青島版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （解直角三角形）教學(xué)課件

2.4解直角三角形

1.了解解直角三角形的含義.2.經(jīng)歷解直角三角形的過程，掌握解直角三角形的方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC在直角三角形中，我們把兩個(gè)銳角、三條邊稱為直角三角形的五個(gè)元素.圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形的五個(gè)元素.銳角三角比課時(shí)導(dǎo)入ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形：由直角三角形中已知元素求出未知元素的過程，叫作解直角三角形．

一個(gè)直角三角形中，若已知五個(gè)元素中的兩個(gè)元素(其中必須有一個(gè)元素是邊)，則這樣的直角三角形可解.感悟新知知道五個(gè)元素中的幾個(gè)，就可以求其余元素？探究必須已知除直角外的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）.已知兩邊：a.兩直角邊；b.一直角邊和斜邊.已知一邊和一銳角：a.一直角邊和一銳角；b.斜邊和一銳角.在Rt△ABC中，如果已知其中兩邊的長，你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？

類型1

已知兩邊解直角三角形應(yīng)用勾股定理求斜邊，應(yīng)用角的正切值求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．一般不用正弦或余弦值求銳角，因?yàn)樾边吺且粋€(gè)中間量，如果是近似值，會(huì)影響結(jié)果的精確度．已知斜邊和直角邊：先利用勾股定理求出另一直角邊，再求一銳角的正弦和余弦值，即可求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．已知兩直角邊：已知斜邊和直角邊：例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解這個(gè)直角三角形．提問需求的未知元素：斜邊AB、銳角A、銳角B.方法一：方法二：由勾股定理可得AB=.例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C

的對(duì)邊分別為a，b，c，且c＝5，b＝4，求這個(gè)三角

形的其他元素．(角度精確到1′)

求這個(gè)直角三角形的其他元素，與“解這個(gè)直角三角

形”的含義相同．求角時(shí)，可以先求∠A，也可以先

求∠B，因?yàn)?/p>

＝sinB＝cosA.導(dǎo)引：由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得解：已知直角三角形的一邊和一銳角，解直角三角形時(shí)，若已知一直角邊a和一銳角A：①∠B=90

°-

∠A；②c=若已知斜邊c和一個(gè)銳角A：①∠B=90°-

∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA.

類型2

已知一邊及一銳角解直角三角形例4

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．提問需求的未知元素：直角邊a、斜邊c、銳角A.還有別的解法嗎？總

結(jié)在直角三角形的6個(gè)元素中，直角是已知元素，如果再知道一條邊和第三個(gè)元素，那么這個(gè)三角形的所有元素就都可以確定下來.例5在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分

別為a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求這個(gè)三角形

的其他元素．(長度精確到0.01)

已知∠A，可根據(jù)∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而

已知斜邊，必然要用到正弦或余弦函數(shù)．

∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，

∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.由sinA＝得a＝c·sinA＝100·sin26°44′≈44.98.由cosA＝

得b＝c·cosA＝100·cos26°44′≈89.31.解：導(dǎo)引：例6如圖，在△ABC中，AB＝1，AC＝sinB＝

求BC的長．要求的BC邊不在直角

三角形中，已知條件中

有∠B的正弦值，作BC邊上的高，

將∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可

解決問題．導(dǎo)引：

類型3

已知一邊及一銳角的三角比值解直角三角形如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB＝1，sinB＝∴AD＝AB·sinB＝1×＝∴BD＝

CD＝∴BC＝解：總

結(jié)通過作垂線(高)，將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角三角形來解決邊或角的問題，這種“化斜為直”的思想很常見．在作垂線時(shí)，要結(jié)合已知條件，充分利用已知條件，如本題若過B點(diǎn)作AC的垂線，則∠B的正弦值就無法利用．1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=,b=,則c=

；（2）若a=10，c=，則∠B=

；（3）若b=35，∠A=45°，則a=

；（4）若c=20，∠A=60°，則a=

.45°35隨堂練習(xí)2.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．若AB=2，求△ABC的周長.（結(jié)果保留根號(hào)）解：∵△ABD是等邊三角形，∴∠B=60°.在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,△ABC的周長為2++4=6+3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，△ABC的周長為45cm，CD是斜邊AB上的高，求CD的長.（精確到0.1cm）5x12x13x解：5x12x13x解直角三角形由直角三角形中已知的元素求出未知元素的過程，叫作解直角三角形.兩邊：兩直角邊或斜邊、一直角邊一邊一角：直角邊、一銳角或斜邊、一銳角2.4解直角三角形

教學(xué)目標(biāo)

通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．重點(diǎn)：理解解直角三角形的概念；學(xué)會(huì)解直角三角形難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的應(yīng)用新課引入

在圖形的研究中，直角三角形是常見的三角形之一，因而人們經(jīng)常會(huì)遇到求直角三角形的邊長或角度等問題.對(duì)于這類問題，我們一般利用前面已學(xué)的銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來解決.1.直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？2.直角三角形的銳角之間有什么關(guān)系？

3.直角三角形的邊和銳角之間有什么關(guān)系？

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記作a，b，c.a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.

在一個(gè)直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（3條邊、2個(gè)銳角），要知道其中的幾個(gè)素就可以求出其余的元素？

如果知道的2個(gè)元素都是角，不能求解.因?yàn)榇藭r(shí)的直角三角形有無數(shù)多個(gè).已知2個(gè)元素，且至少有一條邊就可以求出其它元素了.

在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素.

解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程．

例1在Rt△ABC中，a=5，求∠B，b，c.解:又∵∴∵∴例2如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求AB的長.分析：在直角三角形中，已知一邊和另兩邊的關(guān)系，常用勾股定理方程思想解決.∴設(shè)AB=x，則AC=x.

又

∴解：∵∠C=90°，，∴

AB的長為解得（舍去）.課堂練習(xí)1.在Rt△ABC中，b=3cm，求a，c的長度.2.

在Rt