高等機構學02基于螺旋理論的自由度分析課件

《高等機構學》YSU陳子明燕山大學機械工程學院2015年11月《高等機構學》YSU陳子明螺旋理論基礎基于螺旋理論的自由度分析原理空間機構的位置分析運動影響系數(shù)原理空間機構動力學基于約束螺旋理論的并聯(lián)機構型綜合空間機構的奇異分析本門課程的主要學習內容螺旋理論基礎本門課程的主要學習內容機構的自由度確定機構或運動鏈位型所需的獨立參數(shù)的數(shù)目IFToMM定義IFToMM定義中強調的是數(shù)目。但僅僅確定自由度數(shù)目是遠遠不能全面描述此類新機構的特點的，尤其是對于并聯(lián)機構，研究其末端執(zhí)行器的運動性質尤為重要。機構的自由度確定機構或運動鏈位型所需的獨立參數(shù)的數(shù)目IFTo機構的自由度機構或運動鏈在三維空間所具有的穩(wěn)定的獨立運動的能力機構的自由度①這個能力的大小以確定機構或運動鏈位型所需要的獨立參數(shù)的數(shù)目表示；②這個能力的性質以機構桿件所具有的移動自由度和轉動自由度來表示；③這個自由度能力表現(xiàn)在時空上應該具有連續(xù)不變性，它應該是全周的。機構的自由度機構或運動鏈在三維空間所具有的穩(wěn)定的獨立運動的能機構的自由度平面機構自由度公式空間機構自由度公式M——機構的自由度N——表示機構中除去機架總的活動構件的數(shù)目pi——表示機構具有i個約束的運動副的數(shù)目自由度公式機構的自由度平面機構自由度公式空間機構自由度公式M——機構G-K公式d——機構的階，平面機構的階是3，空間機構的階為6n——表示機構中包括機架總的活動構件的數(shù)目g——運動副的數(shù)目fi——第i個運動副的自由度數(shù)目G-K公式d——機構的階，平面機構的階是3，空間機構的階為G-K公式3-RPS并聯(lián)機構4-URU并聯(lián)機構3-RRC并聯(lián)機構錯誤錯誤G-K公式3-RPS并聯(lián)機構4-URU并聯(lián)機構3-RRC過約束（冗余約束）若某機械系統(tǒng)對同一構件提供了兩個以上約束性質相同的約束，就稱構件受到了過度的約束，簡稱“過約束”當約束以反螺旋表示時，數(shù)學上當“兩個以上的約束反螺旋”線性相關時，則存在過約束。例如：門上的兩個共線的合頁由于沒有考慮機構中可能存在的過約束（冗余約束），G-K公式對于一些機構無法得到正確的結果過約束（冗余約束）若某機械系統(tǒng)對同一構件提供了兩個以上約束性修正的G-K公式d——機構的階，平面機構的階是3，空間機構的階為6n——表示機構中包括機架總的活動構件的數(shù)目g——運動副的數(shù)目fi——第i個運動副的自由度數(shù)目v——機構的過約束所有的機構都可看作空間機構，有如下通用公式修正的G-K公式d——機構的階，平面機構的階是3，空間機構運動副的螺旋表達運動副圖示活動度螺旋表示轉動副(R)

1移動副(P)

1螺旋副(H)1圓柱副(C)

2萬向鉸(U)2平面副(E)3球面副(S)3運動副的螺旋表達運動副圖示活動度螺旋表示轉動副(R)運動副的約束螺旋特點轉動副的約束螺旋約束力：必須與轉動副軸線共面（因此，若分支中含有球副，則分支約束力必過球副中心點）約束力偶：必須與轉動副軸線相互垂直（因此，若分支中含有球副，則不存在約束力偶）約束力：必須與移動副軸線相互垂直約束力偶：與移動副無任何幾何條件限制移動副的約束螺旋運動副的約束螺旋特點轉動副的約束螺旋約束力：必須與轉動副軸線3-RPS機構自由度計算3-RPS機構自由度計算3-RPS機構自由度計算分支的運動螺旋系：約束螺旋系為：3-RPS機構自由度計算分支的運動螺旋系：約束螺旋系為：3個相同分支有3個類似的約束力，都過各自分支球副中心并與第一個轉動副平行。3個約束力線性無關，約束了平臺的3個自由度，被約束的運動包括動平臺內的兩個移動和繞動平臺法線的轉動。按照修正的G-K公式計算：3-RPS機構自由度計算3個相同分支有3個類似的約束力，都過各自分支球副中心并與第一自由度的全周性判別前面分析得到的自由度性質只是機構初始位型的自由度特性，必須分析一下當機構發(fā)生運動后，其自由度性質是否改變。主要是看分支運動螺旋系是否改變。如果分支運動螺旋系具有一般性，或者機構運動后還能保證幾何條件不變，則說明機構的自由度性質具有全周性。3-RPS機構自由度計算自由度的全周性判別3-RPS機構自由度計算4-URU機構自由度計算是沿分支坐標系y軸方向的約束力偶。URU分支的運動螺旋系：分支約束螺旋系為：4-URU機構自由度計算是沿分支坐標系y軸方向的約束力偶4-URU機構自由度計算由于機構為對稱并聯(lián)機構，其余三個分支也包含有相同的約束力偶。所有的約束力偶都平行于定平臺，其中只有兩個獨立的約束，存在兩個過約束。其自由度數(shù)可由修正的G-K公式計算得到在兩個約束力偶的作用下，動平臺失去了兩個轉動自由度，其自由度性質為三移一轉。當動平臺發(fā)生任意移動或繞定平臺法線方向的轉動后，兩個平臺的平行關系不會改變，分支中的U副平面始終垂直于定平臺，分支約束力偶始終平行于定平臺。其自由度性質不會改變。4-URU機構自由度計算由于機構為對稱并聯(lián)機構，其余三個分支機構的階和公共約束機構的階：機構運動螺旋系的階指的是機構所有構件允許的運動維數(shù)，一般情況下平面機構的階為3，空間機構的階為6機構的階=6-公共約束數(shù)機構的公共約束：與機構中的每個運動螺旋都相逆的約束螺旋稱為機構的公共約束（整個機構的運動螺旋系的反螺旋）。存在公共約束則意味著機構中任何一個構件都不能發(fā)生這個運動。并聯(lián)機構的公共約束：各分支都能提供同樣的約束（約束力共軸，約束力偶同向）。機構的階和公共約束機構的階：3-RRC機構自由度計算RRC分支的運動螺旋系：分支約束螺旋系為：3-RRC機構自由度計算RRC分支的運動螺旋系：分支約束螺旋若考慮公共約束根據(jù)機構三個分支的對稱性，可知三個分支的約束螺旋系均為分別沿

y和

z軸方向的兩個約束力偶。3-RRC機構自由度計算可以看出三個分支有相同(豎直方向)的力偶分量，即機構存在一個公共約束。共面不匯交的三個約束力偶中又存在一個并聯(lián)冗余約束。若考慮公共約束根據(jù)機構三個分支的對稱性，可知三個分支的約束螺若不考慮公共約束3-RRC機構自由度計算不考慮公共約束的話，機構的階仍然取6。三個分支一共對動平臺施加了六個約束力偶。三維空間偶量的最大線性無關數(shù)為3，所以獨立的約束只有3個。存在3個冗余約束。若不考慮公共約束3-RRC機構自由度計算不考慮公共約束的話，3-UPU機構自由度計算UPU分支的運動螺旋系：分支約束螺旋系為：3-UPU機構自由度計算UPU分支的運動螺旋系：分支約束螺旋3-UPU機構自由度計算三個分支的三個約束力偶在空間分別垂直各自的U副平面，它們相互并不平行，彼此線性無關。由修正的G-K公式計算可得三個約束力偶限制了三個轉動自由度，上平臺只具有三個移動自由度。無倫平臺如何移動，其分支中的兩個U副平面始終平行。機構的自由度性質不會改變3-UPU機構自由度計算三個分支的三個約束力偶在空間分別垂直3-UPU機構自由度計算總結：用基于螺旋理論的自由度計算方法計算3-UPU并聯(lián)機構的自由度是最能體現(xiàn)這種方法優(yōu)點的一個例子。

由于每個UPU分支中連接定、動平臺的兩個轉動副并不相鄰，一般情況下兩者之間并沒有穩(wěn)定的平行關系。但當在機構裝配時將其安裝到平行位置時，由于機構自由度的限制，其幾何關系不會被破壞，這種幾何關系變成穩(wěn)定的。這正是因為基于螺旋理論的自由度分析方法可以對機構任何瞬時的關系進行分析，更容易挖掘出機構在各種裝配構型下的自由度性質。3-UPU機構自由度計算總結：其他3-UPU機構自由度分析同樣是3個UPU分支，當機構的分支與平臺的布置關系發(fā)生改變，則機構的自由度性質將會發(fā)生巨大變化。3-UPU三轉動并聯(lián)機構3-UPU瞬時三移兩轉五自由度并聯(lián)機構其他3-UPU機構自由度分析同樣是3個UPU分支，當機構的分其他3-UPU機構自由度分析看一下3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機構。當3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機構發(fā)生豎直移動后，自由度性質不變。其他3-UPU機構自由度分析看一下3-UPU瞬時五自由度其他3-UPU機構自由度分析當3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機構發(fā)生水平移動后則變?yōu)槿S移動并聯(lián)機構。其他3-UPU機構自由度分析當3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機其他3-UPU機構自由度分析當3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機構發(fā)生轉動后則變?yōu)閮赊D一移并聯(lián)機構。其他3-UPU機構自由度分析當3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機其他3-UPU機構自由度分析當3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機構的自由度變化情況其他3-UPU機構自由度分析當3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機Carricato機構自由度計算有4個分支：（1）3個相同的4自由度PRPR運動鏈；（2）一個布置在機構中央的雙Candan鉸鏈的5副RUPUR運動鏈；（3）機器人手是直接聯(lián)接在RUPUR分支的末端；Carricato機構自由度計算有4個分支：Carricato機構自由度計算PRPR分支的運動螺旋系：分支約束螺旋系為：Carricato機構自由度計算PRPR分支的運動螺旋系：分Carricato機構自由度計算中間RUPUR分支的5個運動副所決定的7個螺旋是線性相關的，秩為6，此分支對動平臺不產生任何約束作用。作用在動平臺上的6個約束力偶中只有3個是獨立的，有三個冗余約束。Carricato機構自由度計算中間RUPUR分支的5個運動Carricato機構自由度計算動平臺受到3個獨立的約束力偶的作用，失去3個轉動自由度，機構動平臺只能實現(xiàn)3維移動。

但是對于整個Carricato機構，它的自由度等于其中的并聯(lián)機構的自由度和RUPUR分支的自由度之和。中間分支的“局部自由度”卻被有效地利用來作為機器人夾持器的轉動自由度。Carricato機構自由度計算動平臺受到3個獨立的Bennett機構自由度計算

Bennett機構是由軸線相錯的四個轉動副構成的單自由度空間機構。

滿足“封閉形對邊的長度相等，扭角相等，且對邊與扭角的正弦成比例”。

Bennett機構自由度計算Bennett機構是由軸Bennett機構自由度計算設AC=2l,BD=2m，

AC和BD的夾角為β。

E,F為AC

和BD的中點且EF=n。選取E為原點，x軸沿向量EF，y軸沿EA。根據(jù)所滿足的幾何條件，可得點A,B,C,D的坐標為另外4個轉動副軸線的方向矢量可以表示為(1)(2)Bennett機構自由度計算設AC=2l,BBennett機構自由度計算可得Bennett機構的運動螺旋系為

從四個螺旋的表達式容易得到

說明這四個螺旋線性相關。(3)(4)Bennett機構自由度計算可得Bennett機構因為空間3條不相交的直線必定不相關，可知運動螺旋系最大線性無關數(shù)目為3。所以機構運動螺旋的反螺旋數(shù)為3，即機構的公共約束為3，則機構的階也為3。由修正的G-K公式計算可得

此外，注意到不論l,m,n,β

如何變化，式(4)總不變。所以Bennett機構的自由度總為1。Bennett機構自由度計算因為空間3條不相交的直線必定不相關，可知運動螺旋系最空間機構自由度計算的其他問題（1）分支中含有閉環(huán)Delta機構用“自由度等價的串聯(lián)鏈以代替局部閉環(huán)”空間機構自由度計算的其他問題（1）分支中含有閉環(huán)Delta機空間機構自由度計算的其他問題（2）古典機構的自由度計算（單環(huán)過約束）Myard機構Bricard機構空間機構自由度計算的其他問題（2）古典機構的自由度計算（單環(huán)空間機構自由度