數(shù)學(xué)人教A版選修2-3學(xué)案第一章1.2.2組合

1.2.2組合學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.能分析組合的意義，并能正確區(qū)分排列、組合．2．能記住組合數(shù)的計(jì)算公式，組合數(shù)的性質(zhì)以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系，并能運(yùn)用這些知識解決一些簡單的組合應(yīng)用題．3．能合理進(jìn)行分類、分步，綜合應(yīng)用排列組合知識解決實(shí)際問題.重點(diǎn)：1.掌握組合數(shù)公式，能用組合數(shù)公式及其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算、化簡．2．利用組合知識解決實(shí)際問題．．2．排列組合問題的解題策略.1．組合的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)____．預(yù)習(xí)交流1排列與組合有何聯(lián)系與區(qū)別？2．組合數(shù)、組合數(shù)公式(1)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的______，用符號____表示．(2)組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝____＝______________，Ceq\o\al(m,n)＝eq\o\al(0,n)＝1.(m，n∈N*，且m≤n)預(yù)習(xí)交流2(1)已知平面內(nèi)A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，這五個(gè)點(diǎn)確定的三角形個(gè)數(shù)為()．A．Aeq\o\al(3,5) B．Aeq\o\al(2,5) C．Ceq\o\al(3,5) D．Ceq\o\al(3,8)(2)下列計(jì)算結(jié)果為28的是()．A．Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al(2,7) C．Aeq\o\al(2,8) D．Ceq\o\al(2,8)3．組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝______.性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝________.預(yù)習(xí)交流3(1)Ceq\o\al(18,20)＝__________；(2)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝__________.(可用組合數(shù)回答)答案：1．組合預(yù)習(xí)交流1：提示：聯(lián)系：二者都是從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素．區(qū)別：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)，只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的排列．只要兩個(gè)組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合．2．(1)組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)(2)eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)eq\f(n！,m！n－m！)預(yù)習(xí)交流2：(1)提示：C(2)提示：D3．Ceq\o\al(n－m,n)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)預(yù)習(xí)交流3：提示：(1)Ceq\o\al(2,20)；(2)Ceq\o\al(3,9)在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時(shí)加以關(guān)注？請?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、組合概念的理解與應(yīng)用判斷下列問題是排列問題還是組合問題，并分別求出對應(yīng)的方法數(shù)．(1)把當(dāng)日動物園的4張門票分給5個(gè)人，每人至多分一張，而且票必須分完，有多少種分配方法？(2)從2,3,5,7,11這5個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取2個(gè)數(shù)分別作為分子和分母構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)，共能構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)？(3)從9名學(xué)生中選出4名參加一個(gè)聯(lián)歡會，有多少種不同選法？思路分析：明確組合、排列的定義是解題的關(guān)鍵．若問題是否與順序有關(guān)不明顯，可以嘗試寫出其中的一個(gè)結(jié)果進(jìn)行判斷，再運(yùn)用排列數(shù)與組合數(shù)公式求值．1．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，則集合P的子集中含有3個(gè)元素的子集數(shù)為__________．2．中國、日本、韓國、朝鮮四國舉行女足邀請賽，賽制采取單循環(huán)賽方式，請列舉出所有各場比賽的雙方．區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．二、與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算1．計(jì)算：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(8,8)；(2)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(3)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,7).思路分析：先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進(jìn)行化簡，然后利用組合數(shù)公式展開計(jì)算．2．證明：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).思路分析：式子中涉及字母，可以用階乘式證明．1．計(jì)算：Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝__________.2．計(jì)算：Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(10,12)＝__________.3．若Ceq\o\al(x,15)＝Ceq\o\al(2x－6,15)，則x＝__________.(1)組合數(shù)公式的選?。荷婕熬唧w數(shù)字的可以用展開式計(jì)算，涉及字母的可以用階乘式計(jì)算．(2)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)主要應(yīng)用于簡化運(yùn)算．性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)從右到左兩個(gè)組合數(shù)合為一個(gè)，實(shí)現(xiàn)了由繁到簡的化簡過程，主要應(yīng)用于組合數(shù)的化簡．三、簡單組合問題現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？(3)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？思路分析：首先確定是否是組合問題，再確定完成事情是分步，還是分類．1．7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動．若每天安排3人，則不同的安排方案共有__________種(用數(shù)字作答)．2．一個(gè)口袋中裝有大小相同的6個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中取2個(gè)球，則這兩個(gè)球同色的不同取法有__________種．解簡單的組合應(yīng)用題時(shí)，要先判斷它是不是組合問題，取出元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題．只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時(shí)，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其種數(shù)．在解題時(shí)還應(yīng)注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，注意有無重復(fù)或遺漏．四、有限制條件的組合問題1．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()．A．30種B．35種C．42種D．48種思路分析：兩類選修課選3門，依據(jù)A類選修課選1門或2門進(jìn)行分類，每類需要利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決．2．2012年“嘉庚”“敬賢”杯海峽兩岸龍舟賽于2012年6月9日至11日在廈門市集美區(qū)舉行．某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，且既會劃左舷又會劃右舷的最多選1人，則不同的選法有()．A．4種B．36種C．40種D．92種思路分析：既會劃左舷又會劃右舷是多面手，是特殊元素，可以從他們的參與情況入手分類討論．1．某班級要從4名男生2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為()．A．14B．24C．28D2．某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()．A．360B．520C．600D(1)解有約束條件的組合問題與解有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優(yōu)先”的原則，在此前提下，或分類或分步或用間接法．(2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞(如“都”與“不都”，“至少”與“至多”，“含”與“不含”等)的確切含義，正確分類，合理分步．(3)分配問題的一般思路是先選取，再分配．答案：活動與探究1：解：(1)是組合問題．由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動物園的門票)，不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這和順序無關(guān)．分配方法有Ceq\o\al(4,5)＝5種．(2)是排列問題，選出的2個(gè)數(shù)有角色差異(作分子與作分母)．不同的分?jǐn)?shù)有Aeq\o\al(2,5)＝20個(gè)．(3)是組合問題，選出的4人無角色差異，不需要排列他們的順序．不同的選法有Ceq\o\al(4,9)＝126種．遷移與應(yīng)用：解析：由于集合中的元素具有無序性，因此含3個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)與元素順序無關(guān)，是組合問題，共有Ceq\o\al(3,6)＝20種．2．解：單循環(huán)賽，指雙方只賽一場，因此所有各場比賽雙方為中國——日本；中國——韓國；中國——朝鮮；日本——韓國；日本——朝鮮；韓國——朝鮮．活動與探究2：1.解：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(8,8)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＋1＝149.(2)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2×1)＋200＝5150.(3)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.2．證明：左邊＝m·eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(n·n－1！,m－1！n－m！)＝neq\f(n－1！,m－1！n－m！)＝nCeq\o\al(m－1,n－1)＝右邊，∴mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).遷移與應(yīng)用：解析：∵Ceq\o\al(2,2)＝Ceq\o\al(3,3)＝1，∴原式＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝Ceq\o\al(3,11)＝eq\f(11×10×9,3×2)＝165.2．81解析：Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(10,12)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,12)＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(12×11,2×1)＝15＋66＝81.3．6或7解析：由已知x＝2x－6或x＋2x－6＝15，∴x＝6或x＝7.活動與探究3：解：(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類：第1類，選出的2名是男教師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第2類，選出的2名是女教師有Ceq\o\al(2,4)種方法，即Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝21(種)．(3)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有選法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(種)．遷移與應(yīng)用：解析：第1步，從7名志愿者中選出3人在周六參加社區(qū)公益活動，有Ceq\o\al(3,7)種不同的選法；第2步，從余下的4人中選出3人在周日參加社區(qū)公益活動，有Ceq\o\al(3,4)種不同的選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(3,4)＝140種不同的安排方案．2．21解析：分兩類：一類是2個(gè)白球有Ceq\o\al(2,6)＝15種取法，另一類是2個(gè)黑球有Ceq\o\al(2,4)＝6種取法，所以共有15＋6＝21種取法．活動與探究4：解析：分兩類，A類選修課選1門，B類選修課選2門，或者A類選修課選2門，B類選修課選1門，因此，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＝30種選法．2．C解析：第一類：無既會劃左舷又會劃右舷的有Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(3,4)＝4種選法．第二類：只有一名既會劃左舷又會劃右舷的有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,4))＝2(3×4＋6)＝36種選法．∴共有40種選法．遷移與應(yīng)用：解析：(間接法)6人中選派4人的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,6)，其中都選男生的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,4)，所以至少有1名女生的選派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14種．2．C解析：分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝2×10×24＝480種選法．第二類，甲、乙都參加時(shí)，則有Ceq\o\al(2,5)(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝10(24－12)＝120種選法．∴共有480＋120＝600種選法．1．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，則n等于()．A．8 B．5或6 C．3或4 D．2．(Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(97,100))÷Aeq\o\al(3,101)的值為()．A．6 B．101 C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,101)3．從6名女生、4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為()．A．Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4) B．Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(3,4) C．Ceq\o\al(5,10) D．Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(2,4)4．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有__________種．5．6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為1,1,2