淺談利用極限思想分析函數圖像獲獎科研報告

淺談利用極限思想分析函數圖像獲獎科研報告

【摘

要】極限思想不僅僅局限于大學數學分析等高等數學中的應用，在高中的函數及其圖像問題中，也起到了很重要的作用。

【關鍵詞】極限思想;函數圖像;趨近于;變化趨勢

“極限”是數學中的分支——微積分的基本概念，廣義的“極限”是指：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變?。┑挠肋h變化過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極為靠近A點的趨勢”。極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠趨近的指A就叫做“極限值”。這是百度百科對“極限”一詞的描述。極限的英文名叫“l(fā)imit”，在數學中的符號就是“l(fā)im”，主要應用于微積分。

而所謂極限思想，其實就是用極限的概念分析問題和解決問題的一種數學思想。這是微積分的基本思想，在大學數學分析這門課中，如函數連續(xù)性、導數以及定積分等等都是借助于極限來定義的。

用極限思想解決問題的一般步驟就是：對于被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變量，確認此變量通過無限變化過程的“影響”趨勢性結果就是非常精密的約等于所求的未知量;用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的大腦抽象思維的產物。極限思想可以追溯到古代，例如，劉徽“割圓術”就是建立在直觀圖形研究基礎上的一種原始可靠的“不斷靠近”的極限思想的應用。

那么在數學史中占據如此重要地位的極限思想，是否僅用于大學數學分析等高等數學中的研究呢？它在我們高中數學教學中又有哪些重要的應用，就是我想闡述的本篇文章中我個人對極限思想在高中數學中的應用，尤其是在函數及其圖像中的應用。

在高中數學的函數內容學習中，函數單調性是函數最重要的一個性質，等同于一個函數的靈魂，有了單調性，我們就把握住了一個函數的命脈，知道了它的走向。我們利用導數來分析函數單調性，有了單調遞增和單調遞減，或者恒等于某個值，這些都是我們可以通過函數的導數得到的。但是知道了一個函數單調性，我們離畫出一個函數圖像還存在一個難點，就是從哪開始，又到哪結束。這就好比于我們知道了一個函數走向，可是從哪走到哪我們并不清楚，畫出的圖像也是存在問題的。

用一個最簡單的我們最熟悉的函數來看：反比例函數，我們通過求導發(fā)現(xiàn)，導數，是恒小于零的，意味著是一直單調遞減的，那我們是否在定義域上就畫出一條遞減的曲線呢？那我們在畫出它的圖像中，還存在一個難點，就是從哪遞減到哪，這也就是很多學生困惑的地方。雖說大家都對反比例函數圖像很了解，但是為什么長這樣，大部分同學還是停留在初中對它利用描點法畫出的圖像上。那么我們的極限思想，在這就對函數圖像有一些新見解。我們發(fā)現(xiàn)，當值無限趨近于時，值仍然是正數，且接近于0;當值無限趨近于0但仍然為正數時，值就會趨近于。而在區(qū)間上，導數又是一直小于零的，所以我們能分析出來，這個函數在上單調遞減，而且是從開始一直遞減到接近0的，且一直為正數。

同樣道理，在上，當值無限趨近于時，等于將會變成一個無限靠近0的負數;當值無限趨近于0且為負數時，值就會趨于。所以這個函數在上也是單調遞減，而且是從接近0的負數開始一直遞減到的，且一直為負數。

那么如此我們針對的圖像就有了大概的形狀，當然，這只是對一個簡單函數的應用，極限思想的厲害之處不僅于此，我們來看一下下面一些題型，感受下極限思想的重要之處。

例1：函數的大致圖像是（

）

這種函數圖像的問題是高考熱點題型，對于這個函數，我們發(fā)現(xiàn)它并沒有奇偶性，求導分析又過于復雜，也沒有任何一個特殊值的位置，那么分析起來就存在一定的難度，這時候我們可以借助極限思想來分析函數，當值從右邊無限趨近于0時，即無限趨近于0且為正數時，分子為正數，也為正數，則為正數。所以排除選項。當無限趨近于時，分子為正數，也為正數，但是指數函數相對于二次函數來說增長性是最強的，（當無限趨近于時，函數增長性：指數函數>三次函數>二次函數>一次函數>對數函數），所以分母相對于分子來說特別地大，則函數值將會無限趨于0且為正數，則能選出正確選項。

例2：（2018全國2卷）函數的圖像大致為（）

本題就是2018年全國2卷的一道高考題，首先通過判斷奇偶性我們能夠發(fā)現(xiàn)，函數為奇函數，排除選項，再利用特殊值法，當時，，所以排除選項。但是針對兩個選項，要是沒有用極限思想分析，只能通過求導分析單調性，但是我們會發(fā)現(xiàn)，當無限趨近于時，分子和分母都是趨于，但是因為指數函數增長性最強，分子要遠遠大于分母，所以函數值會趨于，選出答案。

例3：函數在上存在兩個零點，求的范圍。

將函數的零點轉化為方程的根，即是函數與的交點問題。此時我們需要分析函數的圖像。

，導數零點為，所以在上單調遞減，在上單調遞增。許多學生一分析出函數的單調性，又因為，就很容易直接畫出錯誤的圖像，以為在上也存在一個零點，從而導致找錯范圍。但是其實用極限思想分析一下，當無限趨近于時，趨于0，且一直為負數，圖像并沒有穿過軸跑到軸上方。

以上三道例題，充分體現(xiàn)了極限思想在函數的學習過程中起到了至關重要的作用。某些高考熱門題型，利用極限思想就能夠迅速得到答案。然而現(xiàn)在許多學生都只是停留在通過求導分析函數單調性的地步，某些基礎好一