淺談利用極限思想分析函數(shù)圖像獲獎科研報(bào)告

淺談利用極限思想分析函數(shù)圖像獲獎科研報(bào)告

【摘

要】極限思想不僅僅局限于大學(xué)數(shù)學(xué)分析等高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，在高中的函數(shù)及其圖像問題中，也起到了很重要的作用。

【關(guān)鍵詞】極限思想;函數(shù)圖像;趨近于;變化趨勢

“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基本概念，廣義的“極限”是指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大（或者變?。┑挠肋h(yuǎn)變化過程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢”。極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的指A就叫做“極限值”。這是百度百科對“極限”一詞的描述。極限的英文名叫“l(fā)imit”，在數(shù)學(xué)中的符號就是“l(fā)im”，主要應(yīng)用于微積分。

而所謂極限思想，其實(shí)就是用極限的概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。這是微積分的基本思想，在大學(xué)數(shù)學(xué)分析這門課中，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。

用極限思想解決問題的一般步驟就是：對于被考察的未知量，先設(shè)法正確地構(gòu)思一個(gè)與它的變化有關(guān)的另外一個(gè)變量，確認(rèn)此變量通過無限變化過程的“影響”趨勢性結(jié)果就是非常精密的約等于所求的未知量;用極限原理就可以計(jì)算得到被考察的未知量的結(jié)果。與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會實(shí)踐的大腦抽象思維的產(chǎn)物。極限思想可以追溯到古代，例如，劉徽“割圓術(shù)”就是建立在直觀圖形研究基礎(chǔ)上的一種原始可靠的“不斷靠近”的極限思想的應(yīng)用。

那么在數(shù)學(xué)史中占據(jù)如此重要地位的極限思想，是否僅用于大學(xué)數(shù)學(xué)分析等高等數(shù)學(xué)中的研究呢？它在我們高中數(shù)學(xué)教學(xué)中又有哪些重要的應(yīng)用，就是我想闡述的本篇文章中我個(gè)人對極限思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，尤其是在函數(shù)及其圖像中的應(yīng)用。

在高中數(shù)學(xué)的函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)最重要的一個(gè)性質(zhì)，等同于一個(gè)函數(shù)的靈魂，有了單調(diào)性，我們就把握住了一個(gè)函數(shù)的命脈，知道了它的走向。我們利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)單調(diào)性，有了單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，或者恒等于某個(gè)值，這些都是我們可以通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到的。但是知道了一個(gè)函數(shù)單調(diào)性，我們離畫出一個(gè)函數(shù)圖像還存在一個(gè)難點(diǎn)，就是從哪開始，又到哪結(jié)束。這就好比于我們知道了一個(gè)函數(shù)走向，可是從哪走到哪我們并不清楚，畫出的圖像也是存在問題的。

用一個(gè)最簡單的我們最熟悉的函數(shù)來看：反比例函數(shù)，我們通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)，是恒小于零的，意味著是一直單調(diào)遞減的，那我們是否在定義域上就畫出一條遞減的曲線呢？那我們在畫出它的圖像中，還存在一個(gè)難點(diǎn)，就是從哪遞減到哪，這也就是很多學(xué)生困惑的地方。雖說大家都對反比例函數(shù)圖像很了解，但是為什么長這樣，大部分同學(xué)還是停留在初中對它利用描點(diǎn)法畫出的圖像上。那么我們的極限思想，在這就對函數(shù)圖像有一些新見解。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)值無限趨近于時(shí)，值仍然是正數(shù)，且接近于0;當(dāng)值無限趨近于0但仍然為正數(shù)時(shí)，值就會趨近于。而在區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)又是一直小于零的，所以我們能分析出來，這個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，而且是從開始一直遞減到接近0的，且一直為正數(shù)。

同樣道理，在上，當(dāng)值無限趨近于時(shí)，等于將會變成一個(gè)無限靠近0的負(fù)數(shù);當(dāng)值無限趨近于0且為負(fù)數(shù)時(shí)，值就會趨于。所以這個(gè)函數(shù)在上也是單調(diào)遞減，而且是從接近0的負(fù)數(shù)開始一直遞減到的，且一直為負(fù)數(shù)。

那么如此我們針對的圖像就有了大概的形狀，當(dāng)然，這只是對一個(gè)簡單函數(shù)的應(yīng)用，極限思想的厲害之處不僅于此，我們來看一下下面一些題型，感受下極限思想的重要之處。

例1：函數(shù)的大致圖像是（

）

這種函數(shù)圖像的問題是高考熱點(diǎn)題型，對于這個(gè)函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)它并沒有奇偶性，求導(dǎo)分析又過于復(fù)雜，也沒有任何一個(gè)特殊值的位置，那么分析起來就存在一定的難度，這時(shí)候我們可以借助極限思想來分析函數(shù)，當(dāng)值從右邊無限趨近于0時(shí)，即無限趨近于0且為正數(shù)時(shí)，分子為正數(shù)，也為正數(shù)，則為正數(shù)。所以排除選項(xiàng)。當(dāng)無限趨近于時(shí)，分子為正數(shù)，也為正數(shù)，但是指數(shù)函數(shù)相對于二次函數(shù)來說增長性是最強(qiáng)的，（當(dāng)無限趨近于時(shí)，函數(shù)增長性：指數(shù)函數(shù)>三次函數(shù)>二次函數(shù)>一次函數(shù)>對數(shù)函數(shù)），所以分母相對于分子來說特別地大，則函數(shù)值將會無限趨于0且為正數(shù)，則能選出正確選項(xiàng)。

例2：（2018全國2卷）函數(shù)的圖像大致為（）

本題就是2018年全國2卷的一道高考題，首先通過判斷奇偶性我們能夠發(fā)現(xiàn)，函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)，再利用特殊值法，當(dāng)時(shí)，，所以排除選項(xiàng)。但是針對兩個(gè)選項(xiàng)，要是沒有用極限思想分析，只能通過求導(dǎo)分析單調(diào)性，但是我們會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無限趨近于時(shí)，分子和分母都是趨于，但是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)增長性最強(qiáng)，分子要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分母，所以函數(shù)值會趨于，選出答案。

例3：函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的范圍。

將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，即是函數(shù)與的交點(diǎn)問題。此時(shí)我們需要分析函數(shù)的圖像。

，導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。許多學(xué)生一分析出函數(shù)的單調(diào)性，又因?yàn)?，就很容易直接畫出錯誤的圖像，以為在上也存在一個(gè)零點(diǎn)，從而導(dǎo)致找錯范圍。但是其實(shí)用極限思想分析一下，當(dāng)無限趨近于時(shí)，趨于0，且一直為負(fù)數(shù)，圖像并沒有穿過軸跑到軸上方。

以上三道例題，充分體現(xiàn)了極限思想在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中起到了至關(guān)重要的作用。某些高考熱門題型，利用極限思想就能夠迅速得到答案。然而現(xiàn)在許多學(xué)生都只是停留在通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性的地步，某些基礎(chǔ)好一