專題25空間直線平面的垂直

專題2專題25空間直線、平面的垂直№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題25空間直線、平面的垂直命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議集合是歷年高考的必考點(diǎn)，集合常出現(xiàn)在選擇題的第一或第二次小題，題目以集合的運(yùn)算為主，主要是集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算。從題目的難易度來看屬于基礎(chǔ)題，但從歷年高考題來看，在集合的考察中穿查不等式的求解，因此在做集合題時(shí)要注意不等式的求解。高考注重的基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用，集合題目簡單，考查內(nèi)容、題型穩(wěn)定，考查的覆蓋面會進(jìn)一步加大。預(yù)計(jì)2024年的高考仍然會以考查集合間的關(guān)系、集合的基本運(yùn)算為主，還是以選擇題的形式出現(xiàn)，全國卷中與不等式結(jié)合的可能性比較大，要多注意。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握集合的含義以及基本關(guān)系；2.理解集合的基本運(yùn)算；3.掌握不等式的求解?！?考點(diǎn)精析←一、空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號語言應(yīng)用判定根據(jù)定義,證明一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線b是平面α內(nèi)任意一條直線,b?α,a⊥b?a證明直線和平面垂直一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直

a,b?α,a?b=O如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于同一個(gè)平面

a⊥α,a∥b?b性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面垂直,那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直

b?α,a⊥α?a證明兩條直線垂直垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

a⊥α,b⊥α?a證明兩條直線平行二、空間平面與平面垂直的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用判定根據(jù)定義,證明兩平面所成的二面角是直二面角∠AOB是二面角αlβ的平面角,且∠AOB=90°,則α⊥β

證明兩個(gè)平面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直

l?β,l⊥α?α性質(zhì)如果兩個(gè)平面垂直,那么它們所成二面角的平面角是直角

α⊥β,∠AOB是二面角αaβ的平面角,則∠AOB=90°證明兩條直線垂直如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面α⊥β,l?β,α?β=a證明直線與平面垂直→?真題精講←1.（2023全國文科甲卷18）如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求四棱錐的高．【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】【分析】(1)由平面得，又因?yàn)?，可證平面，從而證得平面平面；(2)過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫妫矫?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面【小問2詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫妫矫?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．2.（2023北京卷16）如圖，在三棱錐中，平面，．（1）求證：平面PAB；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)椋?，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)?，，所以平?【小問2詳解】由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.3.（2023全國Ⅱ卷20）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．小問1詳解】連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)椋?，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．【小問2詳解】不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)椋?，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．?模擬精練←1．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┤鐖D，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn)．(1)證明：平面平面PBC；(2)若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點(diǎn)P到平面AEF的距離．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量數(shù)量積等于零證明；(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)到平面的距離，或者用等體積法的思想求解.【詳解】（1）方法一：因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以．因?yàn)锳BCD為正方形，所以，又因?yàn)?，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因?yàn)槠矫鍼AB，所以．因?yàn)?，E為線段PB的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC．方法二：因?yàn)榈酌鍭BCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因?yàn)槠矫鍼AB，所以．因?yàn)?，E為線段PB的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC解法三：因?yàn)榈酌鍭BCD，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則，設(shè)，則，所以，，，，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設(shè)為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則因?yàn)?，所?所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因?yàn)榈酌鍭BCD，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則，易知是平面PAB的法向量設(shè)，則，所以，，所以即，得，所以，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以平面AEF的法向量，又因?yàn)樗渣c(diǎn)P到平面AEF的距離為，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．（另解）由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中點(diǎn)．所以，，的面積為因?yàn)?，的面積為設(shè)點(diǎn)P到平面AEF的距離為h，則有解得所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因?yàn)樗渣c(diǎn)P到平面AEF的距離為，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱臺中，，平面平面，二面角的大小為45°，，.(1)求證：平面ABC；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)，利用梯形和平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)得到，則，再利用線面垂直的判定即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩異面直線所在的方向向量，然后利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，所以平面，又因?yàn)椋矫?所以，，所以是二面角的平面角，因?yàn)槎娼堑拇笮?5°，所以.取AB中點(diǎn)O，連結(jié)，在梯形中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，從而在三角形中，，，所以，所以，即，所以.又因?yàn)?，平面，，所以平?（2）以О為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，平面ABC內(nèi)過О平行于BC的直線為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值為.3．（2023·江蘇·二模）已知矩形，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿，將和翻折，使點(diǎn)重合，記為點(diǎn)．(1)求證：(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先利用線面垂直判定定理證得平面，再由線面垂直性質(zhì)得證；（2）先利用線面垂直判定定理證得，可得為直線與平面所成角的平面角，從而得解．【詳解】（1）已知矩形，沿，將和翻折，使點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，可得，取的中點(diǎn)，連接，，，，，又，，，平面，，；（2），，，，又四邊形為矩形，，，，為直線與平面所成角的平面角，，即直線與平面所成角的正弦值為．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐PABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，(1)求證：；(2)求平面PAB與平面ABCD交角的正弦值.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，即，因?yàn)?，所以；因?yàn)椤鱌AD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，所以；，所以平面，平面，所以.（2）過做平面，過做于，則為平面PAB與平面所成角，由（1）可知：平面，平面，所以平面平面，平面平面，則直線，由題意可知，，又，所以，在直角三角形中，，所以，，過做于，則，在中，，，則，，所以，所以，，則.5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐PABCD中，，且，底面ABCD是邊長為2的菱形，．(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值．【解析】（1）連接DB交AC于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點(diǎn)．因?yàn)镻B＝PD，所以PO⊥BD．又因?yàn)锳C，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．（2）取AB中點(diǎn)M，連接DM交AC于點(diǎn)H，連接PH．因?yàn)?，所以△ABD是等邊三角形，所以DM⊥AB．又因?yàn)镻D⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是邊長為2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，所以，令得．設(shè)平面PBC的法向量為，所以，令得．設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為．所以，所以，平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為．6．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，E是CD的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，G是的重心．(1)求證：平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，為等腰直角三角形，且，求直線AG與平面PBD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：連接AG并延長交PD于H，∵G為的重心，∴．又，∴，∴，∴．又平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．（2）連接PG并延長交AD于O，顯然O為AD的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面平面，又PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．取BC中點(diǎn)M，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OM，OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則PO=2，于是，，，，，，于是，，．設(shè)平面PBD的法向量為，則，∴，∴，不妨取z=1，則，∴，∴AG與平面PBD所成角的正弦值為．7．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）的各條棱長均為2，且有．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接AC和，由底面是菱形得，由與全等，得為的中點(diǎn)，又平面，平面，平面，

又平面平面平面．（2）以為x軸，以為y軸，以過O與底面垂直的直線為z軸，建立如圖空間坐標(biāo)系，則

過A作底面的垂線，垂足為H，由為正三棱錐知H為的重心，設(shè)，由，得，又取平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則∴直線與平面所成角的正弦值為．8．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）如圖所示，在直四棱柱ABCD中，底面ABCD為菱形，，，E為線段上一點(diǎn).(1)求證：；(2)若平面與平面ABCD的夾角的余弦值為，求直線BE與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，底面為菱形，.又平面平面.又面，平面.又平面.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖：為等邊三角形，，又，則.又平面，則.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令，則.又平面的一個(gè)法向量為，則.又平面與平面的夾角的余弦值為，，，，.直線與平面所成角的正弦值為.9．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知底面為菱形的平行六面體中，，四邊形為正方形，交于點(diǎn)M.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，連接OM四邊形為菱形，為中點(diǎn)，四邊形為正方形，，，平面，平面

平面（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，得，，，由（1）知，平面平面，，是等邊三角形點(diǎn)M作MH垂直O(jiān)C于點(diǎn)H，在中，，，可得CM邊上的高為，由等面積法可得OC邊上的高，由勾股定理可得，故，，,,,設(shè)平面的法向量為，則，即，令，，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，直線與平面所成角的余弦值→?專題訓(xùn)練←1.若直線平面，直線平面，則直線a與直線b的位置關(guān)系為（）A．異面 B．相交 C．平行 D．平行或異面【答案】C【解析】由于垂直于同一平面的兩直線平行，故當(dāng)直線平面，直線平面時(shí)，直線與直線平行.故選：C.2.已知直線與平面，則下列結(jié)論成立的是（）A．若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則B．若直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則C．若直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則D．若直線與平面無公共點(diǎn)，則【答案】D【解析】對于A選項(xiàng)，直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，若直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，但可能還是不存在相交直線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)直線在平面內(nèi)時(shí)，不滿足，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由線面平行的定義得：若直線與平面無公共點(diǎn)，則，故D選項(xiàng)正確.故選：D.3.已知直線，平面，，，，，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則在平面內(nèi)必定存在一條直線有，因?yàn)?，所以，若，則，又，即可得；若，由，，可得，又，則有.所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.4.在正方體中，若，分別為，的中點(diǎn)，則（）A．直線平面 B．直線平面C．平面平面 D．平面平面【答案】BD【解析】如圖，取的中點(diǎn)G，連接，可證，得四邊形為平行四邊形，則，若直線平面，則//平面ACD或平面，與平面矛盾，故A錯(cuò)誤；由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得平面，則，又平面，得，同理可證，又，直線平面ACD1，故B正確;而BD平面，平面平面ACD1，故D正確;連接，由，可得四邊形AA1C1C為平行四邊形，則平面A1BC1，AC平面A1BC1，平面A1BC1，同理AD1平面A1BC1，又AC∩AD1=A，平面A1BC1//平面ACD1，若平面A1EF平面ACD1，則平面A1EF與平面A1BC1重合，則EF平面A1BC1，與EF平面A1BC1矛盾，故C錯(cuò)誤．故選：BD5.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖在塹堵中，，且.下述四個(gè)結(jié)論正確結(jié)論的編號是______________.

①四棱錐為“陽馬”②四面體為“鱉臑”③過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則④四棱錐體積最大為【答案】①②③【解析】對于①：因?yàn)闉閴q堵，所以側(cè)棱平面，所以，又，所以平面，滿足“陽馬”的定義：一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以四棱錐為“陽馬”，故①正確；對于②：因?yàn)榈酌?，所以，即為直角三角形，同理也為直角三角形，由①可得平面，所以，即為直角三角形，因?yàn)榈酌?，所以又因?yàn)椋云矫?，所以，即為直角三角形，所以四面體的四個(gè)面全為直角三角形，即四面體為“鱉臑”，故②正確；對于③：由①可得平面，平面,所以，又，所以平面，所以，又，所以平面AEF，所以，故③正確；對于④：設(shè)，則矩形的面積為，在中，，所以四棱錐體積，故④錯(cuò)誤，故答案為：①②③6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考三模）如圖，平面五邊形中，△是邊長為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，∵△是邊長為2的等邊三角形，∴，，故翻折后有，又，則，，，所以△△，即，則，由，、平面，故平面，∵，則，∴平面，又平面，∴．（2）在面內(nèi)作，交于，由平面，平面，所以，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，四邊形為矩形，在△中，，由余弦定理得，故，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．7．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若，，且三棱錐的體積為18，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，則，又因?yàn)槠矫妫云矫?；?）由（1）知平面平面，得，又，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又因?yàn)?，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，所以可取，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即，所以可取，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.8．（2023·山東日照·三模）如圖，在直三棱柱中，，側(cè)面是正方形，且平面平面.(1)求證：；(2)若直線與平面所成的角為為線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)線面角的定義，建立坐標(biāo)系后利用法向量求二面角即可.【詳解】（1）

設(shè)，則中點(diǎn)為，且,∵平面平面且交線為平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，面，面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，,以為原點(diǎn)，分別為軸正向建立坐標(biāo)系，,則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，又因?yàn)槠矫嬖O(shè)平面的法向量為，則，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴，∵為銳角，∴..

9．（2023·山東德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．(1)求證：平面平面；(2)在