方法的基本特點是依照某一遞推公式，值,取。按節(jié)點從左至右的順序依次求出的近似

如果計算，只用到前一步的值，則稱這類方法為單步方法。如果計算需用到前r步的值,

,則稱這類方法為r步方法。三、初值問題的離散化方法離散化方法的基本特點是依照某一遞12§6.2Euler方法第一步：連續(xù)變量離散化第二步：用直線步進·····Euler格式1、Euler格式§6.2Euler方法第一步：連續(xù)變量離散化第二步：用1318世紀最杰出的數(shù)學家之一，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)，16歲獲得碩士學位。1727年-1741年（20歲-34歲）在彼得堡科學院從事研究工作，在分析學、數(shù)論、力學方面均有出色成就，并應俄國政府要求，解決了不少地圖學、造船業(yè)等實際問題。24歲晉升物理學教授。1735年（28歲）右眼失明。18世紀最杰出的數(shù)學家之一，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲141741年-1766（34歲-59歲）任德國科學院物理數(shù)學所所長，任職25年。在行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學、微分方程、曲面微分幾何等研究領域均有開創(chuàng)性的工作。1766年應沙皇禮聘重回彼得堡，在1771年（64歲）左眼失明。Euler是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們用35年整理出他的研究成果74卷。

1741年-1766（34歲-59歲）任德國科學院物理15

在假設yi=y(xi)，即第i步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義2.2

若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。定義2.12、歐拉法的局部截斷誤差在假設yi=y(xi)，即第i步計算是精確的16

歐拉法的局部截斷誤差：Ri的主項/*leadingterm*/歐拉法具有1階精度。歐拉法的局部截斷誤差：Ri的主項歐拉法具有1階精度17例1:

用歐拉公式求解初值問題取步長。解:

應用Euler公式于題給初值問題的具體形式為：

其中。計算結(jié)果列于下表：

例1:用歐拉公式求解初值問題取步長18

19可用來檢驗近似解的準確程度。進行計算，數(shù)值解已達到了一定的精度。這個初值問題的準確解為，從上表最后一列，我們看到取步長可用來檢驗近似解的準確程度。進行計算，數(shù)值解已達到了一定的203、歐拉公式的改進：

隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+

3、歐拉公式的改進：隱式歐拉法/*implici21由于未知數(shù)yi+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。由于未知數(shù)yi+1同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故22一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度。一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截斷誤23

梯形公式

/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：梯形公式的局部截斷誤差，即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。梯形公式/*trapezoidformula*/—24

中點歐拉公式

/*midpointformula*/中心差商近似導數(shù)x0x2x1假設,則可以導出即中點公式具有2

階精度。中點歐拉公式/*midpointformula*/25方法

顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大精度提高,顯式多一個初值,可能影響精度方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點公式簡單精度低穩(wěn)定性26

改進歐拉法

/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預測，算出Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+ny改進歐拉法/*modifiedEuler’sme27微分方程數(shù)值解法課件28注:此法亦稱為預測-校正法

/*predictor-correctormethod*/可以證明該算法具有2階精度，同時可以看到它是個單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。改進的歐拉法注:此法亦稱為預測-校正法可以證明該算法具有2階精度，29在實際計算時，可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合，計算公式為應用改進歐拉法,如果序列收斂,它的極限便滿足方程在實際計算時，可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合，應用改進歐拉法,如30改進歐拉法的截斷誤差因此，改進歐拉法公式具有2

階精度改進歐拉法的截斷誤差因此，改進歐拉法公式具有2階精度31例2:

用改進Euler公式求解例1中的初值問題，

取步長。解：對此初值問題采用改進Euler公式，其具體形式為計算結(jié)果列于下表：例1:

用歐拉公式求解初值問題例2:用改進Euler公式求解例1中的初值問題，取步長32改進的Euler法Euler法改進的Euler法Euler法33通過計算結(jié)果的比較可以看出，改進的Euler方法的計算精度比Euler方法要高。通過計算結(jié)果的比較可以看出，改進的Euler方法的計算精度比34歐拉法誤差概述歐拉法誤差概述356.3龍格—庫塔方法

對許多實際問題來說，歐拉公式與改進歐拉公式精度還不能滿足要求，為此從另一個角度來分析這兩個公式的特點，從而探索一條構(gòu)造高精度方法的途徑.

6.3龍格—庫塔方法對許多實際問題來說36改進歐拉法改進歐拉法37微分方程數(shù)值解法課件38微分方程數(shù)值解法課件39

40微分方程數(shù)值解法課件41

42三階龍格-庫塔方法三階龍格-庫塔方法是用三個值k1,k2,k3的線性組合要使三階龍格-庫塔方法具有三階精度，必須使其局部截斷誤差為O(h4)將k1,k2,k3代入yn+1的表達式中，在

(xn,

yn)

處用二元泰勒公式展開，與y(xn+1)在xn處的泰勒展開式比較三階龍格-庫塔方法三階龍格-庫塔方法是用三個值k1,k243類似二階龍格-庫塔方法的推導過程，8個待定系數(shù)c1,c2,c3,a2,a3,b21,b31,b32應滿足：8個未知參數(shù)，6個方程，有無窮多組解三階龍格庫塔公式類似二階龍格-庫塔方法的推導過程，8個待定系數(shù)c1,c44四階Runge-Kutta方法四階Runge-Kutta方法45附注：二階Runge-Kutta方法的局部截斷誤差只能達到

五階Runge-Kutta方法的局部截斷誤差只能達到

四階Runge-Kutta方法的局部截斷誤差