2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修4-5學(xué)案：第三講

柯西不等式與排序不等式

考綱定位重難突破

1.認(rèn)識(shí)并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和

向量形式，以及定理1、定理2、定理3等幾重點(diǎn)：二維形式柯西不等式的幾何意義.

難點(diǎn)：會(huì)利用二維形式的柯西不等式進(jìn)行簡

種不同形式，理解它們的幾何意義.

2.會(huì)用柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式以單證明.

及定理1、定理2.

01懦前自主梳理@-------------------------------------------------------掌握基本知識(shí)，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第27頁

［自主梳理］

一、二維形式的柯西不等式

1.若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則（一+〃2）匕2+/）2（ac+勵(lì)2,當(dāng)且僅當(dāng)市=從?時(shí),等號(hào)

成立.

2.二維形式的柯西不等式的推論

（a+d）^（y［ac+y［bd）2（a,b,c,"為非負(fù)實(shí)數(shù)）；

ya'+bZqj+cf2lac+bdKa,b,c,dGR）；

yf^+h2?，,2+/+|℃|+|陽（a,h,c,dGR）.

二、柯西不等式的向量形式

設(shè)a，/?是兩個(gè)向量，則|a/|W|a|同，當(dāng)且僅當(dāng)p是零向量,或存在實(shí)數(shù)匕使a=k/J

時(shí)，等號(hào)成立.

三、二維形式的三角不等式

14—+/+A/然+3（修一X2『+（X-丫2）七?,M，工2，j2eR）?

2.推論：

7（為一均）2+-乃）2+［（M-、3）2+b2—乃）2

》q區(qū)—起）2+（"一、2）2,（X”知知y,力，為￡1＜）?

[雙基自測]

1.函數(shù)5+2,6—x的最大值是()

A.小B.小

C.3D.5

解析：根據(jù)柯西不等式，知+百二后南二^

=小，當(dāng)且僅當(dāng)76_*=2也-5,即犬=當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

答案：B

2.已知a,b>0,且。+。=1,則代/4。+1+[4：+1)2的最大值是()

A.2#B.y[6

C.6D.12

解析：(#4〃+1+yj4b+1『

=(1義:44+1+1義.46+1產(chǎn)

^(12+12)(4O+1+4/?+1)

=2[4(a+b)+2]

=2X(4X1+2)=12,

當(dāng)且僅當(dāng).4b+l=.4a+l,

即a=〃=g時(shí)等號(hào)成立.

答案：D

3.設(shè)。=(一2,1,2),\b\=6,則a力的最小值為,此時(shí)6=.

解析:根據(jù)柯西不等式的向量形式,有|a6|W同也|,

，b\^(-2)2+12+22X6=18,

當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)攵，使0=心時(shí)，等號(hào)成立.

???一18Wa/W18.

：.ab的最小值為一18,

此時(shí))=一勿=(4,—2,—4).

答案：一18(4,—2,—4)

4.設(shè)mb,c,d,加，〃都是正實(shí)數(shù)，P=yfab+y/cdfQ=yjma+nc-yJ?則P與

Q的大小關(guān)系是.

解析：Ta,b,cfd,m,〃都是正實(shí)數(shù)，

ylma+nc-=yj(ma+nc)(^+^)》(痂而?必尸=

=^/^+

22

當(dāng)且僅當(dāng)管=號(hào)時(shí)，"=”成立.

答案：Q》尸

圖謂堂合作探究您-------------------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向,把脈核心問題

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第28頁

［題型探究］探鐘點(diǎn)?究忻熱

探究一利用柯西不等式證明不等式

［例1］設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：yjcr+b2+y［b^+?+y］a2+c1^yf2(a+b+c).

［證明］因?yàn)閍,4c為正數(shù)，所以由柯西不等式得，

2222

yja+byl\+\^a+b,

即班?亞奇》a+仇①

同理姬?FT?》6+C,②

6/+<22a+c,③

將①②③相加得

a?+b:+^/>2+c2+.J+c2)22(a+、+c),

:.yja^+b?+^i>2+c2+*^a2+c2^y［2(a+i>+c).

「方法歸納」

利用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式證題時(shí)，關(guān)鍵在于利用已知條件和所證不等式，構(gòu)

造柯西不等式的基本形式：一是和的乘積形式；二是和的完全平方形式，然后再進(jìn)行整體換

元、應(yīng)用.

學(xué)以致用le

2序

1.設(shè)a,6GR+,且a+b=2.求證：—+~~~~>2.

2~a2—0

證明：根據(jù)柯西不等式，有:

當(dāng)且僅當(dāng)4=8=1時(shí)，等號(hào)成立.

...原不等式成立.

探究二利用柯西不等式求最值

［例2］求函數(shù)y=5y/x—l10—2%的最大值.

［解析］函數(shù)的定義域?yàn)閧x|lWxW5}.

y=5y］x—1+y［2\］5-x^：\j52+2yjx—1+5-x

=后又2=6小，

當(dāng)且僅當(dāng)5小二^=地正二1,

127

即％=考時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為6小.

「方法歸綱」

利用柯西不等式求最值

(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；

(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常

數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；

(3)而有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，

每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.多次反復(fù)運(yùn)

用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.

學(xué)以致用le

2.若2x+3y=l,求f+y2的最小值及最小值點(diǎn).

解析：由柯西不等式得

(7+/)(22+32)>(2X+3^)2,即13(/+/)21,所以/+),22專，

當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y時(shí)，等號(hào)成立.

_2_

2x+3y=l,X=71，

由,；解得'

3x=2y.

y=百

所以f+尸的最小值為上，最小值點(diǎn)為佶，高.

探究三柯西不等式向量形式的應(yīng)用

［例3］己知p、qGR+,且p3+7=2.求證：p+qW2.

［證明］p、［GR+,且p3+q3=2,設(shè)a=(W，痔)，”=(如，也)，由向量數(shù)量積知

⑷叫冽a/|,則@2.肝2(々/尸，

即。/+/)(p+q)》(而-g+標(biāo)?也)2,

?<"(p'+qi)(p+q)》Ip?+才)2.

又：療+q2)(『十『)》(p+4)2,

：.(p3+q3)(p+q)^^^-,：.(p+q)^8,

即p+qW2.

「方法歸綱」

應(yīng)用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式證題時(shí)常需要構(gòu)造兩列數(shù)，同樣，向量形式的柯西

不等式需要構(gòu)造兩個(gè)向量，通常我們使構(gòu)造的向量滿足待證不等式一側(cè)的形式，再證另一

側(cè).同時(shí)要注意向量模的計(jì)算公式⑷=q?不?對(duì)教學(xué)式子的影響.

學(xué)以致用le

3.已知工￡(0,今)，求函數(shù)/(x)=3cosx+4[l+sin2_r的最大值,并說明等號(hào)成立的條

件.

解析：設(shè)機(jī)=(3,4),〃=(cosx,A/1+sin2%),則根據(jù)柯西不等式的向量形式可得：/(%)

=3cosx+4yj1+sin2x^^32+427cos2。+1+sirj2x=5班.

當(dāng)且僅當(dāng)m//n時(shí)上式取等號(hào)，此時(shí)，

3^/l+sin2x_4cosx=0,

而且x￡(0,。解得sinx=*.

所以當(dāng)sinx=坐時(shí)，

fix)=3cosx+4-\/l+sin2xflsi最大值為5y[2.

[思想方法]量方法?會(huì)應(yīng)用

二維柯西不等式的綜合應(yīng)用

[典例]己知關(guān)于x的不等式|x+a|<6的解集為國2a<4}.

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值：

(2)求。山+12+的的最大值.

[解析](1)由|x+〃|<h,得一b—a<x<b—a,

[-b-a=2f[?=-3,

則解得

出一a=4,匕=1.

(2川—31+12+yl~t=y[3y]4—t+yl~t

w叱(6)2+12][(5一7)2+訴

=2y]4~t+t=4,

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?興

即t=1時(shí)，等號(hào)成立,

故(、-3/+12+S)max=4.

［規(guī)律探究］(1)本題(1)考查絕對(duì)值不等式的解法，用好等價(jià)關(guān)系|x+a|＜加?-

是解答本題的關(guān)鍵.

(2)本題(2)考察柯西不等式的應(yīng)用，顯然需要構(gòu)造二維柯西不等式的相關(guān)條件和結(jié)構(gòu)特

征，而獲得最值的關(guān)鍵是確保含f的一組數(shù)的平方和必須是定值，最后還要驗(yàn)證等號(hào)成立的

條件.

03課后鞏固提升s-----------------------------------------檢測學(xué)習(xí)效果，體驗(yàn)成功快樂

［隨堂訓(xùn)練］對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第29頁

1.已知x+y=l,那么2^+3丁的最小值是()

56

--

A.6B.5

C-36D.去

解析：法一：正用柯西不等式，2x2+3y2=^[(y[2xf+(y[3yf][(^3)2+(V2)2]

x+y=1fv-56

當(dāng)且僅當(dāng)彳',即〈c時(shí)，2廠+3/有最小值為彳

2x=3yU=52"3

法二：因?yàn)閤+y=l,所以y=l—x,所以2?+3/=5/一6n

所以當(dāng)x=5,y=，,2^+3丫2有最小值,最小值為.

答案：B

2.已知函數(shù)兀0="(x—1)2+1+[(x+1)2+1,則火X)的最小值為

解析:為X)=N(X-1J+]+1(x+])2+1

=^/(x-l)2+(O-l)2+^/(x+l)2+(O+l)2

>A/[1-(-1)]2+[1-(-1)]2=2啦.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立.

答案：272

3.函數(shù)J(x)=，x—6+112—x的最大值為.

解析：由柯西不等式得

市7+、12-%(/+12)-[(A/I^)2+(y]\2-x)2]=12,

也蒼+N12-XW2板當(dāng)x=9時(shí)，“=”成立)

答案：2小

二一般形式的柯西不等式

考綱定位重難突破

1.理解三維形式的柯西不等式，在此基礎(chǔ)上，

重點(diǎn)：一般形式的柯西不等式的幾何意義.

過渡到柯西不等式的一般形式.

難點(diǎn)：會(huì)用一般形式的柯西不等式進(jìn)行簡單

2.會(huì)用三維形式的及一般形式的柯西不等式

的數(shù)學(xué)應(yīng)用.

證明有關(guān)不等式.

01謠前自主梳理須掌握基本知識(shí)，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第30頁

[自主梳理]

一、三維形式的柯西不等式

設(shè)4],。2,。3,b1,①，一￡R,則（M+、+L）?（/K+從+層）2（@1勿+。2岳+a乃3）2.當(dāng)且僅

當(dāng)包=。2=。3=0或存在?個(gè)數(shù)上，使得包=的1，&2=kbz，的=火、時(shí),等號(hào)成立.

二、一般形式的柯西不等式

設(shè)〃1，如。3,…，麻，尻,歷,仇，…，■是實(shí)數(shù),則（屆+〃，+￡+…+￡）?（優(yōu)+M+

層H卜層）2（〃出F劭土猿，當(dāng)且僅當(dāng)灰=0（i=l,2,3,…，〃）或存在一個(gè)數(shù)，使

得q=奶也=123,…，應(yīng)時(shí),等號(hào)成立.

[雙基自測]

1.設(shè)。，b,c￡R+,且滿足〃+b+c=l,則/+也+標(biāo)的最大值為（）

A.1B.y[2

C.小D.2

解析：,?&b,c￡R+,

；?（yl7i+y[b+y/7:）2=（1Xy/H+1Xyf^+1義正）2?（1?+12+l2）（tz+Z?+c）=3,?\y[a-i-y[b-\-

A/ZW小，

當(dāng)且僅當(dāng)班=業(yè)=&，即。=b=c=；時(shí)，等號(hào)成立，

.,?3+的+正的最大值為小，故選C.

答案：c

2.已知x,y,z>0,且x+y+z=L則f+J+z?的最小值是()

A.1B.1

C，2D.3

解析：由柯西不等式得(x2+y2+z2).(12+]2+]2)2a+y+z)2=l.，#+y2+z2，；，當(dāng)且

僅當(dāng)x=y=z=；時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為小

答案：B

222

3.設(shè)〃、b、c是正實(shí)數(shù)，且o+"c=9,則最小值是.

解析：?.?(“+b+c)(W+D

=[(3)2+(福)2+(4)2]

=18.

222

?9+/聲2.

答案：2

4.邊長為a,b,c的三角形，其面積為:，外接圓半徑為1,若s=6+木+&,

+1+1,則s與t的大小關(guān)系是.

解析：SA謙普=；,即儂=1,

/.t=ah+bc+ca9

i1=(ab+bc+ca)(^+^+^

2(y[ci+$+&)2=/,

又。，byc>0,.,.SWL

答案：sWf

02踝堂合作探究?------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向，把脈核心問題

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第30頁

[題型探究]探一點(diǎn)?究所然

探究一利用柯西不等式證明不等式

［例1］已知a,b,c>0,求證:

(ta+.Zb+.Xc\fb+.^c+.de\>^9八-

［證明］由柯西不等式，知

=(1+1+19=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)，等號(hào)成立.

故原不等式成立.

「方法歸納」

應(yīng)用柯西不等式需要掌握的方法與技巧

(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù).

(2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排各項(xiàng)的次序.

(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以改變式子的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到使用柯西不等

式的目的.

(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項(xiàng).

學(xué)以致用le

1.設(shè)a,b,c《R+,求證：a5+/?5+c5a3be+h3ca+c1ah.

證明：b,cRR+,

A(6Z5+^5+c5)(j+1+^(tz2+/?2+cy^

/.(4,+b5+c5)2(a1+A?+c2)2-/.

'7ah+hc+ac

又*/cr+/?2+c22ab+be+ca,

+/+d2(a2+b2+(^)abc,

即a5+Z?5+c5a^bc+t^ac+(?ab.

探究二利用柯西不等式求最值

123

［例2］已知a、b、(;￡(0,+8),-+-+-=29求a+2b-\-3c的最小值及取得最小值

時(shí)4、〃、c的值.

=(1+2+3)2=36,

.,.”+2b+3c218,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=%=c=3時(shí)，等號(hào)成立，

綜上，當(dāng)a=6=c=3時(shí)，a+2b+3c取得最小值18.

I■方法歸綱」

利用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果，同時(shí),

要注意等號(hào)成立的條件.

學(xué)以致用le

2.設(shè)2r+3y+5z=29,求函數(shù)0=。2%+1+#3)，+4+N5z+6的最大值.

I46

解析：易知x2一2，y^—yz》一手且">0,

由于J=N2X+1+H3y+4+、5z+6/=

(1Xy］2x+\+1X.3y+4+1X?\/57+6)2<(l2+12+\2)［(yj2x+\)2+(^3y+4)2+

N5z+6泊=3X(2x+3j+5z+11)=3X40,

.?.0<〃W2啊.

當(dāng)且僅當(dāng)2x+l=3y+4=5z+6,

即_37_28_22笑。出,

即x—6，y~9*z—15時(shí)，等萬成工，

故"max=2啊.

探究三柯西不等式其他形式的應(yīng)用

［例3］已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2Z>2+3c2+6rf2—5,試求a的范

圍.

［解析］由柯西不等式得，有

(2/?2+3c2+66/2)^+j+^)^(/?+c+J)2,

即2戶+33+6/23+。+"尸.

由條件可得，5—〃22(3—4)2,

解得lWaW2.

「方法歸納」

利用柯西不等式可以求參數(shù)范圍、解方程組、求最值等.要根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活變形為

柯西不等式的形式.

學(xué)以致用le

x2+y2+z2=|>

3.在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程組J-4

、一8x+6y-24z=39.

解析：由柯西不等式，得

(X2+/+Z2)[(-8)2+62+(-24)2]^(-8X+6)--24Z)2.①

V(?+/+?)[(-8)2+62+(-24)2]

9,

=I(64+36+4X144)=392,

又(一8x+6y-24)，)2=392,

A(?+/+?)[(-8)2+62+(-24)2]

=(—8x+6y—24z)J

即不等式①中只有等號(hào)成立時(shí)滿足條件.

從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得

xyz

ZZ8=6=-24-

它與一8x+6y-24z=39聯(lián)立，可得

6918

X~~V3,y~26'z=一互

[規(guī)范解答]絳規(guī)他?得滿分

構(gòu)造三維柯西不等式求最值

[典例](本題滿分10分)已知。>0,">0,c>0,函數(shù)7U)=|x+a|+|x一四+c的最小值為

⑴求a+b+c的值；

(2)求，？+，?2+c2的最小值.

[解析]⑴因?yàn)?(x)=|x+a|+|x—"+c2|(x+a)一(工一b)|+c=|a+/?|+c,

當(dāng)且僅當(dāng)一時(shí)，等號(hào)成立.

又。>0,/?>0,所以|a+[=〃+b,

所以?r)的最小值為a+b+c.

又已知於)的最小值為4,所以“+〃+c=4..................................3分

(2)由(1)知。+力+C=4,由柯西不等式，得

(52+)2+。2)(4+9+1)

>(jX2+|x3+cXI)2=(a+b+c)2=i6,即%+，+。2笄.............6分

2〃Yc818?11Q

當(dāng)且僅當(dāng)另=〈=工，即。=5,b=F~,c=5時(shí)等號(hào)成立，故不廣+^/^+仃之的最小值是不

......................................................................10分

［規(guī)律探究］(1)結(jié)合本題特征，用絕對(duì)值三角不等式求函數(shù)式x)=|x+a|+|x—目+c的最

小值簡單快捷非常方便，此外本題也可作出函數(shù)7U)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想方法求解.

(2)本題第(2)問的求解顯然需要構(gòu)造三維形式柯西不等式的條件及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因?yàn)楝F(xiàn)有

的兩組數(shù)為(42,步,。2)和(〃，b,c),因此需構(gòu)造一組常數(shù)(4,9,1)才能符合三維柯西不等

式的條件.

03課后鞏固提升碘------------------------------------------------------檢測學(xué)習(xí)效果，體相成功快樂

［隨堂訓(xùn)練］對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第32頁

1.若--1■￡=1,M+房H---卜或=4,則a/i+a262H----Ha,力"的最大值為()

A.1B.-1

C.2D.-2

解析：(0瓦+敢歷+…+。滴")2W(a：+。+…+底)?(居+星+…+成)=4,...a向+念歷+…

十%b“W2,故選C.

答案：C

2.已知m6GR+,且“+26=10,則下+戶的最小值為()

A.5B.10

C.20D.30

解析：根據(jù)柯西不等式有(“2+層)(1+2?)23+26)2=100.

：.a+b2^20,當(dāng)且僅當(dāng)a=1=2時(shí)取等號(hào).

答案：C

3.不等式(詔+a耕---Fa》，?曲+星H-----層)?冽a力i+做歷H---卜0也|中等號(hào)成立的

條件是.

解析：此不等式是柯西不等式的變形，它由柯西不等式兩邊開平方所得，等號(hào)成立的條

件與柯西不等式中等號(hào)成立的條件相同.

答案：%=0（i=l,2,…，"）或言=胃="=器

三排序不等式

考綱定位重難突破

1.了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景.

重點(diǎn)：排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理.

2.了解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理.

難點(diǎn)：排序不等式的簡單應(yīng)用.

3.理解排序不等式的簡單應(yīng)用.

01課前自主梳理?------------------------------------------------------掌握基本知識(shí)，注重基礎(chǔ)訓(xùn)I練

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第32頁

［自主梳理

一、順序和、亂序和、反序和的概念

設(shè)?WazW/W…Wa”，仇…Wb”為兩組實(shí)數(shù)，c”①…，c”是6］，b±,…，

久的任一排列，則稱?與歷（i=1,2,…，〃）的相同順序相乘所得積的和2&±^曲±3也

為順序和，和州三工+”2c2~1---1~旬龜為舌L序和,相反順序相乘所得積的和aid+az/T"1----1"

為反序和.

二、排序不等式（排序原理）

設(shè)…Wa”,加」西忘…W瓦為兩組實(shí)數(shù),c”c2,…，c”是"，歷，…，瓦，的任

一排列，則包d+a也,-1H1-4偽《二q+a2c,2-11"旬，“?包加+生力2-11~旬”；，當(dāng)且僅當(dāng)

“1=生=~=%或"=仇=3=兒時(shí)，反序和等于順序和，此不等式簡記為反序和W亂序和

W順序和.

［雙基自測］

1.已知a,bicGR+,則4'+/?'+百與a%2+&3c2+c3a2的大小關(guān)系是（）

A.a5+/?5+c5>a3fe2+i>3c2+c3a2

B.a5++c5a^b2+b3c2+c3a2

C.a5+b5+c5<a3b2+Z>3c2+c3a2

D.a5+b5+c5^aV+fe3c2+?a2

解析：取兩組數(shù)J,廳\（?和J,/，c）由排序不等式，得“5+/+c5》a%2+b3c.2+

c3a2.

答案：B

2.設(shè)兩組數(shù)1,2,3,4和4,5,6,7的順序和為A,反序和為B,則A=,B=.

解析：A=1X4+2X54-3X6+4X7=4+10+18+28=60.

B=1X7+2X6+3X5+4X4=7+12+15+16=50.

答案：6050

3.有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個(gè)人的水桶分別需要5s,4s,3s,7s,

每個(gè)人接完水后就離開，則他們等候的總時(shí)間最短為s.

解析：由題意知，等候的時(shí)間最短為3X4+4X3+5X2+7=41.

答案:41

0日謂堂合作探究------------------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向，把脈核心問題

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第32頁

［題型探究］探要點(diǎn)?究所然

探究一利用排序不等式證明不等式

［例1］設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：~+^+^^a+b+c.

［證明］由題意不妨設(shè)a》b2c>0,

由不等式的單調(diào)性，知ab^ac2bc,

由排序不等式，知

abX-+acXj-+bcX-

cba

^a/?x|+acX^+/?cXp

即所證不等式號(hào)+皆+,2“+b+c成立.

「方法歸納」

1.利用排序不等式證明不等式時(shí)，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則需要分

析清楚順序和、亂序和及反序和.利用排序不等式證明即可.

2.若在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小

順序.那么在解答問題時(shí)，我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來，繼而用不等

關(guān)系來解題.

學(xué)以致用le

12,1212

1.設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：M+M+宗Na'°+.°+d°

證明：不妨設(shè)a262c>0,則

廠be2—ac27ab>0,

/.由順序和2亂序和，得

a,12b,12c\2a\2b>12cVIab>11c

beacababbeac~^bca'

又—2戶，斗舟

二由亂序和》反序和，得

94+64+4+4=，°+〃°+，？

12,1212

由①②兩式得：j-+—+^a'°+b'°+c'0.

beacab

探究二利用排序不等式求最值

［例2］設(shè)a,h,c為任意正數(shù)，求武-+3+士的最小值.

b-rcc-vaa-vb

［解析］不妨設(shè)〃2Z?2c,

則q+62a+c2/?+c,,!,!!,

b+cc+aa+h

由排序不等式得，

abcbca

b+cc+aa+b^b+cc+aa+b

abccab

b+cc+aa+b^h+cc+aa+h

上述兩式相加得：

(a.b.cA

2(/?+cc+a〃+8戶3,

即，一+"—+一

1b+cc+cia+b^2-

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，

匕3

。C-

+CC++2

「方法歸納」

利用排序不等式求最值的方法

利用排序不等式求最值時(shí)，先要對(duì)待證不等式及已知條件仔細(xì)分析，觀察不等式的結(jié)構(gòu),

明確兩個(gè)數(shù)組的大小順序，分清順序和、亂序和及反序和，由于亂序和是不確定的，根據(jù)需

要寫出其中的一個(gè)即可.一般最值是順序和或反序和.

學(xué)以致用I。

2.設(shè)0<aW6Wc且成=1.

試求薪而+西麗+西訪的最小值.

解析:令5=/詬+西而+西麗

c("c)2」_(abcf」_(abc)2

'a3(b+c)b3(a+c)c，(a+b)

be..ac.ab.

=a(b+c)bc+b(a+c)ac+c(a+b)ab-

由已知可得：

-a7(b3+—c)^7h7(a+c)c(a+h)

abWaeWbe.

.ebeacab

,?S，S+c產(chǎn)+b(a+c)ab+c(a+b)bc

_cab

a(b+c)b(a+c)c(a+b),

__「、be.ac,,ab

又S^a(b+c)atb+h(a+c)bc+c(a+b)ac

=-^+—￡—+-^—

a(b+c)b(a+c)c(q+by

兩式相加得：2S.+/旨3.^^=3.

31113

???s差，即而而+麗石+麗麗的最小值為加

探究三利用排序不等式解決實(shí)際問題

［例3］若某網(wǎng)吧的3臺(tái)電腦同時(shí)出現(xiàn)了故障，對(duì)其維修分別需要45min,25min和

30min,每臺(tái)電腦耽誤1min,網(wǎng)吧就會(huì)損失0.05元.在只能逐臺(tái)維修的條件下，按怎

么樣的順序維修，才能使經(jīng)濟(jì)損失降到最??？

［解析］設(shè)“，5:3為25,30,45的任一排列，由排序原理知3"+2f2+423X25+2X30

+45=180(min),所以按照維修時(shí)間由小到大的順序維修，可使經(jīng)濟(jì)損失降到最小.

「方法歸納」

利用排序不等式解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造排序不等式的

模型.

學(xué)以致用le

3.某座大樓共有"層，在每層有一個(gè)辦公室，每個(gè)辦公室的人員步行上下樓，他們的

速度分別為0，。2,…，%(他們各不相同)，為了能使得辦公室的人員上下樓梯所用的時(shí)間

總和最小，應(yīng)該如何安排？(假設(shè)每兩層樓的樓梯長都一樣)

解析：設(shè)兩層樓間的樓梯長為S,則第一層需要走的路程為S,第二層需要走的路程為

2s,第幾層需要走的路程為〃s.

不妨設(shè)0'1>濟(jì)2>…〉/n為5,。2,…，從大到小的排列，顯然一\<一:一<…〈一：一,

°1°2°〃

由排序不等式，

可得ns>+(〃-1)sJ「---Fs}的和最小，

v2o”

所以將速度快的放在高層，速度慢的放在低層，可使上下樓的時(shí)間最短.

［易錯(cuò)警示］防惜誤?謀策略

在運(yùn)用排序不等式時(shí)不能準(zhǔn)確找到相應(yīng)有序數(shù)組致誤

［典例］一般地，對(duì)于〃個(gè)正數(shù)〃1，念，…，%，幾何平均數(shù)G產(chǎn)yag…呢,算術(shù)平

均數(shù)A"='"+"2：…+外,利用排序不等式可以判斷G”4的大小關(guān)系為.

［解析］令-=件《=1,2,—,n),則加灰“也=1,

故可取X］2…2x〃>0,

使得加=?,岳=個(gè)，…，左，7=牛，4=勺.

X2工3為