新教材高中人教B版數(shù)學選擇性學案第4章4-1-1條件概率

4.1條件概率與事件的獨立性4學習任務核心素養(yǎng)1．在具體情境中，了解條件概率．(難點)2．掌握條件概率的計算方法．(重點)3．利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題．(易錯點)1．通過條件概率的學習，體會數(shù)學抽象的素養(yǎng)．2．借助條件概率公式解題，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青團員，女生中共有10名共青團員．問題1：從該班學生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？[提示]eq\f(2,5)．問題2：已知抽出的是女同學的前提下，該同學是共青團員的概率又是多少？[提示]eq\f(1,2)．知識點1條件概率定義一般地，當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率表示P(A|B)計算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)P(A|B)與P(B|A)相同嗎？[提示]不同，前者是事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，而后者是事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．一般情況下，它們也不相等．提醒：當題目涉及“在……前提下”等字眼時，一般為條件概率，如題目中沒有上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也是條件概率．在條件概率的表示中，“|”之后的部分表示條件．1．(對接教材P43例3)設某動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，則它活到25歲的概率是________．0.5[根據(jù)條件概率公式知P＝eq\,0.8)＝0.5．]知識點2條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝1． ()(2)P(B|A)≠P(A∩B)． ()[答案](1)×(2)√類型1利用定義求條件概率【例1】(對接教材P44練習T3)一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B．(1)分別求事件A，B，A∩B發(fā)生的概率；(2)求P(B|A)．[思路點撥]首先弄清“這次試驗”指的是什么，然后判斷該問題是否屬于古典概型，最后利用相應公式求解．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(2×1＋3×2,5×4)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(A∩B)＝eq\f(2×1,5×4)＝eq\f(1,10)．(2)P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4)．1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟(1)分析題意，弄清概率模型；(2)計算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)．2．結(jié)合古典概型分別求出事件A，B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關系．eq\o([跟進訓練])1．甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%，記P(A，P(B，P(A∩B，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．eq\f(2,3)eq\f(3,5)[由公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(3,5)．]類型2利用基本事件個數(shù)求條件概率在一個壇子中裝有10個除顏色外完全相同的玻璃球，其中有2個紅球，8個黃球．現(xiàn)從中任取一球后(不放回)，再取一球，則已知第一個球為紅色的情況下第二個球為黃色的概率為多少？[提示]法一：依題意，在第一個球取得紅球的條件下，壇子中還有8個黃球，而壇子中此時共有9個球，故再取一球為黃球的概率為eq\f(8,9)．法二：設“取出的第一個球為紅色”為事件A，“取出的第二個球為黃色”為事件B，則P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A∩B)＝eq\f(2×8,10×9)＝eq\f(8,45)，所以P(B|A)＝eq\f(\f(8,45),\f(1,5))＝eq\f(8,9)．【例2】現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．[思路點撥]第(1)、(2)問屬古典概型問題，可直接代入公式；第(3)問為條件概率，可以借用前兩問的結(jié)論，也可以直接利用基本事件個數(shù)求解．[解]設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件A∩B．(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3)．(2)因為n(A∩B)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(A∩B)＝eq\f(nA∩B,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)．(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5)．法二：因為n(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)．(變結(jié)論)本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到語言類節(jié)目的概率．[解]設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到語言類節(jié)目為事件C，則第1次抽到舞蹈節(jié)目、第2次抽到語言類節(jié)目為事件A∩C．n(A)＝Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,5)＝20，n(A∩C)＝Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,2)＝8，∴P(C|A)＝eq\f(nA∩C,nA)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)．1．本題第(3)問給出了兩種求條件概率的方法，法一為定義法，法二利用基本事件個數(shù)直接作商，是一種重要的求條件概率的方法．2．計算條件概率的方法(1)在縮小后的樣本空間ΩA中計算事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)．(2)在原樣本空間Ω中，先計算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)，計算求得P(B|A)．類型3條件概率的綜合應用【例3】一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時，忘了密碼的最后一位數(shù)字．求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率．[思路點撥](1)不超過2次，即第1次按對或第1次未按對第2次按對；(2)條件概率，利用互斥事件的條件概率公式求解．[解]設第i次按對密碼為事件Ai(i＝1,2)，則A＝A1∪(eq\o(A,\s\up16(－))1A2)表示不超過2次按對密碼．(1)因為事件A1與事件eq\o(A,\s\up16(－))1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(eq\o(A,\s\up16(－))1A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9×1,10×9)＝eq\f(1,5)．(2)用B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq\o(A,\s\up16(－))1A2)|B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4×1,5×4)＝eq\f(2,5)．1．利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計算較為簡單，但應注意這個性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”．2．為了求復雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復雜事件的概率．eq\o([跟進訓練])2．在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第1個球是紅球的條件下，第2個球是黃球或黑球的概率．[解]設“摸出第1個球為紅球”為事件A，“摸出第2個球為黃球”為事件B，“摸出第2個球為黑球”為事件C．則P(A)＝eq\f(1,10)，P(A∩B)＝eq\f(1×2,10×9)＝eq\f(1,45)，P(A∩C)＝eq\f(1×3,10×9)＝eq\f(1,30)．所以P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,45)÷eq\f(1,10)＝eq\f(2,9)，P(C|A)＝eq\f(PA∩C,PA)＝eq\f(1,30)÷eq\f(1,10)＝eq\f(1,3)．所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)．所以所求的條件概率為eq\f(5,9)．1．某班學生考試成績中，數(shù)學不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%．已知一學生數(shù)學不及格，則他語文也不及格的概率是()A．0.2B．0.33A[記“數(shù)學不及格”為事件A，“語文不及格”為事件B，P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\,0.15)＝0.2，所以數(shù)學不及格時，該學生語文也不及格的概率為0.2．]2．拋擲紅、黃兩枚質(zhì)地均勻的骰子，當紅色骰子的點數(shù)為4或6時，兩枚骰子的點數(shù)之積大于20的概率是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,5)B[拋擲紅、黃兩枚骰子共有6×6＝36個基本事件，其中紅色骰子的點數(shù)為4或6的有12個基本事件，此時兩枚骰子點數(shù)之積大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4個基本事件，所求概率為eq\f(1,3)．]3．已知6個高爾夫球中有2個不合格，每次任取1個，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為()A．eq\f(3,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,10)B[記事件A＝{第一次取到的是合格高爾夫球}，事件B＝{第二次取到不合格高爾夫球}，事件AB＝{第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球}．由題意可得事件AB發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(A∩B)＝4×2＝8，事件A發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(A)＝4×5＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)．]4．把一枚硬幣投擲兩次，事件A＝{第一次出現(xiàn)正面}，B＝{第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)＝________．eq\f(1,2)[∵P(A∩B)＝eq\f(1,4)，P(A)＝eq\f(1,2)，∴P(B|A)＝eq\f(1,2)．]5．某種元件用滿6000小時未壞的概率是eq\f(3,4)，用滿10000小時未壞的概率是eq\f(1,2)，現(xiàn)有一個此種元件，已經(jīng)用過6000小時未壞，則它能用到10000小時的概率為________．eq\f(2,3)[設“用滿6000小時未壞”為事件A，“用滿10000小時未壞”為事件B，則P(A)＝eq\f(3,4)，P(A∩B)＝P(B)＝eq\f(1,2)，所以P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3)．]回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：1．求解條件概率應注意哪些問題？[提示](1)在具體問題中，必須弄清楚哪是事件A，哪是事件B，即在哪個事件發(fā)生的條件下，求哪個事件的概率；(2)重點抓住“把事件A發(fā)生作為條件”還是“把事件B發(fā)生作為條件”和“A與B同時發(fā)生”這兩件事；(3)正確理解事件A∩B，準確求出P(A∩B)．(4)要注意結(jié)合題意分析事件A與B的關系，有時可從集合知識的角度來分析，若事件A發(fā)生時B一定發(fā)生，而B發(fā)生時A不一定發(fā)生，則有A?B，且P(A∩B)＝P(A)．2．如何理解條件概率公式？[提示](1)如果知道事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；(2)已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當于把A看作新的基本事件空間計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(\f(nA∩B,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PA∩B,PA)．(教師用書獨具)概率論的起源概率論滲透到現(xiàn)代生活的方方面面．正如19世紀法國著名數(shù)學家拉普拉斯所說：“對于生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題．你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的，只有一小部分我