江西省南昌某中學(xué)高三數(shù)學(xué)5月模擬考試試卷(文)

江西省南昌二中2009屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)試題（文科）一、選擇題1．平面向量，若則與的夾角為 （） A．0 B． C． D．2．已知等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,且，則數(shù)列的公比的值為（） A．2 B．3 C．2或-3 3．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名學(xué)生中安排4人參加4×100接力賽跑。第一棒只能從甲、乙兩人中安排1人，第四棒只能從甲、丙兩人中安排1人，則不同的安排方案共有（） A．24種 B．36種 C．48種 D．72種4．在半徑為17的球面上有A、B、C三點(diǎn)，，，則球心到截面ABC的距離為 （） A．12 B．13 C．14 D若雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，線段被拋物線的焦點(diǎn)分成的兩段，則此雙曲線的離心率為 （）20080514 A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列中，有，且它們的前項(xiàng)和有最大值，則使得的的最大值為 （） A．11 B．19 C．20 D．217．若多項(xiàng)式，則的值為（） A．－2009 B．2009 C．－2008 D．8．若第一象限內(nèi)的點(diǎn)落在經(jīng)過點(diǎn)（6，—2）且方向向量為的直線l上，則有 （） A．最大值 B．最大值1 C．最小值 D．最小值19．已知函數(shù)，下面四個(gè)圖象中的圖象大致是 （）ABCD10．如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“互為生成”函數(shù)．給出下列函數(shù)： ①； ②； ③； ④。 其中“互為生成”函數(shù)的是 （）A．①② B．②③ C．③④ D．①④11．f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[0，+∞]上是增函數(shù)；不等式f(ax+1)≤f(x–2)對(duì)x∈[，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （）A．[–2，0] B．[–5，0] C．[–5，1] D．[–2，1]12．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間上的值出現(xiàn)的次數(shù)不小于次，又不多于次，則可以取 （） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.13．能夠使圓恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1的c的一個(gè)值為______。14．已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，是以為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．已知x、y滿足且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，則最小值為______;16．下列三個(gè)命題： ①若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則； ②若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，則a=1； ③函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱。 其中真命題的序號(hào)是。（把真命題的序號(hào)都填上）.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（12分）已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且(b2＋c2－a2)tanA＝bc.（1）求角A的大小；（2）求sin(A＋10°)·［1－tan(A－10°)］的值.18．（12分）一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆均勻的骰子n次，如果第n關(guān)的n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2就算過關(guān)．問：（1）玩家小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過幾關(guān)？（2）他連過前兩關(guān)的概率是多少？19．（12分）已知函數(shù)．（=1\*ROMANI）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（=2\*ROMANII）若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)連線的斜率都小于2，求證：；（=3\*ROMANIII）對(duì)任意的圖像在處的切線的斜率為，求證：是成立的充要條件．20．（12分）已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面BCD的距離的取值范圍．AADCEBF21．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)的切線的斜率為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；（Ⅲ）設(shè)，，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，，求的通項(xiàng)公式．22．（12分設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，橢圓上兩點(diǎn)在軸上的射影分別為左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線的斜率為，過點(diǎn)且與垂直的直線與軸交于點(diǎn)，的外接圓為圓．（1）求橢圓的離心率；（2）直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求橢圓方程；（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．參考答案一、選擇題CCBDCBABCDAB二、填空題13．3;14．;15．2;16．②③.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（12分）已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且(b2＋c2－a2)tanA＝bc.（1）求角A的大??；（2）求sin(A＋10°)·［1－tan(A－10°)］的值.解：（1）由已知及余弦定理，又，則，故A＝.……（5分）（2）.…（12分）18．（12分）一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆均勻的骰子n次，如果第n關(guān)的n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2就算過關(guān)．問：（1）玩家小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過幾關(guān)？（2）他連過前兩關(guān)的概率是多少？【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)最大為6，拋擲n次點(diǎn)數(shù)之和的最大值為6n，所以6×1＞12，6×2＞22，6×3＞32，6×4＞42，6×5＞52，6×6=62，6×7＜72，……，當(dāng)n≥6時(shí)，點(diǎn)數(shù)之和不可能大于n2，即此時(shí)過關(guān)的概率為0．所以小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過5關(guān)．（2）記第n次過關(guān)為事伯An，基本事件總數(shù)為6n．第一關(guān)：由12=1知，點(diǎn)數(shù)不小于2即可，所以P(A1)=，第二關(guān)：由22=4知，考慮對(duì)立事件，即“不能過第二關(guān)”依次取a=2，3，4，解不定方程x+y=a，得其解的個(gè)數(shù)是，從而P(A2)=1–P．所以他連過前兩關(guān)的概率是P=．(12分)19．已知函數(shù)．（=1\*ROMANI）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（=2\*ROMANII）若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)連線的斜率都小于2，求證：；（=3\*ROMANIII）對(duì)任意的圖像在處的切線的斜率為，求證：是成立的充要條件．解：（=1\*ROMANI）2分由得，或而，列出下表0—0+0—遞減極小值遞增極大值遞減所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值等于；當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值等于；6分（=2\*ROMANII）設(shè)函數(shù)、，不妨設(shè)（注：若直接用來證明至少扣1分）10分（=3\*ROMANIII）時(shí)，ADCEBF20．（12分）已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DEADCEBF（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面BCD的距離的取值范圍．證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF平面ACD，∴DE⊥AF．AEBFxyzO又∵AC=AD=CD，F(xiàn)AEBFxyzO∵DEì平面CDE，CDì平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．（Ⅱ）解法一：∵AB∥DE，ABeq\o(\s\up0(ì),\s\do1(/))平面CDE，DEì平面CDE，∴AB∥平面CDE，設(shè)平面ABC∩平面CDE＝l，則l∥AB．即平面ABC與平面CDE所成的二面角的棱為直線l．∵AB^平面ADC，∴l(xiāng)^平面ADC．∴l(xiāng)^AC，l^DC．∴DACD為平面ABC與平面CDE所成二面角的平面角．∵AC＝AD＝CD，∴DACD＝60°，∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．……7分ADCEBF/lH（Ⅱ）解法二：如圖，以F為原點(diǎn)，過F平行于DE的直線為xADCEBF/lH∵AC＝2，∴A(0，0，eq\r(3))，設(shè)AB＝x，B(x，0，eq\r(3))，C(0，1，0)，eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))＝(x，0，0)，eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AC))＝(0，1，－eq\r(3))，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(a，b，c)，則由eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))×n＝0，eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AC))×n＝0，得a＝0，b＝eq\r(3)c，不妨取c＝1，則n＝(0，eq\r(3)，1)．∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一個(gè)法向量為eq\o(\s\up8(??),\s\do1(FA))＝(0，0，eq\r(3))．cos＜n，eq\o(\s\up8(??),\s\do1(FA))＞＝eq\f(n×eq\o(\s\up8(??),\s\do1(FA)),|n|×|eq\o(\s\up8(??),\s\do1(FA))|)＝eq\f(1,2)，＜n，eq\o(\s\up8(??),\s\do1(FA))＞＝60°． ∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．（Ⅲ）解法一：設(shè)AB＝x，則x＞0． ∵AB^平面ACD，∴AB^CD． 又∵AF^CD，ABì平面ABF，AFì平面ABF，AB∩AF＝A， ∴CD^平面ABF． ∵CDì平面BCD，∴平面ABF^平面BCD． 連BF，過A作AH^BF，垂足為H， 則AH^平面BCD．線段AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面BCD的距離． 在Rt△AFB中，AB＝x，AF＝eq\f(eq\r(3),2)CD＝eq\r(3)， ∴BF＝eq\r(3＋x2)，AH＝eq\f(eq\r(3)x,eq\r(3＋x2))＝eq\f(eq\r(3),eq\r(1＋eq\f(3,x2)))∈(0，eq\r(3))．（Ⅲ）解法二：設(shè)AB＝x， ∵AC＝CD＝DA＝2，AB^平面ACD． ∴VB－ADC＝eq\f(1,3)×S△ADC×BA＝eq\f(1,3)×eq\f(eq\r(3),4)×22×x＝eq\f(eq\r(3),3)x． ∵BC＝BD＝eq\r(4＋x2)，CD＝2， ∴S△BCD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(x2＋3)＝eq\r(x2＋3)， 設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d， 則VA－BCD＝eq\f(1,3)×S△BCD×d＝eq\f(d,3)eq\r(x2＋3)． ∵VB－ADC＝VA－BCD． ∴eq\f(eq\r(3),3)x＝eq\f(d,3)eq\r(x2＋3)，解得d＝eq\f(eq\r(3)x,eq\r(3＋x2))∈(0，eq\r(3))．21．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)的切線的斜率為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；（Ⅲ）設(shè)，，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，，求的通項(xiàng)公式． 解（Ⅰ）∵點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上， ∴． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足． 故．（Ⅱ）由求導(dǎo)可得， ∵過點(diǎn)的切線的斜率為， ∴． 又∵， ∴． ∴………① 由①可得： ………② ①－②可得： ． ∴．（Ⅲ）∵， ∴， 又∵，其中是中的最小數(shù)， ∴， ∴，，（的公差是4的倍數(shù)!） 又∵ ∴解得．22．（12分設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，橢圓上兩點(diǎn)在軸上的射影分別為左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線的斜率為，過點(diǎn)且與垂直的直線與軸交于點(diǎn)，的外接圓為圓．（1）求橢圓的離心率；（2）直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求橢圓方程；（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部，若橢