浙江省Z20聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前（暑假返校聯(lián)考）Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（） B. 3.已知向量，，，，與的夾角為120°，若，則（）A. B. C. D.4.已知等軸雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列切“記”為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差（）6.已知函數(shù)，則（）A. C. D.7.已知，，則（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，平面，于，，為中點(diǎn)，則三棱錐的體積最大值為（）A. B. C. C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的可能取值為（）10.已知圓：，直線：，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn) B.直線被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，C.直線被圓截得的弦最短時(shí)， D.直線被圓截得的弦最短弦長(zhǎng)為11.設(shè)數(shù)列，都是等比數(shù)列，則（）A.若，則數(shù)列也是等比數(shù)列B.若，則數(shù)列也是等比數(shù)列C.若的前項(xiàng)和為，則也成等比數(shù)列D.在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列仍是等比數(shù)列12.定義在上的函數(shù)滿足如下條件：①，②當(dāng)時(shí)，；則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.不等式的解集為非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中互不相等，且所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)_________.14.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用80℃的開(kāi)水泡制，再等茶水溫度降至35℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.若茶水原來(lái)的溫度是°C，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間，min后的溫度°C，則可由公式求得，其中表示室溫，是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)，現(xiàn)有一杯80°C的綠茶放在室溫為20°C的房間中，已知茶溫降到50°C需要10min.那么在20°C室溫下，用80°C的開(kāi)水剛泡好的茶水大約需要放置時(shí)間_________min，才能達(dá)到最佳飲用口感.15.杭州亞運(yùn)會(huì)舉辦在即，主辦方開(kāi)始對(duì)志愿者進(jìn)行分配.已知射箭場(chǎng)館共需要6名志愿者，其中3名會(huì)說(shuō)韓語(yǔ)，3名會(huì)說(shuō)日語(yǔ).目前可供選擇的志愿者中有4人只會(huì)韓語(yǔ)，5人只會(huì)日語(yǔ)，另外還有1人既會(huì)韓語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，則不同的選人方案共有_________種.（用數(shù)字作答）.16.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率_________.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知函數(shù)的周期為，且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，，，求的值.18.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱上，且，.（1）證明：；（2）若，，，求平面與平面夾角的余弦值.19.（12分）在數(shù)列中，，的前項(xiàng)為.（1）求證：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.20.（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當(dāng)時(shí)，21.（12分）2023年中央一號(hào)文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開(kāi)設(shè)直播帶貨專場(chǎng).直播前，此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷，并在購(gòu)買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問(wèn)卷.已知有名熱心參與問(wèn)卷的顧客，此平臺(tái)決定在直播中專門為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送，若直播時(shí)這名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為（不重復(fù)寸敎）.（1）若甲是這名顧客中的一人，且甲被抽中的概率為，求；（2）求使取得最大值時(shí)的整數(shù).22.（12分）已知拋物線：與圓：相交于，，，四個(gè)點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；（2）四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)是否可能為，若可能，求出此時(shí)的值，若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求圓的半徑的值.Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案選擇題123456789101112BACADBDBACABCABDACD填空題116.部分小題詳解：7.解析：將平方得，所以，則.所以，從而.聯(lián)立，得.所以，.故.故選D.8.解析：因?yàn)槠矫妫蕉?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，則，又，而，平面，所以平面，又平面，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且平面時(shí)，取“=”，故選B.10.解析：直線/的方程可化為，聯(lián)立，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)（3，1），則A正確；當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，此時(shí)，解得，，則B正確；當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，直線的斜率為，，由，解得，則C正確；此時(shí)直線的方程是，圓心到直線的距離為，，所以最短弦長(zhǎng)是，則D不正確.故選ABC.11.解析：數(shù)列，都是等比數(shù)列，設(shè)公比分別為、（、均不為0）對(duì)于A，由，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列；對(duì)于B，由，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列；對(duì)于C，舉反例：，則，不成等比數(shù)列；對(duì)于D，為常數(shù)，D正確.故選ABD.17.解：（1）由題意知，，則，又，則，，所以，，又，所以，則，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：，.解得：，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由得，，即，結(jié)合正弦定理得，，即，又，所以，即，又，所以，則，所以，由余弦定理有，.18.解：（1）如圖，在棱上取點(diǎn)，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，則且，又且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，同理可證四邊形為平行四邊形，則，所以.（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由得，，解得，，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，由得，，解得，令，則，設(shè)兩個(gè)平面夾角大小為，則.19.解析：（1）∵，∴即，又，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴.（2）所以，，當(dāng)時(shí)取等，所以：.20.解：（1）此時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，下證：，即證：.記，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，所以恒成立，即.21.解：（1）記“甲被抽中”，“第次被抽中”，則，解得.（2）記，即求在何時(shí)取到最大值.解得，所以，當(dāng)或40時(shí)，取到最大值.22.【答案】（1）（2）不可能（3）【詳解】（1）將代入，并化簡(jiǎn)得，解得或，代入拋物線方程可得，，，；（2）聯(lián)立拋物線與圓