量子力學(xué)補(bǔ)充習(xí)題

物理系理論物理教研室第一章量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)溫度較高時(shí)，普朗克公式簡化為瑞利—金斯公式。1-2已知，試確定普朗克常數(shù)的數(shù)值和此金屬的脫出功。射后的波長。試用光量子假說推出其波長改變量與散射角的關(guān)系為4isin2其中m為電子質(zhì)mc21-7根據(jù)相對(duì)論，能量守恒定律及動(dòng)量守恒定律，討論光子與電子之間的碰撞：(1)證明處于靜止的自由電子是1-8能量為15ev的光子被氫原子中處于第一玻爾軌道的電子吸收而形成一光電子。問此光電子遠(yuǎn)離質(zhì)子時(shí)的速1-9兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩個(gè)光子的能量相等，問要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化光子的波長最1-10試證明在橢圓軌道情況下，德布羅意波長在電子軌道上波長的數(shù)目等于整數(shù)。第二章波函數(shù)和薛定諤方程2-1設(shè)粒子的波函數(shù)為(x,y,z)，求在(x,xdx)范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。(1)v(x,t)=u(x)eix-Et+v(x)eix-Et1xtuxeituxeitEE1232-6由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：(1)v=1eikr(2)v=1e-ikr從所得的結(jié)果說明v表示向外傳1r2r1播的球面波，v表示向內(nèi)(向原點(diǎn))傳播的球面波22-7如在勢(shì)能U(r)上加一常數(shù)，則其薛定諤方程的定態(tài)解將如何變化？試說明此變化后為何不能觀察到(選擇2?t2m122?t2m12第三章簡單體系定態(tài)薛定諤方程的解n幾率是多少？(2)n取何值在此處找到粒子的幾率最大？(3)當(dāng)n)w時(shí)，這個(gè)幾率的極限是多少？這個(gè)結(jié)果說明了什么問題？全透射過勢(shì)壘。3-8對(duì)于諧振子的基態(tài)v(x)，計(jì)算粒子在經(jīng)典振幅以外出現(xiàn)的幾率。03-9對(duì)于諧振子的第一激發(fā)態(tài)v(x)，(1)求振子出現(xiàn)幾率最大的位置；(2)求經(jīng)典振幅A；(3)計(jì)算振子在經(jīng)1現(xiàn)的幾率。3-11將一維諧振子置于額外的均勻力場(chǎng)中，勢(shì)能成為U(x)=1mO2x2+ax，求能級(jí)的變化。2(U(x共0)3-12粒子在勢(shì)能為U(x)10(2的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(U1＜U2)，在U1，U2＞E下，求解粒子的能級(jí)和波函第四章態(tài)疊加原理及力學(xué)量的算符表示4-1下列算符哪些是線性的？為什么？(1)3x2d2(2)()2(3)jdx(4)xni=1 2dx0ddd2d24-4證明下列算符哪些是厄米算符：,i,4,idxdxdx2dx2x4-8對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，求+x的本征函數(shù)和本征值。進(jìn)而求(+x)2的本征值。xxdx2d4-12試證明線性算符的有理函數(shù)也是線性算符。UCUU()+C時(shí)，粒子的波函數(shù)與時(shí)間無關(guān)的那部分改變否？能2(2)它的動(dòng)量有沒有確定值？4-15在時(shí)間t=0時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列波函數(shù)所描寫的狀態(tài)：tt4-16證明下列對(duì)易關(guān)系：xxxyyyzzz4-17證明下列對(duì)易關(guān)系：xyxyyxzyzyzzyxzxzxxzyixyxyyxz[,]=-=iiyzyzzyx[,]=-=iizxzxxzy4-19參考矢量情況下的斯密特正交化步驟，試闡述由屬于同一本征值而并一定正交的本征函數(shù)構(gòu)成正交函數(shù)的4-20有兩個(gè)歸一化的但不是正交的波函數(shù)0及0，j0*0dt=a(實(shí)數(shù))，0<a<1，試將0及0進(jìn)行疊加組121212成兩個(gè)正交歸一化的函數(shù)v及v。24-21證明一維諧振子不管處于哪一個(gè)定態(tài)，它的動(dòng)量都沒有確定值。4-22電子在原子大小范圍(數(shù)量級(jí)為10-10m)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)電子的最小能量。22xd入4-32證明下列幾個(gè)關(guān)于厄米算符的定理：(1)在任何定態(tài)下，厄米算符的平均值都是實(shí)數(shù)。(2)在任何態(tài)下。平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符。4-33證明幾個(gè)關(guān)于一維定態(tài)薛定諤方程的定理：(1)對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，如果v和v是屬于同一個(gè)本2征值E的兩個(gè)獨(dú)立的解，則v(x)v,(x)-v(x)v,(x)=C(常數(shù))。1221態(tài)v(x)都有一定的宇稱性。E4-34用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)原子核中核子(質(zhì)子和中子)的動(dòng)能的數(shù)量級(jí)。曾經(jīng)設(shè)想電子也是原子核的構(gòu)成單元之一，試?yán)脺y(cè)不準(zhǔn)關(guān)系判斷這個(gè)設(shè)想是否正確。4-35對(duì)于H?的任何一個(gè)本征束縛態(tài)v,E，證明公式?H=?En，其中入為包含在H?中的任何一個(gè)常數(shù)nn?入?入(i，m,等等)。 4-36對(duì)于一維諧振子，證明U=p2pr0zxyzxyz第五章表象理論xxx?xx?x(2)在P表象中的表示為：=ii?，=p，F(xiàn)?(,)=F(ii?,p)?pxxx?px5-2求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。5-3求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元。?t=ii(vVv*-v*Vv)?t=ii(vVv*-v*Vv)及Tr不因表象而異，或者說矩陣的本征值之和以及本征值之積不因表象而異。iii5-9設(shè)任何一個(gè)厄米矩陣能用一個(gè)么正變換對(duì)角化。由此證明，兩個(gè)厄米矩陣能用同一個(gè)么正變換對(duì)角化的充要易。5-11設(shè)H?=2+U()，證明求和規(guī)則x(E-E)X2=i2/2m2mnknknknknk2nnnn!nnn!0)10)|2L=|2L=iy2 (0-i0i0)-i0)0)-i0)化本征矢為n，則第六章角動(dòng)量初步zzxy6-3設(shè)體系處在v=CY+CY的狀態(tài)中，試：(1)將此波函數(shù)歸一化；(2)求力學(xué)量L2的測(cè)量值及相應(yīng)的10幾率；(3)求力學(xué)量L的可能值及相應(yīng)的幾率；(4)L和L的可能值及相應(yīng)的幾率。zxyzz征函數(shù)，并將它表示成Y的線性疊加。0i0)0)0)6-5求粒子處在態(tài)Y時(shí)，軌道角動(dòng)量的x分量和y分量的平均值L和L，并證明lmxyxy26-6設(shè)體系處于的本征態(tài)Y，求證軌道角動(dòng)量沿與z軸成θ角方向上的分量的平均值為micos9了。zlmzxyx6-9對(duì)于Y11，求Lx的取值及相應(yīng)的{幾率。}xxxxxxxxr2r2?r?rzzmmzz1士r2r2?r?rzzmmzz1士6-13對(duì)于(2,)的共同本征態(tài)Y(9,Q)，計(jì)算L2和L2的平均值，以及編L,編L，驗(yàn)證測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。zlmxyxyz6-15將(2,z)的共同本征態(tài)Ylm，記為lm，證明x00lm2=xjY00Ylmd業(yè)2=1mm)的共同本征矢作為基矢，寫出表示軌道角動(dòng)量算符2,,和的矩陣。指出從l=0到zz士y6-17(1)在2和是對(duì)角的，即以jm作為基矢的表象中，對(duì)j=1的體系寫出和矩陣。z2+_(2)對(duì)于(1)中的體系導(dǎo)出,,的矩陣。xyz6-18(1)已知j=1的體系在2和的表象中的矩陣(見上題)，試求通過變換S_1JS使對(duì)角化的么正2zxxxxyz11z2222z21122221216-20設(shè)=+代表兩個(gè)角動(dòng)量與之和,求證： mmz士6-22.證明2和V2的球坐標(biāo)表達(dá)式第七章中心力場(chǎng)rr2rr?r?rrr221102211一1z能值及其幾率，并由此求出它們的平均值。22(1)通過對(duì)v的考察，求量子數(shù)n,l和m的數(shù)值。(2)從v產(chǎn)生具有相同n,l值，但磁量子數(shù)等于m+1的另一個(gè)本征函數(shù)。(3)當(dāng)Z=1時(shí)，求為v所規(guī)定的狀態(tài)中某電子的最可幾r值。0最大(a0為第一玻爾軌道半徑)07-7氫原子處于基態(tài)，(1)求距核二倍玻爾軌道半徑以外發(fā)現(xiàn)電子的幾率。(2)如果我們畫一個(gè)球面，使得在此這個(gè)球面的半徑是多少？7-8如坐標(biāo)軸繞z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)α角，試問氫原子波函數(shù)的角度部分Y(9,Q)將如何變化？此種變化是否觀察到？7-9試求出在Y及Y態(tài)下，電子按角度的分布幾率取極大值和極小值的9角。zzlm7-12求出氫原子基態(tài)波函數(shù)在動(dòng)量表象中的表示。bZe(Z+1)e。對(duì)于衰變前處于原子Z的K層(1S層)的電子，在原子核衰變后仍舊處于原子(Z+1)的K層的幾率等于多少？7-14粒子在半徑為a，高度為h的圓筒中運(yùn)動(dòng)，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外勢(shì)能為無限大，求粒子的能征函數(shù)。rrs4冗e007-16對(duì)于類氫原子(核電荷Ze)l=n一1(nr=0)的狀態(tài)，計(jì)算：(1)最可幾半徑rn(2)平均半徑r(3)漲落編r，并將它和r相比較。7-17討論二維氫原子，其中的電子為庫侖力束縛于原子核，并限制在一個(gè)平面中運(yùn)動(dòng)。(1)試求此體系的本征7-18三維各向同性諧振子勢(shì)U(r)如下：U(r)=mO2r2，式中m為粒子質(zhì)量，O是常數(shù)。試求該體系的2能級(jí)和波函數(shù)，并討論能級(jí)的簡并情況。7-19一個(gè)電子被限制在一塊電介質(zhì)(無限大)平面的上方(x>0)運(yùn)動(dòng)。介質(zhì)的介電常數(shù)為e，不可穿透。按xe+1第八章自旋一Z議xxxxxyzxyxyxy8-7求的本征值和本征函數(shù)(取S表象)。yzxxyznnxxzz方向上自旋分量的平均值。Zi測(cè)S，可能得何值，各值的幾率為多少？平均值為何？xzei08-15證明eiz0eiii一上”，即S，求t>0時(shí)電子自旋S的幾率和S的平均值。z2z2函1212ii8-18設(shè)體系有兩個(gè)自旋為1/2的非全同粒子組成，粒子1處于S態(tài)，粒子2處于S態(tài)，(1)寫出粒z2x28-19將兩個(gè)自旋為1/2的粒子組成的體系置于均勻磁場(chǎng)中，設(shè)磁場(chǎng)沿Z軸方向，體系哈密頓量與自旋有關(guān)部分zz28-20兩個(gè)自旋1/2的定域非全同粒子的哈密頓量為H?AS?S，t=0時(shí)粒子1自旋“向上”(Si)，粒子1z2i2自旋“向下”(S)，求t>0時(shí)(1)粒子1自旋“向上”的幾率；(2)粒子1和2自旋均“向上”的幾率；S=1和0的幾率；(4)S和S的平均值。1R(r)Y(,)221103R(r)Y(,)221108-22若電子處于d態(tài)，試問它的總角動(dòng)量可以取哪些值？這時(shí)軌道角動(dòng)量矢量和自旋角動(dòng)量矢量之間的夾角是8-23對(duì)于三電子體系，求總自旋量子數(shù)的取值。(x:a(1)a(2)a(3)|x1:3-1/2(a(1)a(2)b(3)+a(1)b(2)a(3)+b(1)a(2)a(3))(x:6-1/2(a(1)a(2)b(3)+a(1)b(2)a(3)-2b(1)a(2)a(3))66(x:2-1/2(a(1)a(2)b(3)-a(1)b(2)a(3))bz-1-2-3-第九章多粒子系的量子力學(xué)121222出體系的總能量算符及單粒子狀態(tài)的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)(作為一維問題)。(2)將H?用質(zhì)心坐標(biāo)X和相對(duì)坐標(biāo)x表示，討論質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的特征。(3)如一個(gè)粒子處于基態(tài)，一個(gè)粒子處于第一激發(fā)態(tài)，寫出體系的對(duì)稱和反對(duì)稱的軌道波函數(shù)，并用質(zhì)心坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo)表示。12212129-3設(shè)有一體系由兩個(gè)自旋量子數(shù)為3/2的全同粒子組成。問體系對(duì)稱的自旋波函數(shù)有幾個(gè)？反對(duì)稱的自旋波函Urmor的庫侖能和U(r)相9-5一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問體系可能的9-6考慮由3個(gè)玻色子組成的全同粒子體系。限定單粒子狀態(tài)只能是v,v和v，試寫出體系的所有可能狀態(tài)abY9-7考慮在無限深勢(shì)阱(0<x<a)中運(yùn)動(dòng)的兩電子體系，略去電子間的相互作用以及一切與自旋有關(guān)的作用。求體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)。9-8考慮一個(gè)由相同粒子組成的兩粒子體系，設(shè)可能的單粒子態(tài)為0,0,0，試求體系的可能態(tài)數(shù)目。分三種情3況討論：(1)粒子為玻色子(玻色統(tǒng)計(jì))，(2)粒子為費(fèi)米子(費(fèi)米子統(tǒng)計(jì))，(3)粒子為經(jīng)典粒子(玻爾茲曼統(tǒng)第十章微擾論與變分法10-1假定類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為r(r~10-12cm)均勻帶電小球，試計(jì)算類氫原子基態(tài)的能量00(子看成是受到微擾的關(guān)在盒子中的粒子，求其能量和波函數(shù)的一級(jí)近似。值；(2)求波函數(shù)的一級(jí)近似。2ab2210-5一維非線性諧振子的勢(shì)能為U(x)=1kx2+cx3+dx4，若把非諧振項(xiàng)看作微擾，試求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能2IDc能10-7把正常塞曼效應(yīng)中磁場(chǎng)引起的附加項(xiàng)看作微擾，試計(jì)算堿金屬原子能級(jí)Enl的一級(jí)修正。2L1210-8耦合諧振子的哈密頓算符為H?2(1m2x2)xx，其中為常數(shù)。試用微擾法求其第一激發(fā)2L122m2i12i110-9在類氫原子中，電子與原子核的庫侖作用能為U(r)ze，當(dāng)原子核的電荷增加e時(shí)，庫侖能增加rH?'e，試用微擾法計(jì)算它引起的能量一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。r10-10設(shè)電子受到晶格的一維周期勢(shì)U(x)作用，H?'(x)U(x)Ucos2x，其中a為晶格常數(shù)，可將U0a(x)看作微擾，無微擾時(shí)，電子是自由的，波函數(shù)為(x)Lei(kxEkt/i)，Ei2k2/2m，LNa是間距kLL10-11設(shè)有自由粒子在長度L的一維區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)滿足周期性邊界條件()()，簡并的波函數(shù)LL22LL0求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)(是二重簡并態(tài))的能量修正。10-13設(shè)在H0表象中，HE0)ab(a,b為實(shí)數(shù))，用微擾論求能量修正(到二級(jí)近似)，并與嚴(yán)bE0)a10-15一維諧振子受到微擾H?'m2x2(1)的作用，試求能級(jí)的一、二級(jí)微擾修正，并與精確解比較。22(一級(jí)近似)，計(jì)算。擾H?'xyz2x2y2z2(1)的作用，(1)計(jì)算基態(tài)的能級(jí)移動(dòng)(準(zhǔn)確到2)，(2)用微擾后的基態(tài)(一級(jí)近似)，計(jì)算。10-17將由兩個(gè)自旋為1/2粒子組成的體系置于沿Z方向的均勻磁場(chǎng)中，與自旋有關(guān)的哈密頓量為zz2能級(jí)(二級(jí)近似)，并與精確解比較。02b*a)bbmdx0"1/4mdx0"1/40s數(shù)，求基態(tài)能量并與精確解比較。00取質(zhì)子與中子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)試探波函數(shù)為R(r)=Ne_入r/2a，試用變分法求氘核的基態(tài)能量和基態(tài)半徑。H?=_i2d2_DccosQ，Q為旋轉(zhuǎn)角(從x軸算起)，設(shè)電場(chǎng)很強(qiáng)，Dc>>i2/I求基態(tài)能量近似值。設(shè)試10-24轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子受到沿Z軸方向的均勻電場(chǎng)c作用，其哈密頓量為00000分法求基態(tài)能級(jí)近似值(準(zhǔn)確到c2量級(jí))，和微擾論結(jié)果比較。mUrUerarUaU值，0a00(1)用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算，(2)用變分法估算，取試探波函數(shù)為v(入,r)=ce_入r/2a。第十一章量子躍遷11-1電荷為e的諧振子，在時(shí)間t=0時(shí)處于基態(tài)，t>0時(shí)，處于c=ce_t/T的電場(chǎng)中(T為常數(shù))，求諧振子處于0第一激發(fā)態(tài)的幾率。r選擇定則。r11-3設(shè)在時(shí)刻t=0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，以后受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場(chǎng)可以近似地表示為sint，與均為常數(shù)，電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻t躍0