第08講直線與圓錐曲線的位置關系（四大題型6個方向）（講義）

第08講直線與圓錐曲線的位置關系目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解圓雉曲線的實際背景，感受圓雉曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質．（3）了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質．（4）通過圓雉曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想．2023年I卷第22題，12分2023年II卷第21題，12分2023年甲卷（理）第20題，12分2022年I卷第21題，12分2022年II卷第21題，12分從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，特別是解答題中，更是經(jīng)常出現(xiàn)．直線與圓雉曲線綜合問題是高考的熱點，涉及直線與圓雉曲線關系中的求弦長、面積及弦中點、定點、定值、參數(shù)取值范圍和最值等問題．多屬于解答中的綜合問題．近兩年難度上有上升的趨勢，但更趨于靈活．知識點一、直線和曲線聯(lián)立（1）橢圓與直線相交于兩點，設，，橢圓與過定點的直線相交于兩點，設為，如此消去，保留，構造的方程如下：，注意：=1\*GB3①如果直線沒有過橢圓內部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達定理的關系．=2\*GB3②焦點在軸上的橢圓與直線的關系，雙曲線與直線的關系和上述形式類似，不在贅述．（2）拋物線與直線相交于兩點，設，聯(lián)立可得，時，特殊地，當直線過焦點的時候，即，，因為為通徑的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標來記憶．拋物線與直線相交于兩點，設，聯(lián)立可得，時，注意：在直線與拋物線的問題中，設直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設；開口向右，選擇反設；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．總結：韋達定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點共線問題，角度問題等?？純热莸臅r候，要把題目中的核心信息，轉化為坐標表達，轉化為可以使用韋達定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑R點二、根的判別式和韋達定理與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達定理寫出，，注意隱含條件．（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關系，因為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標．知識點三、弦長公式設，根據(jù)兩點距離公式．（1）若在直線上，代入化簡，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡，得（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．注意：（1）上述表達式中，當為，時，；（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為，判別式為，時，，利用求根公式推導也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關系求解弦長會更加簡單．（5）直線如果過焦點可以考慮焦點弦公式以及焦長公式．知識點四、已知弦的中點，研究的斜率和方程（1）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，運用點差法求的斜率；設，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故（2）運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則．題型一：直線與圓錐曲線的位置關系例1．（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓的兩焦點為，，點滿足，則直線與橢圓C的公共點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定，與P點的位置有關【答案】A【解析】因為，所以，由可得，所以，所以直線與橢圓C的公共點個數(shù)為0.故選：A.例2．（2023·全國·高三對口高考）若直線被圓所截的弦長不小于2，則l與下列曲線一定有公共點的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為.設直線方程為，直線到圓心的距離為，由弦長公式得，所以.由點到直線的距離公式得，，即.對于選項A，直線到該圓圓心的距離為，取，滿足條件，而，直線與圓沒有公共點，故A排除；對于選項B，當時，對于直線有，，，聯(lián)立橢圓方程得，所以必有公共點；當時，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，所以必有公共點；故B正確；對于選項C，聯(lián)立直線與拋物線方程得，若時，則，有解；若時，，取，則，方程無解，此時無公共點，故C錯誤；對于選項D，當時，對于直線有，，，聯(lián)立雙曲線方程得，取，則直線：，與雙曲線不存在公共點，故D排除.故選：B.例3．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點和雙曲線，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條【答案】A【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點是雙曲線的頂點.①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與雙曲線只有一個公共點，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當直線平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點.若直線的斜率為，則直線的方程為，此時直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過點與雙曲線只有一個公共點的直線共有條.故選：A.變式1．（1999·全國·高考真題）給出下列曲線方程：①；②；③；④．其中與直線有交點的所有曲線方程是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】D【解析】直線和的斜率都是兩直線平行，不可能有交點；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與②中的曲線有交點；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與③中的曲線有交點；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與④中的曲線有交點．故選：D．變式2．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）命題p：直線與拋物線有且僅有一個公共點，命題q：直線與拋物線相切，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【解析】∵拋物線的對稱軸為軸，∴一條直線與拋物線有且僅有一個公共點，則該直線與拋物線相切或者該直線與軸垂直，∵直線存在斜率，與軸不垂直，∴“直線與拋物線有且僅有一個公共點”等價于“直線與拋物線相切”，則命題p是命題q的充要條件.故選：C.變式3．（2023·全國·高三專題練習）過點作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【解析】當直線的斜率不存在時，直線，代入拋物線方程可，故直線與拋物線有兩個交點．不滿足要求，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，消得，，當時，解得，直線與拋物線有且只有一個交點，符合題意；當時，由，可得，即當時，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條．故選：B.【解題方法總結】（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．題型二：中點弦問題方向1：求中點弦所在直線方程問題；例4．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是【答案】【解析】橢圓即，設弦的兩端點分別為,，,，則，則，，兩式作差可得：，．直線過點，這條弦所在直線的方程是，即．故答案為：．例5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點A，與橢圓C交于P，Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若，則直線l的方程為．【答案】【解析】取中點，連接,由于,所以,進而,設，設直線上任意一點，由于是圓的切線，所以,所以，令則，所以，由中點坐標公式可得，設,則，兩式相減可得，所以,又，,所以，解得，進而故直線l的方程為，即，故答案為：例6．（2023·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點，且線段的中點坐標為，則直線的斜率為.【答案】【解析】設，則兩式相減得，由線段的中點坐標為，即，.故答案為：變式4．（2023·全國·高二專題練習）雙曲線的一條弦的中點為，則此弦所在的直線方程為.【答案】【解析】由雙曲線的對稱性可得此弦所在的直線斜率存在，設弦的兩端分別為，，則有，兩式相減得，所以，又因為弦的中點為，所以，故直線斜率，則所求直線方程為，整理得，由得，，故該直線滿足題意，故答案為：變式5．（2023·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）拋物線：與直線交于，兩點，且的中點為，則的斜率為.【答案】【解析】已知的中點為，設，兩點坐標分別為，，則，可得，即，即又，所以.故答案為：.變式6．（2023·高二課時練習）已知拋物線的頂點為坐標原點，準線為，直線與拋物線交于兩點，若線段的中點為，則直線的方程為．【答案】【解析】因為拋物線的頂點為坐標原點，準線為，所以易得拋物線的方程為，設，因為線段的中點為，故，則，由，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．故答案為：.方向2：求弦中點的軌跡方程問題；變式7．（2023·全國·高三專題練習）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【答案】【解析】設，，線段AB的中點為，連接（為坐標原點）．由題意知，則，∴點的軌跡方程為．又點在橢圓內，∴，解得：，故答案為：.變式8．（2023·上海浦東新·高二上海市實驗學校?？计谀┮阎獧E圓內有一點，弦過點，則弦中點的軌跡方程是.【答案】【解析】設，中點，則，相減得，斜率存在時，∴，又是中點，且直線過點，所以，化簡得，斜率不存在時，方程為，中點為適合上述方程．∴點的軌跡方程是．故答案為：．變式9．（2023·全國·高一專題練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是．【答案】(或).【解析】設直線為，與雙曲線交點為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點為，所以弦的中點的軌跡方程為(或).故答案為：(或)變式10．（2023·全國·高三專題練習）直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是.【答案】【解析】設，中點，則.，過定點，.又，（1），（2）得：，.

于是，即.又弦中點軌跡在已知拋物線內，聯(lián)立故弦的中點軌跡方程是變式11．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程．【解析】直線過點，設其斜率為k，則的方程為記、，化簡得，，所以，，于是設點P的坐標為則，消去參數(shù)k得③當k不存在時，A、B中點為坐標原點，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為方向3：對稱問題變式12．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓的焦距為，左右焦點分別為、，圓與圓相交，且交點在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若，試問E上是否存在P、Q兩點關于l對稱，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為圓與圓相交，且交點在橢圓上，所以，，設，，的中點，，①－②，，，則橢圓E的方程：；（2）假設存在P、Q兩點關于l對稱，設直線PQ的方程為，，，PQ中點，，，，，即，由N在l上，，此時，故存在P、Q兩點關于l對稱，直線PQ的方程為．變式13．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為e，且過點和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關于直線對稱，求．【解析】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設及AB中點，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡為：聯(lián)立整理得：，由韋達定理知由弦長公式得：．法二

設直線，聯(lián)立，整理得：，則中點，滿足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立整理得：，由韋達定理知由弦長公式得：．變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點關于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標，若不存在，請說明理由．【解析】（1）設，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點關于l：對稱，設直線PQ與直線l的交點為N，則N為線段PQ的中點，連接ON∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點關于l對稱變式15．（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學?？计谥校┮阎€C的方程是，其中，，直線l的方程是．(1)請根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；(2)若直線l交曲線C于兩點M，N，且線段中點的橫坐標是，求a的值；(3)若，試問曲線C上是否存在不同的兩點A，B，使得A，B關于直線l對稱，并說明理由．【解析】（1），即，當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線；（2）設，，，則，，兩式相減得到：，即，故，故的中點為，代入直線得到，解得或（舍），故.（3）假設存在，直線方程為，雙曲線方程為，設，，中點為，則，，兩式相減得到，即，，又，解得，.此時直線方程為：，即，，化簡得到，方程無解，故不存在.變式16．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）雙曲線C的離心率為，且與橢圓有公共焦點．（1）求雙曲線C的方程．（2）雙曲線C上是否存在兩點A，B關于點（4，1）對稱？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．【解析】（1）橢圓：，所以雙曲線.所以雙曲線的方程為.（2）畫出圖象如下圖所示，設，，兩式相減并化簡得，即，所以直線的方程為.變式17．（2023·高二課時練習）已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且線段AB恰好被點平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設直線l的方程為，即，由消去x得：，，設，則有，由，得，于是直線l的方程，即，所以直線l的方程為.（2）假設拋物線上存在點C，D滿足條件，由（1）設直線的方程為，由消去x得：，有，解得，設，則，于是線段的中點坐標為，顯然點在直線上，即，解得，所以拋物線上不存在點C，D，使得C，D關于直線l對稱.變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點.(1)若，求的面積；(2)若拋物線C上存在兩個不同的點M，N關于直線l對稱，求a的取值范圍.【解析】（1）拋物線的焦點為，時，直線，聯(lián)立，可得，設，，，，則，．，點到直線的距離距離，的面積．（2）∵點，關于直線對稱，∴直線的斜率為，∴可設直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，由，可得，設，，，，則，故的中點為，∵點，關于直線對稱，∴的中點，在直線上，∴，得，∵，∴．綜上，的取值范圍為．方向4：斜率之積問題變式19．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┮阎甭蕿榈闹本€與橢圓交于兩點，線段的中點為，直線（為坐標原點）的斜率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設點，則，因為，可得，又因為，所以.故選：D.變式20．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，則，兩式作差得所以若O為坐標原點，則，同理，所以O，P，Q三點共線，即，所以，又過點，即橢圓的焦點，所以解得，所以C的方程為故選：C變式21．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）橢圓，M，N是橢圓上關于原點對稱的兩動點，P為橢圓上任意一點，直線，的斜率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，兩式相減并化簡得，而，所以，所以，當且僅當時等號成立.故選：A變式22．（2023·山西晉中·高二校考階段練習）過點的直線與橢圓相交于，兩點，設線段的中點為，若直線的斜率為，直線（為原點）的斜率為，則等于（

）.A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設，由于在橢圓上，所以，兩式相減并化簡得，即.故選：D變式23．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過雙曲線內一點且斜率為的直線交雙曲線于兩點，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，且，又因為，所以，即有，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.變式24．（2023·福建泉州·高二校考期中）過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】不妨設過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D變式25．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：的左，右焦點分別是，，其中，過右焦點的直線l與雙曲線的右支交與A，B兩點，則下列說法中錯誤的是（

）A．弦AB的最小值為B．若，則三角形的周長C．若AB的中點為M，且AB的斜率為k，則D．若直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率【答案】D【解析】A.AB的最小值為通徑為，故A正確；B.由雙曲線的定義得，得，所以三角形的周長，故B正確；C.設，，則，兩式相減得，則，則，則，故C正確；D若直線AB的斜率為，所以∴∴∴，所以選D不正確.故選：D【解題方法總結】直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何的重要內容之一，也是高考的一個熱點問題．這類問題一般有以下3種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）對稱問題，但凡涉及到弦的中點斜率的問題．首先要考慮是點差法．即設出弦的端點坐標，根據(jù)端點在曲線上，結合中點坐標公式，尋找中點坐標與弦的斜率之間的聯(lián)系．除此之外，最好也記住如下結論：在橢圓中，中點弦的斜率為，滿足．在雙曲線中，中點弦的斜率為，滿足．（其中為原點與弦中點連線的斜率）．在拋物線中，中點弦的斜率為，滿足（為中點縱坐標）．題型三：弦長問題例7．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點，若，則．【答案】/【解析】設直線，直線與圓相切，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，所以，因為，所以，由對稱性，不妨取，故答案為：.例8．（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為．【答案】【解析】在橢圓中，，，則，故點，設點、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，所以，.故答案為：.例9．（2023·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓的左焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點，則．【答案】【解析】已知橢圓，，則，所以橢圓的左焦點為,因為直線傾斜角為，所以直線的斜率，則直線的方程為.聯(lián)立，消去，整理得，解得．．故答案為：.變式26．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知直線與橢圓在第二象限交于兩點，且與軸、軸分別交于兩點，若，，則的方程為．【答案】【解析】設，線段的中點為，由，兩式相減可得，即，又由，則，設直線的方程為，可得，所以，所以，所以，解得，因為，所以，可得，解得，所以直線的方程為.故答案為：.變式27．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）在生活中，我們經(jīng)?？吹綑E圓，比如放在太陽底下的籃球，在地面上的影子就可能是一個橢圓.已知影子橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的最小值是．【答案】【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理得：，，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴則，當且僅當故答案為：.變式28．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學?？既＃┤鐖D，，分別為橢圓的左、右焦點，A，C在橢圓上且關于原點對稱（點A在第一象限），延長交橢圓于點B，若，則直線AC的方程為.【答案】【解析】連接，，，，四邊形為平行四邊形，.設直線的斜率為k，，直線的方程為.聯(lián)立方程，得，整理得，點A在第一象限，，同理可得.，得，，則，直線AC的方程為.變式29．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于、兩點，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】記，若直線與軸重合，此時，；若直線軸時，將代入雙曲線方程可得，此時，當時，則，此時，；當，可得，則，所以，雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為；當直線與軸不重合時，記，則點，設直線的方程為，其中，設點、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達定理可得，，所以，，即，所以，關于的方程由四個不等的實數(shù)解.當時，即當時，可得，可得，整理可得，因為，解得；當時，即當，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.變式30．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點，分別在雙曲線的左支與右支上，且點，與點共線，若，則.【答案】【解析】因為，設，，由雙曲線定義可得，所以，即，，即.故答案為：.變式31．（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為．【答案】【解析】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設，，則，，所以．故答案為：變式32．（2023·湖南長沙·周南中學?？级＃└鶕?jù)拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經(jīng)A點反射后交拋物線于B點，則.【答案】【解析】由條件可知AQ與x軸平行，令，可得，故A點坐標為，因為經(jīng)過拋物線焦點，所以方程為，整理得，聯(lián)立，得，，所以，又，所以，，所以.故答案為：.變式33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的準線與軸的交點為，過焦點的直線分別與拋物線交于兩點（點在第一象限），，直線的傾斜角為銳角，且滿足，則.【答案】12【解析】如圖，過點作軸于點，由拋物線的定義可知點到準線的距離，故，同理，則，故，，則，可得，則，所以.故答案為：12.變式34．（2023·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，，AB的中點橫坐標為4，則．【答案】【解析】由拋物線定義知：，而AB的中點橫坐標為4，即，所以，即.故答案為：【解題方法總結】在弦長有關的問題中，一般有三類問題：（1）弦長公式：．（2）與焦點相關的弦長計算，利用定義；（3）涉及到面積的計算問題．題型四：面積問題方向1：三角形問題例10．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設橢圓的左?右頂點分別為，且焦距為.點在橢圓上且異于兩點，若直線與的斜率之積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點，直線的方程為：，過點作垂直于直線，交于點.求面積的最大值.【解析】（1）由題意知：，，設，則，，又，，，橢圓的標準方程為：.（2）設直線，，則，由得：，顯然，，，，又，直線方程為：，令，則，直線過定點；而，則，令，有在上單調遞增，則，即時，取最小值4，于是當時，，所以面積的最大值是.例11．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點F的直線與拋物線C交于兩點，直線與圓E：的另一交點分別為為坐標原點，求與面積之比的最小值．【解析】（1）依題意得，解得，所以拋物線方程為.（2）拋物線的焦點為，直線與軸不重合，設直線的方程為，由消去并化簡得，，設，則，所以，所以.，由，而，故解得.同理可求得.，同理，所以，故當時，取得最小值為.例12．（2023·河南·高三校聯(lián)考開學考試）橢圓的左右頂點分別為是栯圓上一點，．(1)求橢圓方程；(2)動直線交橢圓于兩點，求面積取最大時的的值．【解析】（1）在橢圓中，，而在橢圓上，且，因此，解得，顯然，則，所以橢圓方程為.（2）直線與橢圓交于兩點，則，把代入方程得：，由橢圓的對稱性知，點到直線的距離，當時，得的面積，令，求導得，由，得，當或時，，當或時，，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，而，，顯然，于是當時，函數(shù)取得最大值，此時面積取得最大值，所以當面積取最大時，.變式35．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考開學考試）已知為坐標原點，，，直線，的斜率之積為4，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點，與交于，兩點，線段中點為第一象限，且縱坐?為，求的面積.【解析】（1）設點的坐標為，因為，，所以，化簡得：所以的方程為：.（2）當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；設，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達定理得，因為線段中點在第一象限，且縱坐標為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以，點到直線的距離，所以.變式36．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內.設點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.【解析】（1）設，依題意，，可得，整理可得，又橢圓C過點，所以，故橢圓C的方程為；（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，又BM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，所以，，則,由于，所以，解得.變式37．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預測）已知點在橢圓上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)求的面積的最大值（為坐標原點）．【解析】（1）由題意得，解得，代入橢圓方程中，，解得或6（舍去），故，當直線的斜率不存在時，關于軸對稱，此時有對稱性可知，直線，的斜率之和不為0，舍去；設，聯(lián)立橢圓方程得，，則，則，設，則，，故，即，故，即，當時，，此時直線，顯然直線恒過，矛盾，當時，經(jīng)檢驗，滿足題意，故直線的斜率為1；（2）設，聯(lián)立橢圓方程得，，，解得，，點到直線的距離為，故，故當，即時，取得最大值，最大值為.變式38．（2023·廣東佛山·高三統(tǒng)考開學考試）設動點M與定點的距離和M到定直線l：的距離的比是．(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)當時，記動點M的軌跡為，動直線m與拋物線：相切，且與曲線交于點A，B．求面積的最大值．【解析】（1）設，則，化簡得，，當時，，軌跡為一條直線；當時，，此時軌跡為焦點在軸上的橢圓；當時，，此時軌跡為焦點在軸上的雙曲線；綜上：當時，軌跡方程為，軌跡為一條直線，當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的橢圓；當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的雙曲線；（2）當時，，當直線斜率不存在時，又與相切，故此時直線，此時三點共線，不合要求，舍去，設直線，聯(lián)立得，由得，顯然，聯(lián)立得，，由，結合，解得，設，則，設直線與軸交于點，則，則，將代入得，因為，令，則，，設，則設，則，，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，也是最大值，故最大值為.圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．方向2：四邊形問題變式39．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質：不過橢圓中心的一條弦的中點為，當，斜率均存在時，，利用這一結論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，且，其中為坐標原點.(1)求點的軌跡方程；(2)過點作直線交橢圓于，兩點，使，求四邊形的面積.【解析】（1）設，因為，，代入橢圓得：，點的軌跡方程為：.（2）設，由（1）則，①當直線不與坐標軸重合時，由，知為中點，，直線：，代入橢圓：的方程得：即：，設，，由根與系數(shù)關系，，設表示點到直線的距離，表示點到直線的距離，；它法：利用比例關系轉化：，酌情給分.②當直線與坐標軸重合時，不妨取，，，或，，，綜上所述：四邊形的面積是.變式40．（2023·湖北恩施·校考模擬預測）已知是橢圓的左右焦點，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點為，若三角形的面積為1，其內切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題意知，則，又，則，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為聯(lián)立方程組，可得，則，直線的方程：，所以，同理，，，，當且僅當時，四邊形的面積最大，最大值為4．變式41．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）如圖．已知圓，圓．動圓與這兩個圓均內切．(1)求圓心的軌跡的方程；(2)若、是曲線上的兩點，是曲線C上位于直線兩側的動點．若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）如圖，設動圓與兩個已知圓的切點分別為，由，，所以點的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，所以，所以點的軌跡方程為：；（2）設，，直線的方程為，代入中，整理得，，解得，，，

四邊形的面積，當時，，所以四邊形面積的最大值為；變式42．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，拋物線的準線與相交，所得弦長為.(1)求的方程；(2)若在上，且，分別以為切點，作的切線相交于點，點恰好在上，直線分別交軸于兩點.求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）由題知過點，則，解得，.（2）設直線的方程為，聯(lián)立，得，，則，而，則，故以為切點的切線為，即，同理以為切點的切線為，則，由，故兩式作差得：，所以，兩式求和得：，所以點由在橢圓上，即.點到直線的距離，所以，，，而、在上遞增且恒正，則在上遞增，.變式43．（2023·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若動直線：與橢圓交于兩點，且在坐標平面內存在兩個定點，使得（定值），其中分別是直線的斜率，分別是直線的斜率．①求的值；②求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題意得，解得，則橢圓的標準方程為.（2）①設，把與橢圓的標準方程聯(lián)立，消去，可得，注意到為方程的兩根，故有恒等式，則，同理，把與橢圓的標準方程聯(lián)立，消去，可得，注意到為方程的兩根，故有恒等式，則，則，所以，若為定值，則必有，計算可得或，故．②不妨設點，點，點，點到直線的距離分別是，因為，，，所以，四邊形面積（當時取等號），所以四邊形面積的最大值是．變式44．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預測）已知橢圓，橢圓．點為橢圓上的動點，直線與橢圓交于，兩點，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)以點為切點作橢圓的切線，與橢圓交于，兩點，問：四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍．【解析】（1）設，，，因為，所以，因為點為橢圓上的動點，所以，從而即，故橢圓的標準方程；（2）法一：設，，當直線的斜率存在時，設為，則直線的方程為，即，，即，代入得直線的方程為

聯(lián)立，消去得注意到化簡得

又，所以點到直線的距離為

所以點到直線的距離為

故

當直線的斜率不存在時，即，若，則：，則，，，，所以同理可得，若，綜上，四邊形的面積為定值．

法二：設，，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

注意到化簡得，

原點到直線的高為，

又因為，點是的中點，所以點到直線的距離等于點到直線的距離，由對稱性可知，，所以點到直線的距離等于點到直線的距離的三倍，故．

當斜率不存在時，同法一．變式45．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）已知橢圓的離心率為，左、右焦