第31講正弦定理余弦定理（原卷版）

第31講正弦定理、余弦定理1、正弦定理＝＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．正弦定理的常見變形(1)(2)；(3)(4)2、余弦定理1)；2)；3).余弦定理的常見變形3、三角形的面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha為邊a上的高)；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．1、（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷））在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（）A. B. C. D.2、（2023年高考數(shù)學(xué)新高考I卷）．已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．3、（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷））記內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．1、在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于()A．1B．2C．3D．42、已知△ABC，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．均不正確3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．24、（2022年湖北省宜昌市高三模擬試卷）若在中，角的對邊分別為，則（）A.或 B. C. D.以上都不對考向一運用正余弦定理解三角形例1、（2021·全國高三專題練習(xí)（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，成等差數(shù)列.（1）求角B的大??；（2）若，求的值.變式1、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）（多選題）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A. B.C. D.變式2、（2022年福建省南安國光中學(xué)高三模擬試卷）記的內(nèi)角的對邊分別為，．（1）證明：；（2）若，求．方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．考查基本運算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形狀例2、（河北張家口市·高三月考）（多選題）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個結(jié)論正確的是（）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則變式1、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形變式2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形方法總結(jié)：判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考點三運用正余弦定理研究三角形的面積考向三運用正余弦定理解決三角形的面積、周長例3、（2022年江蘇省徐州市高三模擬試卷）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）證明：；（2）若，，求的面積.變式1、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．變式2、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c的值；(2)設(shè)D為邊BC上的一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．變式3、（2022年廣州番禺中學(xué)高三模擬試卷）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，.（1）求角B；（2）求的面積.方法總結(jié)：1．求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．1、.（2022·山東泰安·高三期末）在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）在中，若，則的形狀為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形3、（2022·山東萊西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圓的