北京市懷柔區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．在空間，可以確定一個(gè)平面的條件是（)A．兩條直線 B．一點(diǎn)和一條直線C．三個(gè)點(diǎn) D．一個(gè)三角形2．直線x﹣y﹣1=0的傾斜角是(）A． B． C． D．3．若橢圓+=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)的距離為（）A．7 B．5 C．3 D．24．在空間，下列命題正確的是（）A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行5．已知雙曲線﹣=1的離心率為，則m=()A．7 B．6 C．9 D．86．已知A（﹣2,0)，B（2，0),動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條平行直線7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的側(cè)面積為()A．8 B．16 C．10 D．68．設(shè)點(diǎn)M(x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是（)A．［﹣1,1] B．[﹣,］ C．[﹣，］ D．[﹣，]二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．原點(diǎn)到直線4x+3y﹣1=0的距離為．10．拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是．11．已知，，則=．12．過點(diǎn)(1，0）且與直線x﹣2y﹣2=0平行的直線方程是．13．大圓周長為4π的球的表面積為．14．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何?"其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1。62立方尺,圓周率約為3，則堆放的米約有斛（結(jié)果精確到個(gè)位）．三、解答題:本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，G,F分別是AD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：CD⊥PA；（Ⅱ)證明:GF⊥平面PBC．16．已知直線經(jīng)過直線3x+4y﹣2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)P，并且垂直于直線x﹣2y﹣1=0．(Ⅰ)求交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）求直線的方程．17．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是BB1和CD的中點(diǎn)．(Ⅰ）求AE與A1F所成角的大?。唬á颍┣驛E與平面ABCD所成角的正切值．18．已知直線l過點(diǎn)（2，1）和點(diǎn)（4,3)．（Ⅰ)求直線l的方程;（Ⅱ）若圓C的圓心在直線l上，且與y軸相切于（0,3）點(diǎn)，求圓C的方程．19．如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F為PA中點(diǎn)，PD=，AB=AD=CD=1．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N．（Ⅰ)求證：AC∥平面DEF；(Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在線段EF上是否存在一點(diǎn)Q,使得BQ與平面BCP所成角的大小為？若存在，求出Q點(diǎn)所在的位置；若不存在，請說明理由．20．已知圓O:x2+y2=1的切線l與橢圓C:x2+3y2=4相交于A，B兩點(diǎn)．(Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）求證：OA⊥OB;（Ⅲ）求△OAB面積的最大值．

2016-2017學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．在空間，可以確定一個(gè)平面的條件是（)A．兩條直線 B．一點(diǎn)和一條直線C．三個(gè)點(diǎn) D．一個(gè)三角形【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】在A中，兩條異面直線不能確定一個(gè)平面；在B中,若點(diǎn)在直線上，由不能確定一個(gè)平面；在C中，如果共點(diǎn)共線，不能確定一個(gè)平面；在D中,一個(gè)三角形確定一個(gè)平面．【解答】解：在A中，兩條相交線和兩條平行線都能確定一個(gè)平面，但兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤;在B中,直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，若點(diǎn)在直線上,由不能確定一個(gè)平面,故B錯(cuò)誤；在C中，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，如果共點(diǎn)共線，不能確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；在D中,因?yàn)橐粋€(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，所以一個(gè)三角形確定一個(gè)平面，故D正確．故選：D．2．直線x﹣y﹣1=0的傾斜角是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】根據(jù)直線方程求出斜率,根據(jù)斜率得出對應(yīng)的傾斜角．【解答】解：直線y=x﹣1的斜率是1，所以傾斜角為．故選：B．3．若橢圓+=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)的距離為()A．7 B．5 C．3 D．2【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a的值，即可得2a=10,由橢圓的定義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意,橢圓的方程為：+=1，則有a==5,即2a=10，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為10，若P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)的距離為10﹣3=7；故選：A．4．在空間，下列命題正確的是（）A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理，可以很容易得出答案．【解答】解：平行直線的平行投影重合，還可能平行,A錯(cuò)誤．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面可能相交，B錯(cuò)誤．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行,可能相交,C錯(cuò)誤．故選D．5．已知雙曲線﹣=1的離心率為，則m=（）A．7 B．6 C．9 D．8【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得其焦點(diǎn)在x軸上，以及a、b的值,由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c的值,又由該雙曲線的離心率為，結(jié)合雙曲線的離心率公式可得=，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：雙曲線的方程為:﹣=1,則其焦點(diǎn)在x軸上,且a==4，b=，則c==，若其離心率為，則有e===,解可得m=9；故選：C．6．已知A（﹣2，0），B（2,0)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為()A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條平行直線【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】由題意知(﹣2﹣x，y)?(2﹣x，y)=x2，即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．【解答】解：∵動(dòng)點(diǎn)P(x,y）滿足=x2,∴(﹣2﹣x，y）?（2﹣x，y)=x2，∴點(diǎn)P的方程為y2=4即y=±2∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩條平行的直線．故選D．7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的側(cè)面積為（)A．8 B．16 C．10 D．6【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖可得四棱錐為正四棱錐,判斷底面邊長與高的數(shù)據(jù)，求出四棱錐的斜高,代入棱錐的側(cè)面積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知:此四棱錐為正四棱錐,底面邊長為4，高為2，則四棱錐的斜高為=2，∴四棱錐的側(cè)面積為S==16．故選B．8．設(shè)點(diǎn)M(x0,1）,若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是（）A．［﹣1，1］ B．[﹣，］ C．［﹣，］ D．[﹣，]【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用．【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意畫出圖形如圖：點(diǎn)M（x0，1），要使圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°，則∠OMN的最大值大于或等于45°時(shí)一定存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，而當(dāng)MN與圓相切時(shí)∠OMN取得最大值,此時(shí)MN=1，圖中只有M′到M″之間的區(qū)域滿足MN=1，∴x0的取值范圍是[﹣1，1］．故選：A．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分,共30分．把答案填在題中橫線上．9．原點(diǎn)到直線4x+3y﹣1=0的距離為．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】直接由點(diǎn)到直線的距離公式得答案．【解答】解：由點(diǎn)到直線的距離公式可得,原點(diǎn)到直線4x+3y﹣1=0的距離d==，故答案為：．10．拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是．【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線方程求得p，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì),求得答案．【解答】解：拋物線y2=2x，∴p=1，∴準(zhǔn)線方程是x=﹣故答案為：﹣11．已知,，則=．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【分析】根據(jù)所給的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，得到數(shù)量積，求出向量的模長，兩個(gè)式子相加得到結(jié)果．【解答】解：∵，∴=﹣1+2，||==2，∴=1+2故答案為：1+212．過點(diǎn)（1,0）且與直線x﹣2y﹣2=0平行的直線方程是x﹣2y﹣1=0．【考點(diǎn)】兩條直線平行的判定；直線的一般式方程．【分析】先求直線x﹣2y﹣2=0的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程．【解答】解：直線x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直線的斜率是所以所求直線方程：y=(x﹣1），即x﹣2y﹣1=0故答案為：x﹣2y﹣1=013．大圓周長為4π的球的表面積為16π．【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)球大圓周長，算出半徑R=2，再由球的表面積公式即可算出本題答案．【解答】解:設(shè)球的半徑為R，則∵球大圓周長為4π∴2πR=4π，可得R=2因此球的表面積為S=4πR2=16π故答案為:16π14．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1。62立方尺，圓周率約為3，則堆放的米約有22斛(結(jié)果精確到個(gè)位）．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺)．【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺,可求出圓錐的底面半徑，從而計(jì)算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．【解答】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺,則×2πr=8,解得：r=所以米堆的體積為V=××πr2×5≈35.56，所以米堆的斛數(shù)是≈22，故答案為22．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，G，F(xiàn)分別是AD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：CD⊥PA；（Ⅱ）證明：GF⊥平面PBC．【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（I)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用?=0,證得PA⊥CD；(Ⅱ）利用?=0，?=0，去證GF⊥平面PCB．【解答】證明：(I)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0）B（2，2,0）C（0,2，0)P（0，0，2）F（1,1，1）=（2,0，﹣2）,=（0,2，0），∴?=0，∴⊥，∴PA⊥CD；（Ⅱ)設(shè)G（1，0，0）則=（0，﹣1，﹣1），=（2,0，0)，=（0，2,﹣2)∴?=0，?=0，∴FG⊥CB，F(xiàn)G⊥PC,∵CB∩PC=C，∴GF⊥平面PCB．16．已知直線經(jīng)過直線3x+4y﹣2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)P，并且垂直于直線x﹣2y﹣1=0．(Ⅰ)求交點(diǎn)P的坐標(biāo);（Ⅱ）求直線的方程．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程．【分析】(Ⅰ）聯(lián)立方程，求交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ)求出直線的斜率，即可求直線的方程．【解答】解:(Ⅰ）由得所以P(﹣2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因?yàn)橹本€與直線x﹣2y﹣1=0垂直，所以kl=﹣2，所以直線的方程為2x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是BB1和CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求AE與A1F所成角的大?。唬á?求AE與平面ABCD所成角的正切值．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角;異面直線及其所成的角．【分析】（Ⅰ)建立坐標(biāo)系，利用向量方法求AE與A1F所成角的大小;（Ⅱ）證明∠EAB就是AE與平面ABCD所成角，即可求AE與平面ABCD所成角的正切值．【解答】解:(Ⅰ)如圖,建立坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,則A（0,0，0），E（1，0,），A1（0,0，1)，F(xiàn)（，1，0)=(1，0，），=(，1，﹣1）∴=0，所以AE與A1F所成角為90°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ)∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴BB1⊥平面ABCD∴∠EAB就是AE與平面ABCD所成角,又E是BB1中點(diǎn)，在直角三角形EBA中，tan∠EAB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知直線l過點(diǎn)（2，1）和點(diǎn)（4，3）．（Ⅰ）求直線l的方程；（Ⅱ）若圓C的圓心在直線l上，且與y軸相切于(0,3）點(diǎn)，求圓C的方程．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由兩點(diǎn)式，可得直線l的方程；(Ⅱ)利用圓C的圓心在直線l上，且與y軸相切于（0，3）點(diǎn)，確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由兩點(diǎn)式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ)∵圓C的圓心在直線l上,且與y軸相切于（0，3）點(diǎn)，∴圓心的縱坐標(biāo)為3，∴橫坐標(biāo)為﹣2，半徑為2∴圓C的方程為（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F為PA中點(diǎn)，PD=，AB=AD=CD=1．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N．（Ⅰ）求證：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在線段EF上是否存在一點(diǎn)Q，使得BQ與平面BCP所成角的大小為？若存在，求出Q點(diǎn)所在的位置；若不存在,請說明理由．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）連接FN，推導(dǎo)出FN∥AC，由此能證明AC∥平面DEF．(Ⅱ）以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC，DP所在直線為x,y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣P的大?。á螅┰O(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件，且Q點(diǎn)與E點(diǎn)重合．由直線BQ與平面BCP所成角的大小為，利用向量法能求出Q點(diǎn)與E點(diǎn)重合．【解答】（本小題滿分14分）證明:（Ⅰ）連接FN,在△PAC中，F(xiàn),N分別為PA,PC的中點(diǎn)，所以FN∥AC,因?yàn)镕N?平面DEF，AC?平面DEF,AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF．解：（Ⅱ）如圖,以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC,DP所在直線為x,y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則P（0,0，），B（1，1，0），C（0，2,0），∴,=（﹣1，1,0)，設(shè)平面PBC的法向量為=(x，y，z），則，取x=1，得=(1，1，），因?yàn)槠矫鍭BC的法向量=（0，0,1）,所以cos＜＞==，由圖可知二面角A﹣BC﹣P為銳二面角，所以二面角A﹣BC﹣P的大小為．(Ⅲ)設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件，且Q點(diǎn)與E點(diǎn)重合．由F（)，E（0,2,），設(shè)=（0≤λ≤1)，整理得Q（，2λ，），=(﹣，2λ﹣1，），因?yàn)橹本€BQ與平面BCP所成角的大小為,所以sin=