北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （圓內(nèi)接正多邊形）圓課件

第三章圓3.8圓內(nèi)接正多邊形

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正多邊形和圓的關(guān)系；2.理解正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念；(重點(diǎn))3.能運(yùn)用正多邊形的知識(shí)解決圓的有關(guān)計(jì)算問題；（難點(diǎn)）4.會(huì)運(yùn)用多邊形知和圓的有關(guān)知識(shí)畫多邊形.新課導(dǎo)入問題1：

觀察下面多邊形，它們的邊、角有什么特點(diǎn)？特點(diǎn)：各邊相等，各內(nèi)角都相等的多邊形.問題2：

觀看大屏幕上這些美麗的圖案,都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的.你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎?正多邊形：___________，_____________的多邊形叫做正多邊形.正n邊形：如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么這個(gè)正多邊形叫做正n邊形.三條邊相等，三個(gè)角也相等（60°）.四條邊都相等，四個(gè)角也相等（90°）.各邊相等各角也相等知識(shí)講解怎樣找圓的內(nèi)接正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？

怎樣找圓的內(nèi)接正方形？怎樣找圓的外切正方形？怎樣找圓的內(nèi)接正n邊形？怎樣找圓的外切正n邊形？EFGHABCD0合作探究【例1】把圓分成5等份，求證：⑴依次連接各分點(diǎn)所得的五邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正五邊形；⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形是這個(gè)圓的外切正五邊形.例題講解ABCDE證明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，∵BCE=CDA=3AB，∴∠A=∠B，同理∠B=∠C=∠D=∠E，又∵頂點(diǎn)A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒（2）連接OA，OB，OC，則∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.∵TP，PQ，QR分別是以A，B，C為切點(diǎn)的⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.ABCDEPQRSTO又∵AB=BC，∴AB=BC，∴△PAB與△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA.同理∠Q=∠R=∠S=∠T，

QR=RS=ST=TP=2PA，⌒⌒∵五邊形PQRST的各邊都與⊙O相切，∴五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.

把圓分成n（n≥3）等份：依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.一個(gè)正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓？【定理】知識(shí)講解正三角形有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？正方形有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？那么，正n邊形呢？任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓.【定理】知識(shí)講解以中心為圓心,邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系?EFCD..O中心角半徑R邊心距r正多邊形的中心:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心.正多邊形的半徑:外接圓的半徑正多邊形的中心角:正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角.正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離.AB以中心為圓心,邊心距為半徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓。知識(shí)講解EFCDOABGRa.中心角邊心距把△AOB分成2個(gè)全等的直角三角形設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為a,邊數(shù)為n，圓的半徑為R,它的周長(zhǎng)為L(zhǎng)=na.知識(shí)講解正多邊形是軸對(duì)稱圖形，正n邊形有n條對(duì)稱軸.若n為偶數(shù)，則其為中心對(duì)稱圖形.知識(shí)講解1.各邊相等，各角相等.2.圓的內(nèi)接正n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)把圓分成n等份.3.圓的外切正n邊形的各邊與圓的n個(gè)切點(diǎn)把圓分成n等份.4.每個(gè)正多邊形都有一個(gè)內(nèi)切圓和外接圓，這兩個(gè)圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心.正多邊形的性質(zhì)【歸納】知識(shí)講解5.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么它還是中心對(duì)稱圖形.6.正n邊形的中心角和它的每個(gè)外角都等于360°/n，每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)·180°/n.7.邊數(shù)相同的正多邊形相似，周長(zhǎng)比、邊長(zhǎng)比、半徑比、邊心距比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線比都等于相似比，面積比等于相似比的平方.解：連接OD.∵六邊形ABCDEF為正六邊形.∴∠COD=60°，∴△COD為等邊三角形，CD=OD=4在Rt△COG中,OC=4,CG=2.【例2】如圖,在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中,半徑OC=4，OG⊥BC，垂足為G，求這個(gè)正六邊形的中心角、邊長(zhǎng)和邊心距.FADE..OBCG∴正六邊形ABCDEF的中心角為60°，邊長(zhǎng)為4，邊心距為例題講解1．正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊形的邊心距．2．正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長(zhǎng)，正多邊形的邊心距之間的等量關(guān)系．通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：課堂小結(jié)1.下列圖形中：①正五邊形；②等腰三角形；③正八邊形；④正2n（n為自然數(shù)）邊形；⑤任意的平行四邊形.是軸對(duì)稱圖形的有__________,是中心對(duì)稱圖形的有_________,既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的有_________.①②③④③④⑤③④2.兩個(gè)正七邊形的邊心距之比為3:4，則它們的邊長(zhǎng)比為_____，面積比為_____，外接圓周長(zhǎng)比是______，中心角度數(shù)比是______.3:49:163:41:1當(dāng)堂檢測(cè)3.正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．4.正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的________．5.若正六邊形的邊長(zhǎng)為1,那么正六邊形的中心角是____度，半徑是___，邊心距是

，它的每一個(gè)內(nèi)角是____．6.正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．中心邊心距601120°中心7.將一個(gè)正五邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn),至少要旋轉(zhuǎn)

度,才能與原來(lái)的圖形位置重合.723.8

圓內(nèi)接正多邊形

第三章圓知識(shí)點(diǎn)1

正多邊形的有關(guān)概念及計(jì)算1.以下說法正確的是

(C)A.每個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊形B.正n邊形的對(duì)稱軸不一定有n條C.正n邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù)D.正多邊形一定既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形2.(成都中考)如圖,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,P為

上的一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合),則∠CPD的度數(shù)為

(B)A.30° B.36°C.60° D.72°3.(衢州中考)如圖,取兩根等寬的紙條折疊穿插,拉緊,可得邊長(zhǎng)為2的正六邊形,則原來(lái)的紙帶寬為

(C)4.同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)的比是

(A)【變式拓展】以半徑為1的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)為三邊作三角形,則

(B)A.這個(gè)三角形是等腰三角形 B.這個(gè)三角形是直角三角形C.這個(gè)三角形是銳角三角形 D.不能構(gòu)成三角形5.如圖,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,則下列結(jié)論正確的是

(D)①弦AB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng);②弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng);③

;④∠BAC=30°.A.①②④ B.①③④C.②③④ D.①②③6.如圖,若正六邊形ABCDEF外接圓的半徑為4,則其內(nèi)切圓的半徑是

.

知識(shí)點(diǎn)2

正多邊形的畫法7.圖1是我們常見的地磚上的圖案,其中包含了一種特殊的平面圖形——正八邊形.如圖2,AE是☉O的直徑,用直尺和圓規(guī)作☉O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH.(不寫作法,保留作圖痕跡)解:如圖所示,正八邊形ABCDEFGH即為所求.9.(南充中考)如圖,在正六邊形ABCDEF的外側(cè),作正方形DEGH,連接AH,則tan∠HAB等于

(B)10.張萌取三個(gè)如圖1所示的面積為4cm2的鈍角三角形,按如圖2所示的方式相連接,拼成了一個(gè)正六邊形,則拼成的正六邊形的面積為

(C)

A.12cm2 B.20cm2

C.24cm2 D.32cm211.如圖,正六邊形ABCDEF中,若AB=4,P是ED的中點(diǎn),連接AP,則AP的長(zhǎng)為

(C)12.(揚(yáng)州中考)如圖,AC是☉O的內(nèi)接正六邊形的一邊,點(diǎn)B在

上,且BC是☉O的內(nèi)接正十邊形的一邊.若AB是☉O的內(nèi)接正n邊形的一邊,則n=

15

.

13.如圖,若干個(gè)全等正五邊形排成環(huán)狀.圖中所示的是前3個(gè)五邊形,要完成這一圓環(huán)還需

7

個(gè)五邊形.

14.如圖,已知☉O和☉O上的一點(diǎn)A.

(1)作☉O的內(nèi)接正方形ABCD和內(nèi)接正六邊形AEFCGH;(2)在(1)的作圖中,如果點(diǎn)E在

上,求證:DE是☉O的內(nèi)接正十二邊形的一邊.解:(1)作法:①作直徑AC;②作直徑BD⊥AC;③順次連接A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD即為☉O的內(nèi)接正方形;④分別以A,C為圓心,OA長(zhǎng)為半徑作弧,交☉O于點(diǎn)E,H,F,G;⑤順次連接A,E,F,C,G,H各點(diǎn),六邊形AEFCGH即為☉O的內(nèi)接正六邊形.(2)連接OE,DE.∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°,∴DE為☉O的內(nèi)接正十二邊形的一邊.15.如圖1,2,3,4分別是☉O的內(nèi)接正三角形、正四邊形、正五邊形、正n邊形,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始以相同的速度在☉O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).(1)求圖1中∠APN的度數(shù);(2)圖2中,∠APN的度數(shù)是

,圖3中,∠APN的度數(shù)是

;

(3)試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形的邊數(shù)n的關(guān)系.解:(1)∵點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始以相同的速度在☉O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),∴∠APN=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBN